1、第二讲 双曲线,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 双曲线的定义和标准方程 考点2 双曲线的几何性质,考法1 双曲线定义的应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线的几何性质 考法4 直线与双曲线的综合问题,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 容易出错的两类双曲线问题,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,本讲主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质,其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点,以选择题和填空题为主,分值5分,难度中等. 2.学科核心素养 本讲主要考查考生的数学运算
2、、直观想象素养以及数形结合思想的运用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 双曲线的定义和标准方程 考点2 双曲线的几何性质,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,1.定义 在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距.,考点1 双曲线的定义和标准方程（重点）,规律总结 (1)设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为2a,则0|F1F2|,则点M的轨迹不存在; 若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. (2)若|MF1|-|MF2|=2a,曲线只表示焦点F
3、2所对应的一支双曲线; 若|MF1|-|MF2|=-2a,曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 2 2 - 2 2 =1(a0,b0); (2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 2 2 - 2 2 =1(a0,b0). 名师提醒 焦点位置的判断 在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考点2 双曲线的几何性质（重点）,
4、1.双曲线的几何性质,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.特殊双曲线,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,B考法帮题型全突破,考法1 双曲线定义的应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线的几何性质 考法4 直线与双曲线的综合问题,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法1 双曲线定义的应用,示例1 (1)已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为 A. 2 4 - 2 5 =1(y0) B. 2 4 - 2 5 =1(x0) C. 2 4 - 2 5 =1(y0) D. 2 4 - 2 5 =1(x0),解析(1)由题设知点P的轨迹方程是
5、焦点在x轴上的双曲线的右支,(注意“距离之差”与“距离之差的绝对值”的区别) 设其方程为 2 2 - 2 2 =1 (x0,a0,b0),由题设知c=3,a=2,b2=9-4=5,所以点P的轨迹方程为 2 4 - 2 5 =1(x0).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于 A.2 B.4 C.6 D.8,解析(2)由双曲线的方程得a=1,c= 2 ,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2. 在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF
6、2|cos 60, 即(2 2 )2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2| =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2| =22+|PF1|PF2|, 解得|PF1|PF2|=4.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,（3）已知F是双曲线 2 4 - 2 12 =1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .,解析（3）如图10-2-1所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时, (|PE|+|PA|)min=|A
7、E|=5, (两点之间线段最短) 从而|PF|+|PA|的最小值为9.,图10-2-1,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,感悟升华 双曲线定义的应用策略 1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线. 2.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题. 3.利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:(1)距离之差的绝对值;(2)2a|F1F2|;(3)焦点所在坐标轴的位置.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展结论 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min
8、=c-a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为 2 2 ;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a. 4.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则 1 2 = 2 tan 2 ,其中为F1PF2.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,5.若P是双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式1 (1)已知双曲线x2- y 2 24 =1的两个焦点为F1,F2,P为双曲线右
9、支上一点.若|PF1|= 4 3 |PF2|,则F1PF2的面积为( ) A.48 B.24 C.12 D.6 (2)设双曲线 2 4 - 2 2 =1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,1.(1)B 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|= 1 3 |PF2|=2a=2,解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10,由勾股定理可知三角形F1PF2为直角三角形,因此 1 2 = 1 2 |PF1|PF2|=24. (2)10 由双曲线的标准方程为 2 4 - 2 2 =1
10、,得a=2,由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=8.因为|AF1|+|BF1|=|AB|,当AB是双曲线的通径时,|AB|最小,所以(|AF2|+|BF2|)min=|AB|min+8= 2 2 +8=10.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法2 求双曲线的标准方程,示例2 2017全国卷,5,5分 已知双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的一条渐近线方程为y= 5 2 x,且与椭圆 2 12 + 2 3 =1有公共焦点,则C的方程为 A. 2 8 - 2 10 =1 B. 2 4 - 2 5 =1 C. 2 5 - 2 4 =1 D. 2 4
11、- 2 3 =1,思维导引 思路一 根据双曲线的渐近线方程得出a,b关系,根据共焦点求出c,利用c2=b2+a2求出a2 ,b2,即得双曲线的标准方程. 思路二 利用与椭圆共焦点的双曲线方程的设法求解. 解析 解法一 根据双曲线C的一条渐近线方程为y= 5 2 x,可知 = 5 2 .因为椭圆 2 12 + 2 3 =1的焦点坐标为(3,0)和(-3,0),所以a2+b2=9 ,根据可知a2=4,b2=5.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解法二 因为双曲线与椭圆有共同的焦点,所以设双曲线方程为 2 12 + 2 3 =1(312). 令 2 12 + 2 3 =0,得y2= 3 12 x2
12、, 又双曲线的渐近线方程为y= 5 2 x, 所以 3 12 = 5 4 ,解得=8.所以双曲线方程为 2 4 - 2 5 =1. 答案 B,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,示例3 2019辽宁五校联考已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y= 3 x,则该双曲线的标准方程是 A. 7 2 16 - 2 12 =1 B. 2 3 - 2 2 =1 C.x2- 2 3 =1 D. 3 2 23 - 2 23 =1,解析 解法一 (定义法)若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为 2 2 - 2 2 =1(a0,b0),则由题意可得 4 2 9 2 =1, = 3, 解得 =1, = 3 , 所以
13、双曲线的标准,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方程为x2- 2 3 =1;若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为 2 2 - 2 2 =1(a0,b0),则由题意可得 9 2 4 2 =1, = 3 , 该方程组无解.综上,所求双曲线的标准方程为x2- 2 3 =1.,解法二 (待定系数法)设双曲线的方程为 2 - 2 =1(mn0),则由题意可得 4 9 =1, = 3, 解得 =1, =3 ,所以所求双曲线的标准方程为x2- 2 3 =1.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解法三 (待定系数法)因为双曲线的渐近线方程为y= 3 x,所以可设双曲线的方程为3x2-y2=(0),则由双曲线
14、过点(2,3),可得=322-32=3,故双曲线的方程为3x2-y2=3,其标准方程为x2- 2 3 =1. 答案 C,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 求双曲线标准方程的方法 1.定义法 根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有: (1)c2=a2+b2; (2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a. 注意 求轨迹方程时,满足条件:|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)的双曲线为双曲线的一支,应注意合理取舍.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.待定系数法 (1)一般步骤 判断:根据已知条件,确定双曲线的焦点
15、是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能; 设:根据中的判断结果,设出所需的未知数或者标准方程; 列:根据题意,列出关于a,b,c的方程或者方程组; 解:求解得到方程. (2)常见设法 与双曲线 2 2 - 2 2 =1共渐近线的双曲线方程可设为 2 2 - 2 2 =(0);,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,若双曲线的渐近线方程为y= x,则双曲线方程可设为 2 2 - 2 2 =(0); 若双曲线过两个已知点,则双曲线方程可设为 2 + 2 =1(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为 2 2 + 2 2 =1(b2a2).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,注意 当焦点位置不确
16、定时,有两种方法来解决: 一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式2(1)2017天津,5,5分理已知双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为 2 .若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A. 2 4 - 2 4 =1 B. 2 8 - 2 8 =1C. 2 4 - 2 8 =1 D. 2 8 - 2 4 =1 (2)2018湖北部分重点中学联考在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的渐
17、近线方程为y=x,且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合,则该双曲线的方程为.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.(1)B 由e= 2 知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=x,由P(0,4)知左焦点F的坐标为(-4,0),所以c=4,则a2=b2= 2 2 =8.选项B符合. (2) 2 2 - 2 2 =1 由题意知,抛物线x2=8y的焦点坐标为(0,2),因为双曲线的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合,所以该双曲线的实轴在y轴上.由双曲线的渐近线方程为y=x,可设该双曲线的方程为y2-x2=m(m0),所以 2 =2,解得m=2,故该双曲线的方程为 2 2 - 2 2 =
18、1.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法3 双曲线的几何性质,1.求双曲线的渐近线,示例4 2018全国卷,6,5分双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 A.y= 2 x B.y= 3 x C.y= 2 2 x D.y= 3 2 x,解析 解法一 由题意知,e= = 3 ,所以c= 3 a,所以b= 2 2 = 2 ,所以 = 2 ,所以该双曲线的渐近线方程为y= x= 2 x.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,答案 A,解法二 由e= = 1+ （ ） 2 = 3 ,得 = 2 ,所以该双曲线的渐近线方程为y= x= 2 x.,方法总结 求双
19、曲线的渐近线的方法 求双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)或 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令 2 2 - 2 2 =0,得y= x;或令 2 2 - 2 2 =0,得y= x.反之,已知渐近线方程为y= x,可设双曲线方程为 2 2 - 2 2 =(a0,b0,0).,说明 两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且两条渐近线关于x轴,y轴对称.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.求双曲线的离心率或其范围,示例5 2019湖南四校联考已知A,B,P是双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标
20、原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB=3,则该双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.3,解析 由双曲线的对称性知,点A,B关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x2,y2),则 1 2 2 - 1 2 2 =1, 2 2 2 - 2 2 2 =1,又kPA= 2 1 2 1 ,kPB= 2 + 1 2 + 1 ,所以,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,kPAkPB= 2 2 1 2 2 2 1 2 = 2 2 =3,所以离心率e= 1+ 2 2 =2. 答案 C,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 1.求双曲线的离心率或其范围的方法 求a,b,c的
21、值,由 2 2 = 2 + 2 2 =1+ 2 2 直接求e. 列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. 2.双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系:k= = 2 2 = 2 2 1 = 2 1 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,3.解决与双曲线几何性质有关问题的通法与流程 求解双曲线的几何性质问题,其通用的方法是利用方程思想解题,其思维流程是:,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式3已知点F1,F2是双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F
22、1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是 A.(1,+) B. 10 2 ,+) C.(1, 10 2 D.(1, 5 2 ,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,3.C 由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,故PF1F2为直角三角形,且PF1PF2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=2a+|PF2|,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,整理得(|PF2|+a)2=2c2-a2.又|PF1|3|PF2|,即2a+|PF2|3|PF2|,可得|PF2|a, 所以|PF
23、2|+a2a,即2c2-a24a2,可得c 10 2 a.由e= ,且e1,可得1e 10 2 .故选C.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法4 直线与双曲线的综合问题,示例6 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1. (1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; (2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为 2 ,求实数k的值.,思维导引,解析 (1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点, 则方程组 2 2 =1, =1 有两个不同的实数根, 整理得(1-k2)x2+2kx-2=0, 所以 1 2 0, =4 2 +8(1 2 )0,文科数学 第十章：圆
24、锥曲线与方程,解得- 2 k 2 且k1. 即双曲线C与直线l有两个不同的交点时,实数k的取值范围是(- 2 ,-1)(-1,1)(1, 2 ).,(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1),由(1)知,C与l联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0, 所以 1 + 2 = 2 1 2 , 1 2 = 2 1 2 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,当A,B在双曲线的一支上且|x1|x2|时, SOAB=SOAD-SOBD= 1 2 (|x1|-|x2|)= 1 2 |x1-x2|; 当A,B在双曲线的两支上且x1x2时, SOAB=SOAD+SOB
25、D= 1 2 (|x1|+|x2|)= 1 2 |x1-x2|.,所以SOAB= 1 2 |x1-x2|= 2 , 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 2 )2, 即( 2 1 2 )2+ 8 1 2 =8,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解得k=0或k= 6 2 .又因为- 2 k 2 ,且k1, 所以当AOB的面积为 2 时,实数k的值为0或 6 2 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,感悟升华 1.解决直线与双曲线位置关系问题的策略 (1)解题“3步骤”,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(2)解题“2关键” 联立直线方程与双曲线方程,消元后,一定要注意二次项系
26、数是否为零. 当二次项系数为0时,直线与双曲线只有一个交点;当二次项系数不为0时,利用判别式求解: 0有两个交点相交; =0有一个交点相切; 0无交点相离.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,要灵活运用根与系数的关系 (i)平方关系的运用:(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; (ii)斜率关系的运用:k= 1 2 1 2 =. (3)解题“1注意” 注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,点所在双曲线的左、右支的位置不同,导致所求解的情况会有所不同. 2.用“点差法”可以解决弦中点和弦所在直线斜率的关系问题,但需要检验.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,3.双曲线: 2 2 - 2
27、 2 =1(a0,b0)以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率为k= 2 0 2 0 .,规律总结 (1)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线; (2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平行的直线; (3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式4 2019郑州一中测试已知直线l与双曲线 2 4 -y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线分别交于M,N两点,O为坐标原点,则 =( ) A.3 B.
28、4 C.5 D.与P的位置有关,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,4.A 解法一 由题意知该双曲线的渐近线的方程为y= 1 2 x.不妨设M为直线l与渐近线y= 1 2 x的交点.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,不妨设直线l的方程为x=2,则M(2,1),N(2,-1), =(2,1)(2,-1)=3.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m, 由 =+, 2 4 2 =1, 得(1-4k2)x2-8kmx-4m2-4=0.因为直线l与该双曲线相切,所以,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,=64k2m2+4(1-4k2)(4m2+4)=0,即m2=4k2-1.由 =+, =
29、 1 2 x, 得 = 2 21 , = 21 , 所以M( 2 21 , 21 ),同理可得N( 2 2+1 , 2+1 ),所以 =( 2 21 , 21 )( 2 2+1 , 2+1 )= 3 2 4 2 1 =3,故选A.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解法二 设切点P(x0,y0),则 0 2 4 - 0 2 =1,切线l的方程为 1 4 x0x-y0y=1.由题意知该双曲线的渐近线方程为y= 1 2 x,不妨设M为直线l与渐近线y= 1 2 x的交点,由 1 4 0 x 0 y=1, = 1 2 x, 得 = 4 0 2 0 , = 2 0 2 0 , 即交点M( 4 0 2
30、0 , 2 0 2 0 ),同理可得N( 4 0 +2 0 , 2 0 +2 0 ),所以 = 12 0 2 4 0 2 = 12 4 =3,故选A.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,C方法帮素养大提升,易错 容易出错的两类双曲线问题,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,1.忽略双曲线标准方程中x,y的范围致误 示例7 是否存在同时满足下列条件的双曲线?若存在,求出双曲线的标准方程;若不存在,说明理由. 焦点在x轴上;渐近线方程为x2y=0;点A(5,0)到双曲线上动点P的最小距离为 6 . 易错分析 焦点在x轴上的双曲线的标准方程中x的范围是|x|a,而不是xR,这正是该题易错的根源所在.,
31、易错 容易出错的两类双曲线问题,解析 由条件设双曲线的标准方程为 2 2 - 2 2 =1(a0,b0). 由条件知 = 1 2 ,即a=2b,于是双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2. 设P(x0,y0),则|PA|2=(x0-5)2+ 0 2 = 5 4 0 2 -10x0+25-b2= 5 4 (x0-4)2+5-b2(|x0|a),当x0a4时,则x0=a时,|PA|2取得最小值,由条件得 5 4 a2-10a+25-b2=6,即4b2-20b+19=0,解得b= 1 2 (5+ 6 );当a4时,则x0=4时,|PA|2取得最小值,即 5 4 42-104+25-b2=6,解得b2
32、=-1(舍去). 综上可知,存在满足条件的双曲线,且该双曲线的方程为x2-4y2=(5+ 6 )2,即 2 (5+ 6 ) 2 - 2 (5+ 6 ) 2 4 =1.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,易错点拨解决与双曲线有关的最值或范围问题时,常常通过构建函数求之,但所构建的函数的变量范围往往会受到双曲线变量范围的影响,解题中要注意这一点.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.忽略“判别式”致误 示例7 已知双曲线x2- 2 2 =1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点? 易错分析 虽然“判别式法”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法,但
33、在解决直线与圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判别式法,致使有的考生受思维定式的影响,任何情况下都没有考虑判别式法,导致解题错误. 解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0). 若直线l的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1)(k 2 ),即y=kx+1-k.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,由 =+1, 2 2 2 =1, 消去y,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k20) . 所以x0= 1 + 2 2 = (1) 2 2 . 由题意,得 (1) 2 2 =1,解得k=2. 当k=2时,方程为2x2-4x+3=0, =16-24=-80,方程没有实数解. 所以不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,技巧点拨 (1)本题以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,但容易出错.错误原因是忽略了对直线与双曲线是否相交的判断. (2)本题属探索性问题.若存在,可用点差法求出AB的斜率,进而求方程;也可以设斜率k,利用待定系数法求方程. (3)一定要检验求得的方程是否符合要求.,
