1、14.2 用数学归纳法证明不等式举例一、教学目标1会用数学归纳法证明简单的不等式2会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件二、课时安排1 课时三、教学重点会用数学归纳法证明简单的不等式四、教学难点会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件五、教学过程（一）导入新课复习数学归纳法的基本思想。（二）讲授新课教材整理 用数学归纳法证明不等式1贝努利(Bernoulli)不等式如果 x 是实数，且 x1， x0， n 为大于 1 的自然数，那么有(1 x)n .2在运用数学 归纳法证明不等式时，由 n k 成立，推导 n k1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析
2、法、综合法、放缩法等结合进行（三）重难点精讲题型一、数学归纳法证明不等式例 1 已知 Sn1 (n1， nN )，求证： S2n1 (n2， nN ).12 13 1n n2【精彩点拨】 先求 Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意 Sn表示前 n 项的和( n1)，首先验证 n2；然后证明归纳递推【自主解答】 (1)当 n2 时， S221 1 ，12 13 14 2512 22即 n2 时命题成立(2)假设 n k(k2， kN )时命题成立，即 S2k1 1 .12 13 12k k2当 n k1 时，S2k1 1 12 13 12k 12k 1 12k 121 1 1 .
3、k2 2k2k 2k k2 12 k 12故当 n k1 时，命题也成立由(1)(2)知，对 nN ， n2， S2n1 都成立n2规律总结：此题容易犯两个错误，一是由 n k 到 n k1 项数变化弄错，认为 的后12k一项为 ，实际上应为 ；二是 共有多少项之和 ，实际12k 1 12k 1 12k 1 12k 2 12k 1上 2 k1 到 2k1 是自然数递增，项数为 2k1 (2 k1)12 k.再练一题1若在本例中，条件变为“设 f(n)1 (nN )，由 f(1)1 ， f(3)12 13 1n 121， f(7) ， f(15)2，” .试问： f(2n1)与 大小关系如何？试
4、猜想并加以证明32 n2【解】 数列 1,3,7,15，通项公式为 an2 n1，数列 ，1，2，通项公式12 32为 an ，n2猜想： f(2n1) .n2下面用数学归纳法证明：当 n1 时， f(211) f(1)1 ，不等式成立12假设当 n k(k1， kN )时不等式成立，即 f(2k1) ，k2当 n k1 时， f(2k1 1) f(2k1) f(2k1)12k 12k 1 12k 1 2 12k 1 1当 n k1 时不等式也成立据知对任何 nN 原不等式均成立3例 2 证明：2 n2 n2(nN )【精彩点拨】 验 证 n 1， 2， 3时不 等 式 成 立 假 设 n k
5、成 立 ，推 证 n k 1 n k 1成 立 ，结 论 得 证【自主解答】 (1)当 n1 时，左边2 124；右边1，左边右边；当 n2 时，左2 226，右2 24，所以左右；当 n3 时，左2 3210，右3 29，所以左右因此当 n1,2,3 时，不等式成立(2)假设当 n k(k3 且 kN )时，不等式成立，即 2k2 k2(kN )当 n k1 时，2 k1 222 k22(2 k2)22 k22 k22 k1 k22 k3( k1) 2( k1)( k3)， k3，( k1) (k3)0，( k1 )2( k1)( k3)( k1) 2，所以 2k1 2( k1) 2.故当
6、n k1 时，原不等式也成立根据(1)(2)知，原不等式对于任何 nN 都成立规律总结：1本例中，针对目标 k22 k1，由于 k 的取值范围( k1)太大，不便于缩小因此，用增加奠基步骤(把验证 n1 扩大到验证 n1,2,3)的方法，使假设中 k 的取值范围适当缩小到 k3，促使放缩成功，达到目标2利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由 n k 到 n k1 的变形为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累再练一题2用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式 (113)(1 15) (1 1
7、2n 1)均成立2n 12【证明】 (1)当 n2 时，左边1 ；右边 .13 43 52左边右边，不等式成立；(2)假设 n k(k2，且 kN )时不等式成立，即 .(113)(1 15) (1 12k 1) 2k 12则当 n k1 时，4 12()k(113)(1 15) (1 12k 1) 2k 12 2k 22k 1 2k 222k 1 4k2 8k 422k 1 ().4k2 8k 322k 1 2k 32k 122k 1当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立.题型二、不等式中的探索、猜想、证明例 3 若不等式 对一切正整数
8、n 都成立，求正整数1n 1 1n 2 1n 3 13n 1a24a 的最大值，并证明你的结论【精彩点拨】 先通过 n 取值计算，求出 a 的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便【自主解答】 当 n1 时， ，则 ， a .1n 1 1n 2 13n 12524(1)n1 时，已证(2)假设当 n k 时( k1， kN )， ，1k 1 1k 2 13k 12524当 n k1 时，() ()2 3(1)k13k 1 13k 2 13k 3 Error!Error!(1k 1 1k 2 13k 1) 24()，2524 3(1)k，13k 2 1
9、3k 4 6k 19k2 18k 8 ()k0，13k 2 13k 45 1()k ()2k 13()k 也成立2524由(1)(2)可知，对一切 nN ，都有 ，1n 1 1n 2 13n 12524 a 的最大值为 25.规律总结：1不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明2本题中从 n k 到 n k1 时，左边添加项是 .这一点13k 2 13k 3 13k 4 1k 1必须清楚再练一题3设 an1 (nN )，是否存在 n 的整式 g(n)，使得等式12 13 1na1 a2 a3 an1 g(n)(an1)对大于 1 的一切正整数 n 都成立？证明你的结论【解】 假设
10、 g(n)存在，那么当 n2 时，由 a1 g(2)(a21)，即 1 g(2) ， g(2)2；(112 1)当 n3 时，由 a1 a2 g(3)(a31)，即 1 g(3) ，(112) (1 12 13 1) g(3)3，当 n4 时，由 a1 a2 a3 g(4)(a41)，即 1 (112) (1 12 13) g(4) ，(112 13 14 1) g(4)4，由此猜想 g(n) n(n2， nN )下面用数学归纳法证明：当 n2， nN 时，等式 a1 a2 a3 an1 n(an1)成立(1)当 n2 时， a11，g(2)(a21)2 1，(112 1)6结论成立(2)假设
11、当 n k(k2， kN )时结论成立，即 a1 a2 a3 ak1 k(ak1)成立，那么当 n k1 时， a1 a2 ak1 ak k(ak1) ak( k1) ak k( k1) ak( k1)1( k1) ( k1)( ak1 1)，(ak1k 1 1)说明当 n k1 时，结论也成立，由(1)(2)可知 ，对一切大于 1 的正整数 n，存在 g(n) n 使等式a1 a2 a3 an1 g(n)(an1)成立（四）归纳小结归 纳法证明不等式Error!（五）随堂检测1数学归纳法适用于证明的命题的类型是( )A已知结论B结论已知C直接证明比较困难D与正整数有关【答案】 D2用数学归纳
12、法证明不等式 1 2 (n2， nN )时，第一步应123 133 1n3 1n验证不等式( )A1 2 B1 2123 12 123 133 13C1 2 D.1 2123 13 123 133 14【解析】 n02 时，首项为 1，末项为 .123【答案】 A3用数学归纳法证不等式 1 成立，起始值至少取( )12 14 12n 1 12764A7 B8 C9 D107【解析】 左边等比数列求和 Sn1 (12)n 1 122 ，1 (12)n 12764即 1 ， ，(12)n 127128 (12)n 1128 ，(12)n (12)7 n7， n 取 8，选 B.【答案】 B六、板书设计4.2 用数学归纳法证明不等式举例教材整理 用数学归纳法证明不等式例 1：例 2：例 3：学生板演练习七、作业布置同步练习：4.2 用数学归纳法证明不等式举例八、教学反思
