1、1山西大学附属中学2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断数学试题（理）第卷（共60分）一、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合 ，集合 中至少有 个元素，则（ ）2|1logAxNkA3A B C D16k68k8k2. 复数 的实部与虚部之差为（ ）34iA-1 B1 C D75753. 已知 ，则 （ ）cos2costan4A B C D4413134已知 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）1abbbA B C D2225某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗
2、分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）A72种 B36种 C24种 D18种6. 当输入 a的值为 16， b的值为 12时，执行如图所示的程序框图，则输出的 a的结果是（ ）A 2B 3C 4D 67. 已知函数 lnfx，则 yfx的图象大致为（ ）A B2C D8如图，在棱长为 的正方体 中，a1ABC为 的中点， 为 上任意一点， 、 为P1ADQ1EF上两点，且 的长为定值，则下面四个值中不是EF定值的是（ ）A点 到平面 的距离B直线 与 平面 所成的角PC三棱锥 的体积D 的面积QEF9已知函数 ，则函数 满
3、足（ ）()cos)in4fxx()fxA最小正周期为 B图象关于点 对称2T 2(,)84C在区间 上为减函数 D图象关于直线 对称(0,)8 x10. 设锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，ABC ACabc1，则 周长的取值范围为（ ）2A B,0,3C D3211. 设双曲线 2:10,xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，过 1的直线分别交双曲线左右两支于点 M， N，连结 2F， N，若 20M， 2NF，则双曲线 C的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 612.已知函数 （ 为自然对数的底），若方程e,0()(1)xmxfe有且仅有四个不同的解，则实数 的取
4、值范围是（ ） ()0fxA. B. C. D. ,ee,+(,2)(2e,)第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 3图1：设备改造前样本的频率分布直方图已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动，则 的取值),(yxP02,1yx yxz范围是 14已知点 及抛物线 上一动点 则 的最小值是 )0,2(Q4),(yxP|Q15. 已知数列 na为正项的递增等比数列， 1582a， 481a，记数列 2na的前n项和为 T，则使不等式 12093nT成立的正整数 n的最大值为_16. 已知在四面体 中， ，则该四面体的体积的最大值为ABCD1BAC_ 三、
5、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分12分）已知数列 的前 项和为 ，且 nanS21nna（1）求数列 的通项公式；na（2）若数列 的前 项和为 ，证明： 21nnT4n18（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形 ABCD， 2， 6， 2AD， E、 F分别是 CD的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线 F、 BE折起，使得点 C和点 重合，记为点 P，如图（2）（1）求证：平面 E平面 ABF；（2）求平面 A与平面 所成锐二面角的余弦值19（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量
6、指标值，若该项质量指标值落在 内的产品视为合格20,4)品，否则为不合格品图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表4表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值 15,20),5)2,30),5)3,40),5)频数 2 18 48 14 16 2（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在 5,3)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在 20,5)或 3,)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三
7、等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 （单位：元X），求 的分布列和数学期望X20设椭圆 2:10xyCab的离心率为 2，圆 2:Oxy与 x轴正半轴交于点 A，圆 O在点 处的切线被椭圆 C截得的弦长为 （1）求椭圆 的方程；21. 已知函数 ,其中 为实数 (1)求函数 的单调区间；(2)若函数 有两个极值点 ，求证： 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOyx
8、1C的极坐标方程为 为曲线 上的动点，点 在射线 上，且4cos(0)M1CPOM满足 |2MP（）求点 的轨迹 的直角坐标方程；C（）设 与 轴交于点 ，过点 且倾斜角为 的直线 与 相交于 两点，2xD56l1,AB求 的值|DAB523选修4-5：不等式选讲已知函数 13fxaR（1）当 时，解不等式 ；2a13xf（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围xfM1,32a山西大学附属中学2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断数学试题（理）第卷（共60分）二、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.
9、 已知集合 ，集合 中至少有 个元素，则（ ）2|1logAxNkA3A B C D16k68k8k【答案】B【解析】试题分析：由集合 中至少有 个元素，则 ，解得 ，故选B. 32log4k16k2. 复数 的实部与虚部之差为（ ）634iA-1 B1 C D7575【答案】B63. 已知 ，则 （ ）cos2costan4A B C D441313【答案】C【解析】因为 ，所以 ，cos2cossin2costan2所以 ，故选C1tantan434已知 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）2bbabA B C D1 122【答案】D【解析】设 与 的夹角为 ， ， ，abab20
10、aba， ，向量 在 方向上的投影为 ，2cos02cos2cos故选D5某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）A72种 B36种 C24种 D18种5【答案】B【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，7若甲村有1外科，2名护士，则有 123C9，其余的分到乙村，若甲村有2外科，1名护士，则有 ，其余的分到乙村，则总共的分配方案为 291836种
11、，故选B6. 当输入 a的值为 16， b的值为 时，执行如图所示的程序框图，则输出的 a的结果是（ ）A 2B 3C 4D 6【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得 16a， 2b，满足条件 ab，满足条件 ， 4，满足条件 ，不满足条件 ， 8，满足条件 ，不满足条件 ab， ，不满足条件 ab，输出 的值为4故选C7. 已知函数 2ln1fx，则 yfx的图象大致为（ ）8A BC D7【答案】A【解析】由于 1201lnl2f，排除B选项由于 2ef， 2e3f， eff，函数单调递减，排除C选项由于 1001，排除D选项故选A8如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 上a1
12、BP1ADQ1AB任意一点， 、 为 上两点，且 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是EFCEF（ ）A点 到平面 的距离PQB直线 与 平面 所成的角EFC三棱锥 的体积D 的面积Q8.【答案】B【解析】试题分析：将平面 延展到平面 如下图所示，由图可知， 到平面EF1CDABP1CDAB的距离为定值.由于四边形 为矩形，故三角形 的面积为定值，进而三棱锥1QEF9的体积为定值.故A ，C，D选项 为真命题，B为假命题.PQEF9已知函数 ，则函数 满足（ ）()cos)in4fxx()fxA最小正周期为 B图象关于点 对称2T 2(,)84C在区间 上为减函数 D图象关于直线 对称(0,
13、)8 x9.【答案】D【解析】 221cos2()cosinssinsin2144xfxxx x，所以函数最小正周期为 ，将 代入 ，为 故直线 为函8ii8数的对称轴，选D.10. 设锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，ABC ABCabc1，则 周长的取值范围为（ ）2AA B0,0,3C D32【答案】C【解析】因为 为锐角三角形，所以 ， ， ，即ABC 02AB02C10， ， ，所以 ，02C02C0264C23cosC；又因为 ，A所以 ，又因为 ，所以 ；由 ，sin2icos1ccosainsbcB即 ，所以 ，令2ii34sBCb24obCostC，则
14、，又因为函数 在 上单调递增，所以函数值域23( ,t24yt3( ,2为 ，故选：C ,11. 设双曲线 2:10,xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，过 1的直线分别交双曲线左右两支于点 M， N，连结 2F， N，若 20M， 2NF，则双曲线 C的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 611【答案】B【解析】结合题意可知，设 2MFx，则 2Nx， 2Mx，则结合双曲线的性质可得， 1a， 1FNa，代入，解得 2xa， 12， 2a， 1245F，对三角形 1FN运用余弦定理，得到2222cos45aacaa，11解得 3cea故选B12.已知函数 （ 为自然对数的底），若方程e,
15、0()2(1)xmxfe有且仅有四个不同的解，则实数 的取值范围是（ ） ()0fxfA. B. C. D. ,e(e,+)(0,2e)(2e,)答案：D解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数 ,将方程根的问题转化()()Fxfx=+-为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数 在 上的零点个数，0再转化成方程 解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转1e()2xm化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.因为函数 是偶函数，
16、 ，所以零点成对出现，依题意，()()Fff(0)F方程有两个不同的正根，又当 时， ，所以方程可以化为xe2xmf：，即 ，记 ，ee02xxm1e()x()exg，设直 与 图像 相切时的切点为 ，则()1)g()2yg(,)t切线方程为 ，过点 ，所以ettyxt(,0)或 （舍），所以切线的斜率为 ，由图像可以得e()2ttt12em第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 12已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动，则 的取值),(yxP02,1yx yxz范围是 13【答案】 2,1试题分析：由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
17、平移直线过点 时， 有最小值为 ；平移直线 过点 时， 有0xy(0,)Az10xy(2,0)Bz最大值为 ，所以 的取值范围是 ，2yxz2,114已知点 及抛物线 上一动点 则 的最小值是 )0,(Q4x),(yxP|Q14【答案】215. 已知数列 na为正项的递增等比数列， 1582a， 481a，记数列 2na的前n项和为 nT，则使不等式 12093nT成立的正整数 n的最大值为_15【答案】6【解析】数列 na为正项的递增等比数列， 1582a， 4158aa，即 1582，解得 158，则公比 3q， 1n，则 21211333nnnnT ， 20193nT，即 209n，得
18、09n，此时正整数 的最大值为 6故答案为61316（理）. 已知在四面体 中， ，则该四面体的体积的最大值为ABCD1BAC_ 16答案： 237解析：取 中点 ，连接 ，要使得四面体的体积最大，ABO,则必有平面 平面 ，设 ，DCBt则 ，22,1tt则 ，31()3Vtttt则 ，令 ，得 ，当 时， 取得最大值 2()t0VttV237三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(理)17（本小题满分12分）已知数列 的前 项和为 ，且 nanS21nna（1）求数列 的通项公式；na（2）若数列 的前 项和为 ，证明： 21nnT4n17解析：（1）当 时， ，即 ，1分
19、11Sa1a当 时， ， 2n 2nn2分11()S，得 ， 11()2nnnaa即 ，3分1()n所以 ，nABCDO14且 ，4分12a所以数列 为常数列，5分n，即 6分12na1()nN（2）由（1）得 ，所以 ，8分2na22414(1)()nann所以 ，9分22243()nT，10分41(1)n11分142341n 12分n18（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形 ABCD， 2， 6， 2AD， E、 F分别是 CD的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线 F、 BE折起，使得点 C和点 重合，记为点 P，如图（2）（1）求证：平面 E平面 ABF；（2）求平面 A与平面 所成锐二
20、面角的余弦值15图1：设备改造前样本的频率分布直方图18【答案】（1）见解析；（2） 7【解析】（1） E、 F是 CD的两个三等分点，易知， ABEF是正方形，故 BEF，又 BP，且 ， BF面 P又 面 A，平面 P平面 AE（2）过 作 OEF于 ，过 作 的平行线交 B于 G，则 PO面 ABEF，又 P， ， G所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，则 2,10A， 2,B， 0,1F， 0,3P， ,F， ,3P， ,2AB， 2,13A，设平面 的法向量为 11,xyzn，则 10AFPn， 1203yz， 10,3，设平面 B的法向量为 22,xyn，则 20APn
21、， 2203， 2,30n，127cosn平面 PAE与平面 B所成锐二面角的余弦值 719（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量16产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品图1是设备改造前样本的频率分布直20,4)方图，表1是设备改造后样本的频数分布表表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值 15,20),5)2,30),5)3,40),5)频数 2 18 48 14 16 2（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质
22、量指标值落在 5,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在 20,5)或 3,)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 （单位：元X），求 的分布列和数学期望X18解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下质量指标值 15,20),5)2,30),5)3,40),5)频数 4 16 40 12 18 1047.6.7.1.87.12.102512045230504 31分样本的
23、质量指标平均值为 302.1172分根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 30.23分（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为 ， ，123，16故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为 ， ， 12364分随机变量 的取值为：240，300，360，420，4805X分， ，1(240)63P12(30)69PXC， ，1215(3)8XC12(4)3， 10(480)4P分所以随机变量 的分布列为：X11分所以 151()240360428046983EX240 300 360 420 480P13619581341812分20设椭圆 2
24、:10xyCab的离心率为 2，圆 2:Oxy与 x轴正半轴交于点 A，圆 O在点 处的切线被椭圆 C截得的弦长为 （1）求椭圆 的方程；（2）设圆 上任意一点 P处的切线交椭圆 于点 M， N，试判断 PN是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由20【答案】（1）2163xy；（2）见解析【解析】 （1）设椭圆的半焦距为 c，由椭圆的离心率为 2知， bc， 2ab，椭圆 C的方程可设为21xyb易求得 ,0A， 点 ,在椭圆上， 21b，解得 263a，椭圆 C的方程为2163xy（2）当过点 P且与圆 O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 2x，由（1）知， 2,M
25、， 2,N， 2,OM， ,N，0ON， 当过点 P且与圆 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ykxm， 1,xy， 2,Nxy， 21mk，即 2联立直线和椭圆的方程得 226xk，19 221460kxm，得221241606kmkxk 1,OMxy， 2,Nxy， 2112kmx22 21 6411kmkxmxk 22 264 36301k k， OMN综上所述，圆 上任意一点 P处的切线交椭圆 C于点 M， N，都有 ON在 Rt 中，由 O 与 N 相似得， 22OP为定值21. 已知函数 ,其中 为实数 (1)求函数 的单调区间；(2)若函数 有两个极值点 ，求证： 【答案】
26、 (1)单调减区间为 , ,单调减区间为(3)见解析【解析】(1) ，函数 的定义域为 ，若 ,即 ,则 ,此时 的单调减区间为 ;若 ,即 ,则 的两根为 ,20此时 的单调减区间为 , ,单调减区间为3. 此时 的单调增区间为 , 0,a0,24a单调减区间为 24,(3)由(2)知 ，当 时，函数 有两个极值点 ,且因为要证 ,只需证 构造函数 ，则 ，在 上单调递增,又 ,且 在定义域上不间断,由零点存在定理，可知 在 上唯一实根 , 且 则 在 上递减, 上递增,所以 的最小值为 因为 ,当 时, ,则 ,所以 恒成立21所以 ,所以 ，得证请考生在22、23两题中任选一题作答，如果
27、多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOyx的极坐标方程为 为曲线 上的动点，点 在射线 上1C4cos(0)M1CPOM，且满足 |2MP（）求点 的轨迹 的直角坐标方程；C（）设 与 轴交于点 ，过点 且倾斜角为 的直线 与 相交于 两点，2xD56l1,AB求 的值|DAB答案：（） ；5（） .解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点 的极坐标,PM的关系找到点 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首
28、先要根据条件P确定直线 的参数方程，依据参数 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.l t（）设 的极坐标为 ， 的极坐标为 ，)0(,M)0(,1由题设知 所以 ， 1,4cosO2cos42分 即 的极坐标方程 ，所以 的直角坐标方程为 2Ccs5()2C5x5分（）交点 ，所以直线 的参数方程为 （ 为参数），)0,5(Dl35,12xty曲线 的直角坐标方程 ，1C)0(42xyx代入得： ， ， 32tt 78分 设方程两根为 ，则 分别是 对应的参数，12,12,AB所以 5|tDBA10分23选修4-5：不等式选讲22已知函数 13fxaR（1）当 时，解不等式 ；2a13xf（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围xfM1,32a【答案】（1） ；（2） |01x或 14,3【解析】（1）当 时，原不等式可化为 a23x当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；3x120x当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；23x12当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 x32xx综上所述，当 时，不等式的解集为 5分a|0x或（2）不等式 可化为 ，13xfx313ax依题意不等式 在 恒成立，a,2所以 ，即 ，即 ，313xx11ax所以 解得 ， 12a4故所求实数 的取值范围是 10分a1,2323
