1、 4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式,教材研读,1.两角和与差,二倍角的正弦、余弦和正切公式以及变形形式,2.公式的变形与应用,3.角的拆分与组合,考点突破,考点一 三角公式的直接应用,考点二 三角函数公式的逆用与变形应用,考点三 角的变换,1.两角和与差,二倍角的正弦、余弦和正切公式以及变形形式,教材研读,2.公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan +tan = tan(+)(1-tan tan ) ; tan -tan = tan(-)(1+tan tan ) . (2)升幂公式1+cos =2cos2 ; 1-cos =2sin2 . (3)降幂公式
2、,sin2= ; cos2= . (4)其他常用变形 sin 2= = ; cos 2= = ;,1sin = ; tan = = .,3.角的拆分与组合 (1)用已知角表示未知角 例如,2=(+)+(-),2=(+)-(-), =(+)-=(-)+, = - = + . (2)互余与互补关系 例如, + = ,+ =. (3)非特殊角转化为特殊角 例如,15=45-30,75=45+30.,1.sin 75cos 30-sin 15sin 150的值为 ( C ) A.1 B. C. D.,2.已知x ,cos x= ,则tan 2x等于 ( D ) A. B.- C. D.-,3.已知si
3、n = ,则sin 2x的值为 ( D ) A. B. C. D.,4.(2019浙江绍兴一中月考)若(0,),且cos +sin =- ,则cos 2等于 ( A ) A. B. C.- D.,5.已知tan = ,tan = ,0 ,则+2等于 ( B ) A. B. C. 或 D.,解析 tan 2= = = . tan(+2)= = =1. 因为tan = 1,tan = 1,且,均为锐角, 所以0 ,0 ,所以0+2 , 所以+2= .,三角公式的直接应用 典例1 (1)(2018广西三市第一次联考)已知x(0,),且cos =sin 2x,则tan 等于 ( A ) A. B.-
4、C.3 D.-3 (2)(2018杭州中学高三月考)已知 ,且sin = ,则sin =,cos = - .,考点突破,解析 (1)由cos =sin2x得sin 2x=sin2x, x(0,),sin x0,化简得tan x=2, tan = = . (2)因为 ,所以0- , 所以cos = = , 所以sin =sin =sin cos +cos sin = +, = , cos =cos =-sin =- .,方法技巧 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征和符 号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”. (2)使用公式
5、求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合 应用.,1-1 (2017课标全国文,15,5分)已知 ,tan =2,则cos =.,解析 因为 ,且tan = =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2= 1,所以sin = ,cos = ,则cos =cos cos +sin sin = + = .,易错警示 在求三角函数值时,常用到sin2+cos2=1和tan = ,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.,典例2 (1)已知 ,且sin -cos =- ,则 = ( D ) A. B. C. D. (2)计算 的值为 ( B ) A.- B. C. D.-,三角函
6、数公式的逆用与变形应用,解析 (1)由sin -cos =- 得sin = , ,0 - ,cos = . = = = =2cos = .,(2) = = = = .,方法技巧 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan(+)(或tan(-)三者中可以知二求一.应注重公式的逆用和变形使用.,2-1 计算: = ( D ) A. B.- C. D.-,解析 原式=- =- tan =- =- .,2-2 (2019温州中学月考)已知cos +sin = ,则sin 的值 是 -
7、 .,解析 由cos +sin = ,可得 cos + sin +sin = ,即 sin + cos = , sin = ,即sin = ,sin =- sin =- .,典例3 已知,均为锐角,且sin = ,tan(-)=- . (1)求sin(-)的值; (2)求cos 的值.,角的变换,解析 (1), ,- - . 又tan(-)=- 0,- -0. 又 sin(-)=- . (2)由(1)可得,cos(-)= .,为锐角,且sin = , cos = . cos =cos-(-) =cos cos(-)+sin sin(-) = + = .,规律总结 利用角的变换求三角函数值的策略
8、 (1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角” 的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,着眼于“所求角”与“已知角”的和或差 的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的配角技巧:=2 ;=(+)-;=-(-);,= (+)+(-);= (+)-(-);+= - .,同类练 已知tan(+)= ,tan = ,则tan(-)的值为 - .,解析 tan(+)= ,tan = , tan =tan(+)-= = = , tan(-)= = =- .,变式练 (2017贵州六盘水质检)已知cos = ,cos(+)=- ,且、,则cos(-)的值等于
9、 ( D ) A.- B. C.- D.,解析 由题意可得sin = = = , 、 ,+(0,), sin(+)= = = . cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin = + =,sin = = = , cos(-)=cos cos +sin sin = + = .,深化练 (2017福建福州综合质量检测)已知m= ,若sin 2(+ )=3sin 2,则m= ( D ) A. B. C. D.2,解析 设A=+,B=-+,则2(+)=A+B,2=A-B,因为sin 2(+)=3 sin 2,所以sin(A+B)=3sin(A-B),即sin Acos B+cos Asin B=3(sin Acos B- cos Asin B),即2cos Asin B=sin Acos B,所以tan A=2tan B,所以m= =2, 故选D.,
