1、1考点规范练 48 直线与圆锥曲线一、基础巩固1.(2018甘肃兰州一诊)双曲线 =1的一条渐近线与抛物线 y=x2+1只有一个公共点,则双曲线x2a2-y2b2的离心率为( )A. B.5 C. D.54 54 5答案 D解析 不妨设 =1的渐近线 y= x与 y=x2+1只有一个交点,x2a2-y2b2 ba由 得 ax2-bx+a=0,y=bax,y=x2+1所以 =b 2-4a2=0,即 c2-a2-4a2=0, =5,e= .故选 D.c2a2 ca= 52.(2018山东烟台期末)过双曲线 =1(a0,b0)的右焦点 F(1,0)作 x轴的垂线与双曲线交于x2a2-y2b2A,B两
2、点, O为坐标原点,若 AOB的面积为 ,则双曲线的渐近线方程为( )83A.y= x B.y=2 x32 2C.y=2 x D.y=2x3答案 B解析 由题意得 |AB|= ,S AOB= ,2b2a 83 1= , . 122b2a 83 b2a=83a 2+b2=1, 解 得 a= ,b= ,13 223 双曲线的渐近线方程为 y= x=2 x.故选 B.ba 223.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y=2x2上的两点,直线 l是 AB的垂直平分线 .当直线 l的斜率为 时,直12线 l在 y轴上的截距的取值范围是( )A. B. C.(2,+ ) D.(- ,-1)(3
3、4,+ ) 34,+ )答案 A解析 设直线 l在 y轴上的截距为 b,则直线 l的方程为 y= x+b,过点 A,B的直线可设为 y=-2x+m,12联立方程 得 2x2+2x-m=0,y=2x2,y= -2x+m从而有 x1+x2=-1,= 4+8m0,m- .12又 AB的中点 在直线 l上,即 m+1=- +b,得 m=b- ,将 m=b- 代入 4+8m0,得 b ,所以(-12,m+1) 14 54 54 34直线 l在 y轴上的截距的取值范围是 .(34,+ )4.过抛物线 C:y2=4x的焦点 F,且斜率为 的直线交 C于点 M(M在 x轴的上方), l为 C的准线,点 N3在
4、 l上,且 MN l,则 M到直线 NF的距离为( )A. B.2 C.2 D.35 2 3 3答案 C解析 由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l的方程为 x=-1,可得直线 MF:y= (x-1),与抛物线3y2=4x联立,消去 y得 3x2-10x+3=0,解得 x1= ,x2=3.13因为 M在 x轴的上方,所以 M(3,2 ).3因为 MN l,且 N在 l上,所以 N(-1,2 ).3因为 F(1,0),所以直线 NF:y=- (x-1).3所以 M到直线 NF的距离为 =2 .|3(3-1)+23|(- 3)2+12 35.斜率为 1的直线 l与椭圆 +y2=1相交于 A
5、,B两点,则 |AB|的最大值为( )x24A.2 B. C. D.455 4105 8105答案 C3解析 设 A,B两点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),直线 l的方程为 y=x+t,由 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0.x2+4y2=4,y=x+t 则 x1+x2=- t,x1x2= .85 4(t2-1)5所以 |AB|= |x1-x2|1+k2= 1+k2(x1+x2)2-4x1x2= ,2(-85t)2-44(t2-1)5 =4255-t2当 t=0时, |AB|max= .41056.已知双曲线 =1(a0,b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差
6、为 4,若抛物线 y=ax2x2a2-y2b2上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m对称,且 x1x2=- ,则 m的值为 ( )12A. B. C.2 D.332 52答案 A解析 由双曲线的定义知 2a=4,得 a=2,所以抛物线的方程为 y=2x2.因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y=2x2上,所以 y1=2 ,y2=2 ,x21 x22两式相减得 y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设 x1b0)的左焦点 F(-2,0),上顶点 B(0,2).x2a2+y2b2(1)求椭圆 C的方程;(2)若直线 y=x+m与椭圆 C交于不同的
7、两点 M,N,且线段 MN的中点 G在圆 x2+y2=1上,求 m的值 .解 (1)由题意可得, c=2,b=2,由 a2=b2+c2得 a2=22+22=8,所以 a=2 .2故椭圆 C的方程为 =1.x28+y24(2)设点 M,N的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),线段 MN的中点 G(x0,y0),由 消 y,得 3x2+4mx+2m2-8=0,y=x+m,x28+y24=1则 = 96-8m20,所以 -2 0)于点 P,M关于点 P的对称点为 N,连接 ON并延长交 C于点 H.(1)求 ;|OH|ON|(2)除 H以外,直线 MH与 C是否有其他公共点?说明理由 .解
8、(1)由已知得 M(0,t),P .(t22p,t)又 N为 M关于点 P的对称点,故 N ,ON的方程为 y= x,代入 y2=2px整理得 px2-2t2x=0,解得 x1=0,x2= .因此 H .(t2p,t) pt 2t2p (2t2p,2t)所以 N为 OH的中点,即 =2.|OH|ON|(2)直线 MH与 C除 H以外没有其他公共点 .理由如下:直线 MH的方程为 y-t= x,即 x= (y-t).p2t 2tp代入 y2=2px得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH与 C只有一个公共点,所以除 H以外直线 MH与 C没有其他公共点 .10.(201
9、8福建厦门第一次质检)设 O为坐标原点,椭圆 C: =1(ab0)的左焦点为 F,离心率为x2a2+y2b2.直线 l:y=kx+m(m0)与 C交于 A,B两点, AF的中点为 M,|OM|+|MF|=5.255(1)求椭圆 C的方程;(2)设点 P(0,1), =-4,求证:直线 l过定点,并求出定点的坐标 .PAPB解 (1)设椭圆的右焦点为 F1,则 OM为 AFF1的中位线 .OM= AF1,MF= AF,12 12|OM|+|MF|= =a=5,|AF|+|AF1|26e= ,c= 2 ,b= ,ca=255 5 5 椭圆 C的方程为 =1.x225+y25(2)设 A(x1,y1
10、),B(x2,y2).联立 消去 y整理得(1 +5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.y=kx+m,x225+y25=1 0,x1+x2=- ,x1x2= ,10km1+5k2 5m2-251+5k2y 1+y2=k(x1+x2)+2m= ,2m1+5k2y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= ,5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2 = -25k2+m21+5k2P (0,1), =-4,PAPB (x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4, +5=0,5m2-251+5k2+
11、-25k2+m21+5k2 - 2m1+5k2整理得 3m2-m-10=0,解得 m=2或 m=- (舍去) .53 直线 l过定点(0,2) .二、能力提升11.(2018天津,文 7)已知双曲线 =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x轴的直线与x2a2-y2b2双曲线交于 A,B两点 .设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为( )A. =1 B. =1x23-y29 x29-y237C. =1 D. =1x24-y212 x212-y24答案 A解析 由双曲线的对称性,不妨取渐近线 y= x.ba如图, |AD|=d
12、1,|BC|=d2,过点 F作 FE CD于点 E.由题易知 EF为梯形 ABCD的中位线,所以 |EF|= (d1+d2)=3.12又因为点 F(c,0)到直线 y= x的距离为 =b,ba |bc-0|a2+b2所以 b=3,b2=9.因为 e= =2,a2+b2=c2,所以 a2=3,所以双曲线方程为 =1.故选 A.ca x23-y2912.设双曲线 x2- =1的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P在双曲线上,且 F1PF2为锐角三角形,则y23|PF1|+|PF2|的取值范围是 . 答案 (2 ,8)7解析 由题意,知 a=1,b= ,c=2,则 e= =2.3ca设 P(x,y
13、)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设 P在右支上,由 F1PF2为锐角三角形,可知 1|F1F2|2,即(2 x+1)2+(2x-1)242,解得 x ,728所以 0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C于点 P.若点 P的横x2a2-y2b2坐标缩为 2a,则 C的离心率为 . 答案 2+ 3解析 不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为 y= (x-c),与 C交于 P(x0,y0).bax 0=2a,y 0= (2a-c).ba又 P(x0,y0)在双曲线 C上, =1.(2a)2a2 -b2a2(2a-c)2b2 整理得 a2-4ac+c2=0,设双曲线 C的离心率为 e
14、,故 1-4e+e2=0.e 1=2- (舍去), e2=2+ .3 3即双曲线 C的离心率为 2+ .314.已知过点 A(0,1)且斜率为 k的直线 l与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1交于 M,N两点 .(1)求 k的取值范围;(2)若 =12,其中 O为坐标原点,求 |MN|.OMON解 (1)由题设,可知直线 l的方程为 y=kx+1.因为 l与 C交于两点,所以 b0)的左、右顶点分别为 A1,A2,右焦点 F的坐标为( ,0),点 P坐标为x2a2+y2b2 3(-2,2),且直线 PA1 x轴,过点 P作直线与椭圆 E交于 A,B两点( A,B在第一象限且点 A在点 B的
15、上方),直线 OP与 AA2交于点 Q,连接 QA1.(1)求椭圆 E的方程;(2)设直线 QA1的斜率为 k1,直线 A1B的斜率为 k2,问: k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由 .解 (1)由题意可知 所以 b=1.a=2,c= 3,所以椭圆的方程为 +y2=1.x24(2)是定值,定值为 - .14设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 AB过点 P(-2,2),设直线 AB的方程为 x=my-2m-2,联立 (m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,x2+4y2=4,x=my-2m-2所以 y1+y2= ,y1y2= ,4m2+4mm2+4 4m2+8mm2+4因为点 Q在直线 OP上,所以可设 Q(-t,t).又 Q在直线 AA2上,所以 t=- ,t-t-2= y1x1-2 2y1x1+y1-210所以 k1k2=- 2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2=-y1y2(x2+2)(x1+2y1-2)=-y1y2(my2-2m)(m+2)(y1-2)=-y1y2(m2+2m)y1y2-2(y1+y2)+4=- .14
