1、13.3 排序不等式一、教学目标1了解排序不等式的数学思想和背景2理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题二、课时安排1 课时三、教学重点1了解排序不等式的数学思想和背景2理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题四、教学难点1了解排序不等式的数学思想和背景2理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题五、教学过程（一）导入新课某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件和 2 件现在选择商店中单价分别为 3 元，2 元和 1 元的礼品，则至少要花_元，最多要花_元【解析】 取两组 实数(2,4,5)和(1,2
2、3)，则顺序和为 21425325，反序和为 23425119.所以最少花费为 19 元，最多花费为 25 元【答案】 19 25（二）讲授新课教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念设 a1 a2 a3 an， b1 b2 b3 bn为两组实数， c1， c2， cn是b1， b2， bn的任一排列，则称 ai与 bi(i1,2， n)的相同顺序相乘所得积的和 为顺序和，和 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 称为反序和教材整理 2 排序不等式设 a1 a2 an， b1 b2 bn为两组实数， c1， c2， cn是 b1， b2， bn的任一排列，则 ，当且仅当 a1 a2 an或 b
3、1 b2 bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 顺序和（三）重难点精讲2题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定)例 1 已知 a， b， c 为正数， a b c，求证：(1) ；1bc 1ca 1ab(2) .a2b2c2 b2c2a2 c2a2b2 1a2 1b2 1c2【精彩点拨】 由于题目条件中已明确 a b c，故可以直接构造两个数组【自主解答】 (1) a b0，于是 .1a 1b又 c0， 0，从而 ，1c 1bc 1ca同理， b c0，于是 ，1b 1c a0， 0，于是得 ，1a 1ca 1ab从而 .1bc 1ca 1ab(2)由(1)知 0 且 a b c0，
4、1bc 1ca 1ab ， a2 b2 c2.1b2c2 1c2a2 1a2b2由排序不等式，顺序和乱序和得 ，a2b2c2 b2c2a2 c2a2b2 b2b2c2 c2c2a2 a2a2b2 1c2 1a2 1b2 1a2 1b2 1c2故 .a2b2c2 b2c2a2 c2a2b2 1a2 1b2 1c2规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于 仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组再练一题1本例题中条件不变，求证： .a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 c2a3 a2b3 b2c3【证明】 a b c0， a5 b5 c5，
5、 0.1c 1b 1a ，1bc 1ac 1ba ，由顺序和乱序和得1b3c3 1a3c3 1b3a33 a5b3c3 b5a3c3 c5b3a3 b5b3c3 c5a3c3 a5b3a3 ，b2c3 c2a3 a2b3 .a5b3c3 b5a3c3 c5b3a3 c2a3 a2b3 b2c3题型二、字母大小顺序不定的不等式证明例 2 设 a， b， c 为正数，求证： .a2 b22c b2 c22a c2 a22b a3bc b3ca c3ab【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的 不等式；(2)题目中没有给出 a， b， c 的大小 顺序解答本题时不妨先设定 a b c，再利用排序不
6、等式加以证明【自主解答】 不妨设 00，则 x2 y2 z2， .1z 1y 1x由排序不等式，乱序和反序和 x2y y2z z2x x2 y2 z21x 1y 1z x y z.5又 x y z1， 1，x2y y2z z2x当且仅当 x y z 时，等号成立13故 t 的最小值为 1.x2y y2z z2x题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题例 4 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min 和 30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】 这是一
7、个实际问题，需要转化为数学问题要使经济损失 降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间 t1 min 时，三台电脑等候维修的总时 间为 3t1 min，依此类推，等候的总时间为 3t12 t2 t3 min，求其最小值即可【自主解答】 设 t1， t2， t3为 25,30,45 的任一排列，由排序原理知 3t12 t2 t332523045180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小规律总结：1首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型2三台电脑的维修时间 3t12 t2 t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原
8、理)再练一题4有 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要时间分别是 4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，那么如何安排这 5 个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4554638210184(min)即按注满时 间为 4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待的总时间最少（四）归纳小结排序不 等式Error!（五）随堂检测1已知 x y， M x4 y4， N x3y y3x，则 M 与 N 的大小关系是( )A MN B M N C MQ B P Q C PQ D.P Q【答案】 B3已知两组数 1,2,3 和 4,5,6，若 c1， c2， c3是 4,5,6 的一个排列，则 c12 c23 c3的最大值是_，最小值是_.【解析】 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，最大值为 14253632，最小值为 16253428.【答案】 32 28六、板书设计3.3 排序不等式教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念教材整理 2 排序不等式例 1：例 2：例 3：例 4：学生板演练习七、作业布置八、教学反思
