1、考点一 基本不等式的应用,考点清单,考向基础 1.几个重要不等式 (1)x20;(a-b)20;|x|0;-|x|x|x|. (2) (a,b0),当且仅当a=b时等号成立. (3) ab(a,bR),当且仅当a=b时等号成立. (4)特殊地:,(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y有 最小 值,是 2 .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当 x=y 时,xy有 最大 值,是 .(简记:和定积最大) 3.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题 (1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)A在区间D上 恒成立 f(x)minA (
2、xD); 若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxB (xD).,2.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则,(2)能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使 不等式f(x)A成立 f(x)maxA (xD); 若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A在区间D上恰成立f(x)A的解集为D; 不等式f(x)B在区间D上恰成立f(x)B的解集为D.,知识拓展 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为 “和式”的放缩功能. 2.创造应用基本不等式的条件,合理拆添项或配凑因式是常用的
3、解题技 巧.拆与凑的前提是能使等号成立.,3.“和定积最大,积定和最小”,即n个(n=2,3,)正数的和为定值,则可求 其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.应用此结论求最值要注 意三个条件: (1)各项或各因式均正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值.,必要时要进行适当的变形,以满足上述条件. 4.基本不等式是几个正数和与积转化的依据,不但可直接解决和与积的 不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式 的不等式.如:和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积 的和等.,考向突破,考向 利用基本不等式求最值,例 已知x0,y0,且 + =
4、1,则x+y的最小值为 .,解析 x0,y0, + =1, x+y=(x+y) = + +106+10=16, 当且仅当 = 时,等号成立. 又 + =1,当x=4,y=12时,(x+y)min=16.,答案 16,考点二 不等式的综合应用,考向基础 1.不等式的应用题分类 一类是建立不等式求参数取值范围或解决一些实际应用题,另一类是建 立函数关系,利用基本不等式求最值问题. 2.解不等式的实际应用题的一般步骤,考向突破,考向 利用不等式解决实际问题,例 (2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运 费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与
5、总存储 费用之和最小,则x的值是 .,解析 设总费用为y万元,则y= 6+4x=4 240.当且仅当x=,即x=30时,等号成立.,答案 30 易错警示 1.a+b2 (a0,b0)中“=”成立的条件是a=b.2.本题是 求取最值时变量x的值,不要与求最值混淆.,方法 不等式与函数、方程、数列的综合问题 1.利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决 函数中的有关问题,主要体现在利用不等式求函数的定义域、值域、最 值、证明单调性等方面. 2.利用函数、方程、不等式之间的关系,可解决一元二次方程根的分布 问题. 3.不等式与数列的综合题经常出现在高考压轴题中,主要体现在比较数 列
6、中两项的大小的问题中.,方法技巧,(1)仔细阅读题目,透彻理解题意; (2)分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把 要求最值的变量设为函数; (3)应用基本不等式求出函数的最值; (4)还原实际问题,作出解答.,4.应用基本不等式解决实际问题的步骤:,例 若直线mx+ny+2=0(m0,n0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,则 + 的最小值为 ( ) A.4 B.12 C.16 D.6,解析 圆(x+3)2+(y+1)2=1的半径为1,圆心为(-3,-1), 因为直线mx+ny+2=0(m0,n0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,所以 直线经过圆的圆心, 则可得3m+n=2. 则 + = (3m+n)= 3+ =6, 当且仅当 = ,即m= ,n=1时取等号.故选D.,答案 D,
