1、- 1 -河南省洛阳市 2018-2019 学年高一上学期期末数学测试一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 A= ， B= ，则A. A B= B. A BC. A B D. A B=R【答案】A【解析】由 得 ，所以 ，选 A点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理2.已知圆 ： 与圆 ： ，则两圆的公切线条数为 A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有 4 条【详解】圆 C1： x2+y22 x0 化为标准形式是（ x1） 2+
2、y21，圆心是 C1（1，0） ，半径是 r11；圆 C2： x2+y24 y+30 化为标准形式是 x2+（ y2） 21，圆心是 C2（0，2） ，半径是 r21；则| C1C2| r1+r2，两圆外离，公切线有 4 条故选： D【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题3.三个数 大小的顺序是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】- 2 -试题分析： ，所以 .考点：比较大小.4.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若 则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】B【解析】试题分析：若 A若 则 与
3、 可能平行、相交、异面，故 A 错误； B若 ，则 ，显然成立；C若 ， ，则 或 故 C 错误；D若 ，则 或 或 与 相交.考点：1.命题的真假；2.线面之间的位置关系.视频5.在四面体 的四个面中，是直角三角形的至多有 A. 0 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】D【解析】【分析】作出图形，能够做到 PA 与 AB， AC 垂直， BC 与 BA， BP 垂直，得解【详解】如图， PA平面 ABC，CB AB，则 CB BP，故四个面均为直角三角形故选： D- 3 -【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.6.若圆 上有且只有两个点到直线
4、 的距离等于 1，则半径 的取值范围是（ ）A. (4,6) B. C. D. 【答案】A【解析】因为圆心(3,-5)到直线 4x-3y-2=0 的距离为 5,所以要使圆 上有且只有两个点到直线 的距离等于 1,r 须满足.7.已知定义在 上的函数 满足 ， ，则 （ )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： ，且 ，又 ，由此可得 ， ， 是周期为的函数， ， ，故选 B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数 满足 则函数关于 中心对称， ,则函数关于 轴对称，常用结论：若在 上的函数 满足，则函数 以 为周期.本题中，利用- 4 -此
5、结论可得周期为 ，进而 ， 需要回到本题利用题干条件赋值即可.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3 B. 2C. 2 D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥 ABCDE，其中 AE平面 BCDE，底面 BCDE 为正方形，则 AD=AB=2 ，AC= 该四棱锥的最长棱的长度为 故选： 9.数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重- 5 -心到外心的距离是重心到垂心距离的一半 这条直线被后人称之为三角形的欧拉线 若的顶点 ， ，且 的欧拉线的方程为 ，则顶点 C 的坐标为 A. B. C. D. 【
6、答案】A【解析】【分析】设出点 C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出 AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点 C 的坐标【详解】设 C（ m， n） ，由重心坐标公式得，三角形 ABC 的重心为（ ， ） ，代入欧拉线方程得： 20，整理得： m n+40 AB 的中点为（1，2） ，直线 AB 的斜率 k 2，AB 的中垂线方程为 y2 （ x1） ，即 x2 y+30联立 ，解得 ABC 的外心为（1，1） 则（ m+1） 2+（ n1） 23 2+1210，整理得： m2+n2+2m2 n8 联
7、立得： m4， n0 或 m0， n4当 m0， n4 时 B， C 重合，舍去顶点 C 的坐标是（4，0） 故选： A【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法10.设函数 的最小值为-1，则实数 的取值范围是（ ）- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：当 时， 为增函数，最小值为 ，故当 时， ，分离参数得 ，函数 开口向下，且对称轴为 ，故在 递增，即 .考点：分段函数的最值.【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为 ，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当 时， 为增函数，最小值为.由于
8、这一段函数值域已经包括了最小值，故当 时，值域应该不小于 ，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.11.由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】过圆心向已知直线引垂线，垂足为 M，过点 M 做圆的切线，切线长最短，先求圆心 到直线 的距离 ，圆的半径为 1，则切线长的最小值为 ，选 B.12.已知函数 与 的图象关于 轴对称，当函数 和 在区间 同时递增或同时递减时，把区间 叫做函数 的“不动区间” ，若区间 为函数 的“不动区间” ，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：易知 与 在 上单
9、调性相同，当两个函数单调递增时，- 7 -与 的图象如图 1 所示，易知 ，解得 ；当两个函数单调递减时， 的图象如图 2 所示，此时 关于 轴对称的函数 不可能在 上为减函数综上所述， ，故选 C考点：1、新定义；2、函数的图象二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ,则 _.【答案】12【解析】函数 是定义在 上的奇函数， ，则 ，.14.在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是_【答案】【答案】 【解析】【分析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离【详解】设该点的坐标是（ x，
10、 y， z） ，该点到三个坐标轴的距离都是 1， x2+y21，x2+z21，y2+z21，- 8 - x2+y2+z2 ，该点到原点的距离是 故答案为： 【点睛】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题15.函数 的单调递增区间是_【答案】 （4，+）【解析】由 得， ，令 ，则 ， 时，为减函数； 时， 为增函数； 为增函数，故函数的单调区间是 ，答案为 .【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的
11、单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.16.如图，矩形 中， ， 平面 ，若在 上只有一个点 满足，则 的值等于_.【答案】【解析】试题分析:利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出解：连接 AQ，取 AD 的中点 O，连接 OQPA平面 ABCD，PQDQ，- 9 -由三垂线定理的逆定理可得 DQAQ点 Q 在以线段 AD 的中点 O 为圆心的圆上，又在 BC 上有且仅有一个点 Q 满足 PQDQ，BC 与圆 O 相切， （否则相交就有两点满足垂直，矛盾 ）OQBC，ADBC，OQ=AB=1，BC=AD=2，即
12、 a=2故答案为：2考点：直线与平面垂直的性质三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知 ： ， ： ，分别求 m 的值，使得 和 ：垂直；平行；重合；相交【答案】 （1） ； （2）-1； （3）3； （4） 且 .【解析】【分析】（1）若 l1和 l2垂直，则 m2+3 m0（2）若 l1和 l2平行，则（3）若 l1和 l2重合，则（4）若 l1和 l2相交，则由（2） （3）的情况去掉即可- 10 -【详解】若 和 垂直，则 ,若 和 平行，则 , ,若 和 重合，则 ，若 和 相交，则由 可知 且【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线
13、的不同位置的条件一般式方程的表示18.有两直线 和 ，当 a 在区间 内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值【答案】 .【解析】【分析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得 yE2根据 S 四边形 OCEA S BCE S OAB即可得出【详解】0 a2，可得 l1： ax2 y2 a4，与坐标轴的交点 A（0， a+2） ， B（2 ，0） l2：2 x（1 a2） y22 a20，与坐标轴的交点 C（ a2+1，0） ， D（0， ） 两直线 ax2 y2 a+40 和 2x（1 a2） y22 a20，都经过定点（2，2） ，即 yE2 S 四边形 OCEA S B
14、CE S OAB|BC|yE |OA|OB|（ a2 1）2 （2 a）（ 2） a2 a+3（ a ） 2 ，当 a 时取等号 l1， l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为 - 11 -【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.如图，在圆锥 中，已知 PO= ，圆 O 的直径 AB=2，C 是弧 AB 的中点，D 为 AC 的中点（1）求异面直线 PD 和 BC 所成的角的正切值；（2）求直线 和平面 所成角的正弦值【答案】 （1）2；（2）【解析】试题分析：（1）异面直线所成的角，往往通过平移转化到一个三角形内求解本题转化到直角三角形 P
15、DO 中求解 （2）直线与平面所成的角，应先作出直线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角即为所求本题过点 O 向平面 PAC 作垂线，则 即为直线与平面所成的角，进而求出其正弦值试题解析：（1） O，D 分别是 AB 和 AC 的中点OD/BC异面直线 PD 和 BC 所成的角为PDO在ABC 中， 的中点- 12 -又 （2）因为又 所以又 所以平面 在平面 中，过 作则 连结 ，则 是 上的射影，所以 是直线 和平面 所成的角在在考点：异面直线所成的角、斜线与平面所成的角20.已知函数 .（1）若函数 在 上至少有一个零点，求 的取值范围；（2）若函数 在 上的最大值为 3，求 的值.【答
16、案】(1) ；（2） 或 .【解析】试题分析：（1）由函数 在 至少有一个零点，方程 至少有一个实数根， ，解出即可；（2）通过对区间 端点与对称轴顶点的横坐标 的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数 在 上的最大值，令其等于 可得结果.试题解析：（1）由 .（2）化简得 ，当 ，即 时， ；当 ，即 时， （舍） ；当 ，即 时，综上， 或 .21.如图，已知正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 ，点 在侧棱 上，点- 13 -在侧棱 上，且 （1）求证： ； （2）求二面角 的大小【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）根据几何体的结构特征，可以 为坐标原点，
17、 分别为 轴和 轴建立空间直角坐标系 ，写出各个点的坐标.（1）证明 即 即可；（2）分别求出平面 的一个法向量为 和侧面 的一个法向量为 ，根据求出的法向量的夹角来求二面角 的大小.试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ，则由已知可得（1）证明：，所以 .（2） ，设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ，即 ，解得 ，可取- 14 -设侧面 的一个法向量为 ，由 ，及可取 .设二面角 的大小为 ，于是由 为锐角可得所以 .即所求二面角 的大小为 .考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.22.已知直线 l： 与 x 轴交于 A 点，动圆 M 与直线 l 相切，并且和圆 O：相外切求动圆
18、圆心 M 的轨迹 C 的方程若过原点且倾斜角为 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点，问是否存在以 MN 为直径的圆过点A？若存在，求出实数 m 的值；若不存在，说明理由【答案】 （1） （ ） （2）故不存在以 为直径的圆恰好过点【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；（2）求出过原点且倾斜角为 的直线方程，和曲线 C 联立后利用根与系数关系得到 M，N 的横纵坐标的和与积，由 ，得 列式求解 m 的值，结合 m 的范围说明不存在以MN 为直径的圆过点 A试题解析：（1）设动圆圆心为 ，则 ，化简得 （ ） ，这就是动圆圆心的轨迹 的方程.（2）直线 的方程为 ，代入曲线 的方程得- 15 -显然 .设 ， ，则 ， ，而若以 为直径的圆过点 ，则 ， 由此得 ，即 .解得 -2故不存在以 为直径的圆过点点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力. - 16 -
