1、高考大题专项五 直线与圆锥曲线压轴大题,考情分析,必备知识,从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决.,考情分析,必备知识,1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+B
2、y+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.,若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). 若a0,设=b2-4ac. 当0时,直线和圆锥曲线交于不同的两点; 当=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; 当0时,直线和圆锥曲线没有公共点.,考情分析,必备知识,考情分析,必备知识,4.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” (1)定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. (2)计算,就是利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,椭圆常设为mx2+ny2=1(m0,
3、n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0),抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0). (3)椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常数,当AB0时,表示焦点在y轴上的椭圆;当BA0时,表示焦点在x轴上的椭圆;当AB0时,表示双曲线.,考情分析,必备知识,5.通径:过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为 ,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c. 6.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的
4、量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.,考情分析,必备知识,-8-,题型一,题型二,题型三,圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 题型一 圆锥曲线中的最值问题 突破策略 函数最值法,(1)求椭圆C的方程; (2)若F,B1分别是椭圆C的右焦点、上顶点,点M(不同于右焦点F)在x轴正半轴上,且满足B1OFMOB1(O为坐标原点),点B在y轴上,点M关于点F的对称点是点A,点P为椭圆C上一动点,且满足|AB|=
5、|PB|,求AOB的周长的最小值.,-9-,题型一,题型二,题型三,-10-,题型一,题型二,题型三,-11-,题型一,题型二,题型三,-12-,题型一,题型二,题型三,解题心得圆锥曲线中的有关平面几何图形面积的最值问题,通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最值问题,然后求导确定函数单调性求最值,或利用基本不等式,或利用式子的几何意义求最值.,-13-,题型一,题型二,题型三,难点突破第一问根据题中条件,利用椭圆的定义以及性质,求得a,c的大小,再根据椭圆中a,b,c的关系,求得b的值,从而求得椭圆的方程,第二问根据题中的条件,可以确定四边形AMBF1是平行四边形,应用面积公
6、式求得结果.,-14-,题型一,题型二,题型三,-15-,题型一,题型二,题型三,题型二 圆锥曲线中的范围问题(多维探究) 突破策略一 条件转化法 例2(2018山西榆社中学三模,20)已知曲线M由抛物线x2=-y及抛物线x2=4y组成,直线l:y=kx-3(k0)与曲线M有m(mN)个公共点. (1)若m3,求k的最小值; (2)若m=4,自上而下记这4个交点分别为A,B,C,D,求 的取值范围.,-16-,题型一,题型二,题型三,-17-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)根据题意知曲线M由抛物线x2=-y及抛物线x2=4y组成,故联立x2=-y与y=kx-3,得出交点个数,因为直线l
7、:y=kx-3(k0)与曲线M有m(mN)个公共点,且m3,所以再联立x2=4y与y=kx-3,得出交点个数,综合两个结论即得出结论. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),根据弦长公式求出AB和CD,然后求出 的表达式,建立关于k的不等式组,根据函数思维求出最值即可得出范围.,解题心得求某一量的取值范围,要看清与这个量有关的条件有几个,有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式,解不等式取交集得结论.,-18-,题型一,题型二,题型三,对点训练2(2018贵州黔东南州一模,20)已知椭圆C:(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A.动直线l
8、:x-my-1=0(mR)经过点F2,且AF1F2是等腰直角三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设直线l交C于M,N两点,若点A在以线段MN为直径的圆外,求实数m的取值范围.,-19-,题型一,题型二,题型三,-20-,题型一,题型二,题型三,突破策略二 构造函数法,-21-,题型一,题型二,题型三,-22-,题型一,题型二,题型三,-23-,题型一,题型二,题型三,解题心得在求直线与圆锥曲线的综合问题中,求与直线或与圆锥曲线有关的某个量d的取值范围问题,依据已知条件建立关于d的函数表达式,转化为求函数值的取值范围问题,然后利用函数的方法或解不等式的方法求出d的取值范围.,-24-,题
9、型一,题型二,题型三,-25-,题型一,题型二,题型三,-26-,题型一,题型二,题型三,-27-,题型一,题型二,题型三,-28-,题型一,题型二,题型三,题型三 圆锥曲线中的证明问题 突破策略 转化法,例4(2018全国1,理19)设椭圆C: 的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.,难点突破(1)首先根据l与x轴垂直,且过点F(1,0),求得直线l的方程为x=2,代入椭圆方程求得点A的坐标为 利用两点式求得直线AM的方程; (2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x
10、轴不重合也不垂直三种情况证明,特殊情况比较简单,也比较直观,对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现,从而证得结果.,-29-,题型一,题型二,题型三,-30-,题型一,题型二,题型三,(2)证明 当l与x轴重合时,OMA=OMB=0, 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0), A(x1,y1),B(x2,y2),从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB. 综上,OMA=OMB.,-31-,题型一,题型二,题型三,-32-,题型一,题型二,题型三,-33-,题型一,题型二
11、,题型三,-34-,题型一,题型二,题型三,圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 题型一 圆锥曲线中的定点问题(多维探究) 突破策略一 直接法,(1)求椭圆方程; (2)是否存在x轴上的定点D,使得过点D的直线l交椭圆于A,B两点.设点E为点B关于x轴的对称点,且A,F,E三点共线?若存在,求D点坐标;若不存在,说明理由.,-35-,题型一,题型二,题型三,-36-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)根据题意得a=2,再由椭圆过点 可得椭圆方程; (2)设D(t,0),直线l方程为x=my+t,与椭圆方程联立,消去x得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,设A(x1,y1),B(x
12、2,y2),则E(x2,-y2),由A,F,E三点共线,得(x2-1)y1+(x1-1)y2=0,即2my1y2+(t-1)(y1+y2)=0,结合韦达定理即可得解.,-37-,题型一,题型二,题型三,对点训练1(2018云南曲靖质检七,20)已知抛物线C:x2=2y,直线l:y=x-2,设P为直线l上的动点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B. (1)当点P在y轴上时,求线段AB的长; (2)求证:直线AB恒过定点.,-38-,题型一,题型二,题型三,-39-,题型一,题型二,题型三,-40-,题型一,题型二,题型三,突破策略二 逆推法,-41-,题型一,题型二,题型三,-42-,题型
13、一,题型二,题型三,解题心得证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知),可把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论,则证明了直线或曲线过定点.,-43-,题型一,题型二,题型三,对点训练2(2018湖北重点高中联考协作体期中,20)直线l与抛物线y2=2x相交于A,B(异于坐标原点)两点. (1)若直线l的方程为y=x-2,求证:OAOB; (2)若OAOB,则直线l是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;如不是,请说明理由.,-44-,题型一,题型二,题型三,-45-,题型一,题型二,题型三,题型二 圆锥曲线中的定值问题 突破策略 直接法 例3(2018四川南充三诊,20)已
14、知椭圆C: (ab0)的左焦点F(-2,0),左顶点A1(-4,0). (1)求椭圆C的方程; (2)已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.若APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.,-46-,题型一,题型二,题型三,-47-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)根据已知条件依次求得a,c和b,从而可得方程; (2)若APQ=BPQ,则PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,PA的直线方程为y-3=k(x-2),由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值 . 解题心得证明某一量为定值,一般方
15、法是用一个参数表示出这个量,通过化简消去参数,得出定值,从而得证.,-48-,题型一,题型二,题型三,-49-,题型一,题型二,题型三,-50-,题型一,题型二,题型三,题型三 圆锥曲线中的存在性问题 突破策略 肯定顺推法,(1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,且P(0,1),当直线PA,PB的斜率之和为2时,问:点P到直线l的距离是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,说明理由.,-51-,题型一,题型二,题型三,难点突破(1)依据题意, ,求得a,b的值,即可得到椭圆的标准方程; (2)直线y=kx+m与椭圆的方程联立,求得x1+x2,x1x
16、2,由kAP+kBP=2,代入整理,求得k的表达式,再由点到直线的距离公式,设t=3-4k,即可讨论距离的最大值问题,得到结论.,-52-,题型一,题型二,题型三,-53-,题型一,题型二,题型三,-54-,题型一,题型二,题型三,对点训练4(2018山东菏泽一模,20)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限. (1)求抛物线E的方程; (2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明
17、理由.,-55-,题型一,题型二,题型三,解(1)圆F的方程为(x-2)2+y2=1, 圆心F的坐标为(2,0),半径r=1. 根据题意,设抛物线E的方程为y2=2px(p0), 2 =2,解得p=4. 抛物线E的方程为y2=8x. (2)存在.2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r, |AB|+|CD|=4|BC|=42r=8. |AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10. 讨论: 若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=4. 此时|AD|=8,不满足题意;,-56-,题型一,题型二,题型三,若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k0),此时l的方程为y=k(x-2),当k=2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0. (-6)2-4140,x2-6x+4=0有两个不相等实数根. k=2满足题意. 存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或直线l:2x+y-4=0.,
