1、1.连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 直线l: f(x,y)=0,曲线r:F(x,y)=0,l与r的两个不同的交点为A(x1,y1)、B(x2,y 2),则(x1,y1)、(x2,y2)是方程组 的两组解.方程组消元后化为关 于x(也可以是y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0).判别式=b2-4ac,应有 0,x1、x2是方程ax2+bx+c=0的解.由根与系数的关系求出x1+x2=- ,x1x2=,所以A、B两点间的距离|AB|= |x1-x2| ,此即为弦长公式.也,考点清单,可以写成关于y的形式,弦长公式为|AB|= |y1-y2|(k0) . 2.中点弦问题 (1)已
2、知AB是椭圆 + =1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运 用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,点A,B都在椭圆上, 两式相减得 + =0, + =0, =- =- ,故kAB=- . (2)已知AB是双曲线 - =1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x 2,弦中点M(x0,y0),则kAB= . (3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中 点M(x0,y0), 则 两式相减得 - =2p(x1-x2), (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1
3、-x2), = = ,即kAB= .,1.直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的主要内容之 一,也是高考的一个热点问题,常利用一元二次方程根与系数的关系(韦 达定理)直接得到两交点的坐标之和与坐标之积,也可用平方差找到两 交点的坐标之和,直接与中点坐标建立联系.一般有以下三类问题:(1)求 中点弦所在直线方程;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,求 弦中点的坐标. 2.解答曲线关于直线对称的问题时,只需注意两点关于一条直线对称的 条件:(1)两点连线与该直线垂直(两直线都有斜率时,斜率互为负倒数); (2)两点所连线段的中点在此直线上(中点坐标适合直线方程).,知识拓展
4、,方法1 圆锥曲线中弦长的求法 关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方 程,化为关于x的一元二次方程,设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系 数的关系及弦长公式 求出弦长,这种整体代换、 设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对 于求解过焦点的圆锥曲线弦长问题,这种方法比较烦琐,此时可利用圆 锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式简化运算.,方法技巧,例1 (2018北京文,20,14分)已知椭圆M: + =1(ab0)的离心率为,焦距为2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程
5、; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一 个交点为D.若C,D和点Q 共线,求k.,解析 (1)由题意得 解得a= ,b=1. 所以椭圆M的方程为 +y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得4x2+6mx+3m2-3=0. 所以x1+x2=- ,x1x2= . |AB|= =,= = . 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为 . (3)设A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得 +3 =3, +3 =3. 直线PA的方程为y= (x+2). 由
6、 得(x1+2)2+3 x2+12 x+12 -3(x1+2)2=0. 设C(xC,yC). 所以xC+x1= = .,所以xC= -x1= . 所以yC= (xC+2)= . 设D(xD,yD).同理得xD= ,yD= . 记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ, 则kCQ-kDQ= - =4(y1-y2-x1+x2). 因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0. 故y1-y2=x1-x2. 所以直线l的斜率k= =1.,方法2 圆锥曲线中弦中点问题的求法 1.点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式 子中含有x1+x2,y1+y2, 三个未知量,这样就直接
7、联系了中点和直线 的斜率,借用中点公式即可求得斜率. 2.根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二次方 程后由根与系数的关系求解.,例2 已知P(1,1)为椭圆 + =1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P 点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为 .,解析 解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x- 1),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程 消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0, x1+x2= , 又x1+x2=2, =2,解得k=- . 故此弦所在直线的方程为y-1=- (x-1),即x+2y-3=0. 解法二:易知此弦所在直线的斜率存在, 设直线的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1, -得 + =0, x1+x2=2,y1+y2=2, +y1-y2=0, k= =- . 此弦所在直线的方程为y-1=- (x-1),即x+2y-3=0.,答案 x+2y-3=0,
