1、1小题必刷卷(七) 平面向量、数系的扩充与复数的引入考查范围:第 24讲 第 27讲题组一 刷真题角度 1 复数的概念、几何意义及运算1.2017全国卷 下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( )A.i(1+i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)2.2016全国卷 设(1 +2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a为实数,则 a= ( )A.-3 B.-2C.2 D.33.2018浙江卷 复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 ( )21-iA.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i4.2018全国卷 设 z= +2i,则 |z|= ( )1-i1+iA.0 B.12C.1
2、 D. 25.2018北京卷 在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于 ( )11-iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.2018江苏卷 若复数 z满足 iz=1+2i,其中 i是虚数单位,则 z的实部为 . 7.2018天津卷i 是虚数单位,复数 = . 6+7i1+2i角度 2 平面向量的概念、平面向量基本定理及向量坐标运算8.2015全国卷 向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2 a+b)a= ( )A.-1 B.02C.1 D.29.2018全国卷 在 ABC中, AD为 BC边上的中线, E为 AD的中点,则 = ( )EBA. -34AB14ACB. -1
3、4AB34ACC. +34AB14ACD. +14AB34AC10.2018全国卷 已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, ),若 c(2 a+b),则 = .角度 3 平面向量的数量积及应用11.2016全国卷 已知向量 = , , = , ,则 ABC= ( )BA12 32 BC 32 12A.30 B.45C.60 D.12012.2018全国卷 已知向量 a,b满足 |a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)= ( )A.4 B.3C.2 D.013.2017全国卷 设非零向量 a,b满足 |a+b|=|a-b|,则 ( )A.a b B.|a|=|b|C.a b D
4、.|a|b|14.2018天津卷 在如图 X7-1的平面图形中,已知 OM=1,ON=2, MON=120,=2 , =2 ,则 的值为 ( )BMMACNNA BCOM图 X7-1A.-15 B.-9C.-6 D.015.2017全国卷 已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 a b,则 m= . 316.2017天津卷 在 ABC中, A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - ( R),BDDCAE ACAB且 =-4,则 的值为 . ADAE17.2017北京卷 已知点 P在圆 x2+y2=1上,点 A的坐标为( -2,0),O为原点,则 的AOAP最大值为 . 18.
5、2018江苏卷 在平面直角坐标系 xOy中, A为直线 l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以 AB为直径的圆 C与直线 l交于另一点 D.若 =0,则点 A的横坐标为 .ABCD题组二 刷模拟19.2018贵州黔东南二模 若复数 z= ,则 = ( )1-i1+i zA.1 B.-1 C.i D.-i20.2018北京西城区 4月模拟 若复数( a+i)(3+4i)的实部与虚部相等,则实数 a= ( )A.7 B.-7 C.1 D.-121.2018河南安阳二模 若复数 z=1-i, 为 z的共轭复数,则复数 的虚部为 ( )zizz-1A.i B.-i C.1 D.-122.20
6、18福州 5月质检 设向量 a=(m,2m+1),b=(m,1),若 |a-b|2=|a|2+|b|2,则实数 m=( )A.-2 B.-1 C.0 D.1323.2018广东东莞三模 已知向量 a与 b满足 |a|= ,|b|=2,(a-b) a,则向量 a与 b的2夹角为 ( )A. B. C. D.512 3 4 624.2018安徽蚌埠三模 已知 ABC中, =2 ,若 = + ,则 = ( )BEEC AB AE ACA.1 B.2 C.3 D.425.2018四川成都七中月考 若向量 = , , =( ,1),则 ABC的面积为 ( )AB12 32 BC 34A. B. C.1
7、D.12 32 326.2018济南模拟 欧拉公式 eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位 .特别是当 x= 时,e i +1=0被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式” .根据欧拉公式可知,e 4i表示的复数在复平面内位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限27.2018郑州三模 在 ABC中, AD AB, =3 ,| |=1,则 = ( )CDDBAD ACADA.1 B.2C.3 D.428.2018石家庄一
8、模 在 ABC中,点 D在边 AB上,且 = ,设 =a, =b,则 = ( )BD12DA CB CA CDA. a+ b B. a+ b13 23 23 13C. a+ b D. a+ b35 45 45 3529.2018重庆巴蜀中学月考 在平行四边形 ABCD中, BAD= ,AB=2,AD=1,若 M,N分别是3边 BC,CD的中点,则 的值是 ( )AMANA. B.272C.3 D.15430.2018安徽安庆二模 若 |a|=1,|b|= 且 |a-2b|= ,则向量 a与向量 b夹角的大小3 7是 . 31.2018常州模拟 若复数 z满足 z2i=|z|2+1(其中 i是虚
9、数单位),则 |z|= . 32.2018广东佛山二模 在 Rt ABC中, B=90,AB=1,BC=2,D为 BC的中点,点 E在斜边 AC上,若 =2 ,则 = . AEEC DEAC33.2018合肥三模 已知 =(2,0), =(0,2), =t ,tR .当 | |最小时, t= . OA OB ACAB OC56小题必刷卷(七)1.C 解析 因为 i(1+i)2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,所以选 C.2.A 解析 因为(1 +2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,所以由已知,得 a-2=1+2a,解得 a=-3.3.B 解析
10、= =1+i,其共轭复数为 1-i,故选 B.21-i2(1+i)24.C 解析 z= +2i= +2i=i,所以 |z|= =1,故选 C.(1-i)2(1+i)(1-i) 1-2i-12 02+125.D 解析 = = + i, 其共轭复数为 - i,在复平面内对应的点位于第四象11-i 1+i(1-i)(1+i)1212 1212限 .6.2 解析 由 iz=1+2i,得 z= =2-i,则 z的实部为 2.1+2ii7.4-i 解析 = = =4-i.6+7i1+2i(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)20-5i58.C 解析2 a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,
11、0),所以(2 a+b)a=(1,0)(1,-1)=1.9.A 解析 如图, = - = - = - ( + )= - ,故选 A.EBABAEAB12ADAB12 12ABAC34AB14AC10. 解析2 a+b=(4,2),由 c(2 a+b)可得 = ,即 = .12 142 1211.A 解析cos ABC= = + = , ABC0,180, ABC=30.BABC|BA|BC|12 32 32 12 3212.B 解析 a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3,故选 B.13.A 解析 将 |a+b|=|a-b|两边平方,得 a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,于是有
12、ab=0,所以a b.14.C 解析 连接 MN,由 =2 , =2 ,可得 MN BC,且 BC=3MN,所以 =3 ,所BMMACNNA BCMN以 =3 =3( - ) =3( - )=3(12cos120-12)=-6.故选 C.BCOMMNOM ONOM OM ONOMOM215.2 解析 a b,a b=-23+3m=0,解得 m=2.16. 解析 =32cos60=3, = + , = + ( - )=311 ABAC AD13AB23AC ADAE 13AB23AC ACAB3+ 4- 9- 3=-4,解得 = .3 23 13 23 311717.6 解析 设 P(x1,y1
13、).因为 =(2,0), =(x1+2,y1),所以 =2(x1+2)=2x1+4.由题AO AP AOAP意可知 -1 x11,所以 22 x1+46,故 的最大值为 6.AOAP18.3 解析 因为点 A 为直线 l:y=2x上在第一象限内的点,所以可设 A(a,2a)(a0),则AB的中点为 C ,a ,圆 C的方程为( x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.由a+52得 D(1,2),则 =(5-a,-2a), = ,2-a ,又 (x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,y=2x, AB CD -a-32 AB=0,所以(5 -a) +(-2a)(2-a)=0,解得 a=3或 a=
14、-1.又 a0,所以 a=3,则点 A的横坐CD-a-32标为 3.19.C 解析 z= = = =-i,则 =i.故选 C.1-i1+i (1-i)2(1+i)(1-i) -2i2 z20.B 解析( a+i)(3+4i)=3a-4+(4a+3)i,依题意 3a-4=4a+3,得 a=-7.故选 B.21.C 解析 因为 z=1-i,所以 z =2,所以 = =i,其虚部为 1,故选 C.zizz-1 i2-122.B 解析 |a-b|2=(m-m)2+(2m+1-1)2=4m2,|a|2=m2+(2m+1)2=5m2+4m+1,|b|2=m2+1,因为 |a-b|2=|a|2+|b|2,所
15、以 4m2=5m2+4m+1+m2+1,即 m2+2m+1=0,解得 m=-1.故选 B.23.C 解析 设向量 a与 b的夹角为 ,由( a-b) a得( a-b)a=0,a2-ab=0,a2-|a|b|cos= 0,2- 2cos= 0,所以 cos= ,所以 = .故选 C.222 424.C 解析 = + = + = + ( - ),所以 = - ,所以 =3 -2 ,则 = 3.故ABAEEBAE23CBAE23ABAC 13ABAE23AC ABAEAC选 C.25.A 解析 因为 = , , =( ,1),所以 | |=1,| |=2, 与 夹角的余弦值为AB12 32 BC 3
16、 AB BC ABBC= ,所以 ABC=150,所以 S ABC= 12 = ,故选 A.ABBC|AB|BC| 32 12 121226.C 解析 由已知有 e4i=cos4+isin4,因为 = = ,= .32 3213 32 631.1 解析 设 z=a+bi(a,bR),因为 z2i=|z|2+1,所以 -2b+2ai=a2+b2+1,所以解得 所以 z=-i,则 |z|=1.a=0,-2b=a2+b2+1, a=0,b=-1,32. 解析 以 B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则 B(0,0),A(1,0),C(0,2),13D(0,1),E , .所以 = , , =(-1,2),所以 = (-1)+ 2= .1343 DE 1313 AC DEAC13 13 1333. 解析 因为 =t ,所以 - =t( - ),得 =t +(1-t) =(2-2t,2t),| |=12 ACAB OCOA OBOA OCOB OA OC=2 ,当 t= 时, | |有最小值 .(2-2t)2+(2t)2 2(t-12)2+12 12 OC 2
