1、1小题必刷卷(六) 解三角形考查范围:第 22 讲 第 23 讲题组一 刷真题角度 1 正弦定理1.2017全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c= ,则 C= ( )2A. B.12 6C. D. 4 32.2016全国卷 在 ABC 中, B= ,BC 边上的高等于 BC,则 sinA=( ) 4 13A. B.310 1010C. D.55 310103.2016全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= ,cosC= ,a=1,则 b= .45 513角度 2 余弦定
2、理4.2016全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= ,c=2,cosA= ,则523b= ( )A. B.2 3C.2 D.35.2018全国卷 在 ABC 中,cos = ,BC=1,AC=5,则 AB= ( )C2 55A.4 B.2 30C. D.229 56.2016山东卷 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 b=c,a2=2b2(1-sinA),则 A=( )A. B.34 3C. D. 4 627.2013全国卷 已知锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,
3、则 b= ( )A.10 B.9C.8 D.58.2016北京卷 在 ABC 中, A= ,a= c,则 = . 23 3 bc角度 3 三角形的面积9.2018全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ABC 的面积为 ,a2+b2-c24则 C= ( )A. B. 2 3C. D. 4 610.2013全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则 6 4ABC 的面积为 ( )A.2 +23B. +13C.2 -23D. -1311.2018全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知bsinC
4、+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则 ABC 的面积为 . 12.2018北京卷 若 ABC 的面积为 (a2+c2-b2),且 C 为钝角,则 B= ; 的取34 ca值范围是 . 角度 4 正、余弦定理综合应用13.2018浙江卷 在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= ,b=2,A=60,则7sinB= ,c= . 14.2016上海卷 已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .图 X6-1315.2014全国卷 如图 X6-1,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点 .从A 点测
5、得 M 点的仰角 MAN=60,C 点的仰角 CAB=45,以及 MAC=75,从 C 点测得 MCA=60.已知山高 BC=100m,则山高 MN= m. 题组二 刷模拟16.2018浙江绍兴 3 月模拟 在 ABC 中,内角 C 为钝角,sin C= ,AC=5,AB=3 ,则 BC=35 5( )A.2 B.3 C.5 D.1017.2018新疆维吾尔自治区二模 在 ABC 中,“ A60”是“sin A ”的 ( )32A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件18.2018北京朝阳区二模 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
6、若a=1,A= ,B= ,则 c= ( ) 6 4A. B. C. D.6+ 22 6- 22 62 2219.2018成都七中月考 在 ABC 中,角 B 为 ,BC 边上的高恰为 BC 边长的一半,则34cosA= ( )A. B. C. D.255 55 23 5320.2018广东茂名二模 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosC+c=2a,且 b= ,c=3,则 a= ( )13A.1 B. C.2 D.46 221.2018合肥三模 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 sin(C-A)= sinB,12且 b=4,则
7、c2-a2= ( )A.10 B.8 C.7 D.422.2018山东潍坊二模 在 ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 = ,2sinC-sinBsinB acosBbcosA则 A= ( )A. B. C. D. 6 4 3 23423.2018云南保山二模 在 ABC 中,若 3( + )=2| |2,则 tanA+ 的最小值CAABCBAB AB1tanB为 ( )A. B.2 C. D.5 5 66224.2018广东江门一模 已知平面四边形 ABCD 中, AB=AD=2,BC=CD, BCD=90,则四边形ABCD 面积的最大值为 ( )A. B.2+2
8、C.2+2 D.46 3 225.2018广西钦州三模 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= b,A=2B,则52cosB= . 图 X6-226.2018东北三省四市二模 如图 X6-2,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C,D,测得 BCD=15, CBD=30,CD=10 m,并在 C 处测得塔顶2A 的仰角为 45,则塔高 AB= m. 27.2018昆明二模 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 cosC= ,c=3,且14= ,则 ABC 的面积等于 . acosA bcosB28.20
9、18马鞍山二模 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若cos2A+3cosA=1,b=5, ABC 的面积 S=5 ,则 ABC 的周长为 . 329.2018江西上饶二模 在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若b2=a(a+c),则 的取值范围是 . ca5小题必刷卷(六)1.B 解析 因为 sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC=(sinA+cosA)sinC=0,所以 sinA=-cosA,得 A= .又由正弦定理 = ,得 = ,解得 sinC= ,所以 C=34 asi
10、nA csinC 2sin34 2sinC 12. 62.D 解析 作 AD BC 交 BC 于点 D,设 BC=3,则有 AD=BD=1,AB= ,由余弦定理得 AC= .2 5由正弦定理得 = ,解得 sinA= = .5sin 4 3sinA 3225 310103. 解析 因为 cosA= ,cosC= ,且 A,C 为三角形内角,所以2113 45 513sinA= ,sinC= ,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= ,又因为 = ,所以 b= = .35 1213 6365 asinA bsinB asinBsinA21134.D 解析 由余弦定理得
11、5=b2+4-2b2 ,解得 b=3 或 b=- (舍去),故选 D.23 135.A 解析 由已知得 cosC=2cos2 -1=2 -1=- ,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-C (55)2 352ACBCcosC=25+1-251 =32,所以 AB=4 ,故选 A.(-35) 26.C 解析 b=c ,a2=2b2(1-sinA), 2b2sinA=b2+c2-a2=2bccosA=2b2cosA, tanA=1,即 A=. 47.D 解析 由 23cos2A+cos2A=0,得 25cos2A=1.因为 ABC 为锐角三角形,所以 cosA= .在15 ABC 中,根据余弦定理
12、,得 49=b2+36-12b ,即 b2- b-13=0,解得 b=5 或 - (舍去) .15 125 1358.1 解析 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 可得,3 c2=b2+c2-2bccos ,整理得 2+ -2=0,23 bc bc解得 =1 或 =-2(舍去) .bc bc9.C 解析 由三角形的面积公式可得, = absinC,由余弦定理得 =cosC,a2+b2-c24 12 a2+b2-c22ab所以 cosC=sinC,又 C(0,),所以 C= . 410.B 解析 = c=2 .又 A+B+C=, A= , ABC 的面积为 22 sinbsinB cs
13、inC 2 712 12 2=2 = +1.712 2 6+ 24 3611. 解析 由 b2+c2-a2=8 得 2bccosA=8,可知 A 为锐角,且 bccosA=4.由已知及正弦定233理得 sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,因为 sinB0,sin C0,所以可得 sinA= ,所以12A=30,所以 bccos30=4,即 bc= ,所以 ABC 的面积 S= bcsinA= = .833 12 12 833 1223312. (2,+ ) 解析 由正弦定理得 S ABC= acsinB= (a2+c2-b2),即 3 12 34sinB= cosB
14、, B 为三角形的内角, B= .由正弦定理得 = = = + ,3 3 casinCsinAsin(23-A)sinA 32 1tanA12又 C 为钝角, +A2. 3 2 6 33 ca13. 3 解析 由正弦定理 = ,得 sinB= = .由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得217 asinA bsinB 37 217c2-2c-3=0,则 c=3.14. 解析 利用余弦定理可求得最大边 7 所对角的余弦值为 =- ,所以此角的733 32+52-72235 12正弦值为 .设三角形外接圆的半径为 R,由正弦定理得 2R= ,所以 R= .32 732 73315.150
15、 解析 在 Rt ABC 中, BC=100(m), CAB=45,所以 AC=100 (m).在 MAC 中,2 MAC=75, MCA=60,所以 AMC=45,由正弦定理有 = ,即 AM= 100AMsinMCAACsinAMC sin60sin45=100 (m),于是在 Rt AMN 中,有 MN=sin60100 =150(m).2 3 316.A 解析 因为 C 为钝角,sin C= ,所以 cosC=- ,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-35 452ACBCcosC,即 45=25+BC2-25BC ,解得 BC=2(舍去 BC=-10).故选 A.(-45)17.B
16、解析 由“ A60”不一定推出“sin A ”,如 A=13560,但 sin13532,则有 A60.故选 B.32 3218.A 解析 在 ABC 中, a=1,A= ,B= ,由正弦定理可得 b= = .由余弦定理得 cosA= 6 4 asinBsinA 2= ,可得 c2- c+1=0,所以 c= 或 c= ,又因为 CB,所以 cb,所以 c=b2+c2-a22bc 32 6 6+ 22 6- 22.故选 A.6+ 2219.A 解析 作 AH BC,垂足 H 在 CB 的延长线上,易知 AHB 为等腰直角三角形,设 BC=2a,则AB= a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得 AC= a,由余弦定理得 cosA= = ,故2 102a2+10a2-4a222a10a255选 A.720.D 解析 因为 2bcosC+c=2a, 由正弦定理可得 2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,所以 sinC=2cosBsinC,因为 sinC0,所以 cosB= ,又 02, 6 4 3 2 12 c-a2a 12 ca
