1、高考数学（浙江专用）,10.5 曲线与方程,考点 曲线与方程,考点清单,考向基础 1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么这个方程叫做曲线的 方程,这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系建立适当的坐标系;,(2)设点设轨迹上的任一点P(x,y); (3)列式列出动点P所满足的关系式; (4)代换依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 关于x、y的方程式,并化
2、简; (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件,也就是曲线上点的坐标的 取值范围.由曲线和方程的概念可知,在求曲线方程时一定要注意它的 完备性和纯粹性,即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明x的取值范围, 或同时注明x、y的取值范围. 4.“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系,求“轨迹”时先要求出 “轨迹方程”,然后再说明方程表示的轨迹图形,最后“补漏”和“去 掉增多”的点,若轨迹有不同的情况,应分类讨论,以保证它的完整性.,方法1 直接法求轨迹方程 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何 条件简单明了且易于表达,那么
3、我们只需把这种关系“翻译”成含x、y 的等式就可得到曲线的轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其 他步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法.,方法技巧,例1 (2017浙江杭州质检,19)在平面直角坐标系内,点A(0,1),B(0,-1),C (1,0),点P满足 =k| |2. (1)若k=2,求点P的轨迹方程; (2)当k=0时,若| + |max=4,求实数的值.,解析 (1)设P(x,y),则 =(x,y-1), =(x,y+1),=(1-x,-y). 由k=2,得(x,y-1)(x,y+1)=2(1-x)2+(-y)2, 化简并整理得(x-2)2+y2=1, 故点P的轨迹方程
4、为(x-2)2+y2=1. (7分) (2)由k=0,得 =0,所以 x2+y2=1. 所以| + |2=2| |2+| |2=2x2+(y-1)2+x2+(y+1)2=(2-22)y+22+2,y -1,1. 当2-220,即-11时, (| + |max)2=2-22+22+2=416,不合题意,舍去; 当2-220,即1或-1时,(| + |max)2=22-2+22+2=16,解得=2,符合题意. 故实数的值为-2或2. (15分),评析 本题考查向量的数量积运算,用直接法求轨迹方程、条件最值等 基础知识,考查运算求解能力和分类讨论思想.,方法2 定义法求轨迹方程 若所求动点的轨迹符合
5、某一基本轨迹的定义,则可根据定义直接求出动 点的轨迹方程.,例2 (2016课标全国,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过 点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点 E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与 圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.,解题导引,解析 (1)因为|AD|=|AC|,EBAC, 故EBD=ACD=ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又
6、圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. (2分) 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为 +=1(y0). (4分) (2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0), M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.,则x1+x2= ,x1x2= . 所以|MN|= |x1-x2|= . (6分) 过点B(1,0)且与l垂直的直线m的方程为y=- (x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2 =4 . 故四边形MPNQ的面积S= |MN|PQ
7、|=12 . (10分) 可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8 ). 当l与x轴垂直时,l的方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 ). (12分),方法总结 定义法求轨迹方程的一般步骤: (1)判定动点的运动轨迹满足某种曲线的定义; (2)设标准方程,求方程中的基本量; (3)写出轨迹方程.,方法3 相关点法求轨迹方程 有些问题中,某动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动 点(称之为相关点)的运动而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的, 或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点 所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相 关点法,又叫代入法或坐标代换法.,例3 (2017浙江“超级全能生”联考(3月),13)在平面直角坐标系中,A (a,0),D(0,b),a0,C(0,-2),CAB= ,D是AB的中点,当A在x轴上移动时,a 与b满足的关系式为 ;点B的轨迹E的方程为 .,解析 因为CAB= , 所以 =-1,所以a2=2b. 设B(x,y).因为D是AB的中点, 所以 所以 将代入,得y=x2(x0), 所以点B的轨迹E的方程为y=x2(x0).,答案 a2=2b;y=x2(x0),
