1、1小题必刷卷(九) 不等式、推理与证明考查范围:第 33 讲 第 38 讲题组一 刷真题角度 1 一元二次不等式及其解法1.2018全国卷 已知集合 A=x|x2-x-20,则 RA=( )A.x|-12D.x|x -1 x|x22.2014全国卷 不等式组 的解集为 ( )x(x+2)0,|x|13.2016全国卷 若函数 f(x)=x- sin2x+asinx 在( - ,+ )单调递增,则 a 的取值范围13是 ( )A.-1,1 B. -1,13C. - , D. -1,-1313 134.2016江苏卷 函数 y= 的定义域是 . 3-2x-x2角度 2 二元一次不等式(组)与简单的
2、线性规划问题5.2014全国卷 设 x,y 满足约束条件 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=x+y a,x-y- 1,( )A.-5 B.3C.-5 或 3 D.5 或 -36.2016浙江卷 在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影,由区域 中的点在直线 x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则 |AB|=x-2 0,x+y 0,x-3y+4 0( )2A.2 B.42C.3 D.627.2018全国卷 若 x,y 满足约束条件 则 z=3x+2y 的最大值为 x-2y-2 0,x-y+1 0,y 0, . 8.2016全国卷 某高科技
3、企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料 .生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时 .生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900元 .该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元 . 9.2016江苏卷 已知实数 x,y 满足 则 x2+y2的取值范围是 .x-2y+4 0,2x+y-2 0,3x-y-3 0,角度 3 基本不等式及其应用10.2018
4、天津卷 已知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2a+ 的最小值为 . 18b11.2017江苏卷 某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元 /次,一年的总存储费用为 4x 万元 .要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 . 12.2017山东卷 若直线 + =1(a0,b0) 过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 . xayb角度 4 推理与证明13.2017全国卷 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 .老师说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩 .看后甲对大家说:
5、我还是不知道我的成绩 .根据以上信息,则 ( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩14.2014全国卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市 .乙说:我没去过 C 城市 .丙说:我们三人去过同一城市 .3由此可判断乙去过的城市为 . 15.2016山东卷 观察下列等式:sin -2+ sin -2= 12; 3 23 43sin -2+ sin -2+ sin -2+ sin -2= 23; 5 25 35 45 43sin -2+ sin -2+ sin -
6、2+ sin -2= 34; 7 27 37 67 43sin -2+ sin -2+ sin -2+ sin -2= 45; 9 29 39 89 43照此规律,sin -2+ sin -2+ sin -2+ sin -2= . 2n+1 22n+1 32n+1 2n2n+1题组二 刷模拟16.2018石家庄二中模拟 已知集合 A= x 0 ,B=-1,0,1,2,3,则 A B=( )x2-xA.-1,0,3 B.0,1 C.0,1,2 D.0,2,317.2018福建莆田 3 月质检 “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法 .干支是天干和地支的总称 .把干支顺序相配正好六
7、十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表” .甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸称为天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥称为地支 .如:公元 1984 年农历为甲子年、公元1985 年农历为乙丑年,公元 1986 年农历为丙寅年 .则公元 2047 年农历为 ( )A.乙丑年 B.丙寅年 C.丁卯年 D.戊辰年18.2018甘肃西北师大附中月考 已知点 P(x,y)在不等式组 表示的平x-2 0,y-1 0,x+2y-2 0面区域内运动,则 z=x-y 的取值范围是 ( )A.-2,-1 B.-2,1 C.-1,2 D.1,219.2018江西赣州模拟 下列说法正
8、确的是 ( )A. 若 ab,则 ac2bc2 B. 若 a2b2,则 abC. 若 ab,c0,b0)对称,则 + 的最小值为 ( )1a2bA.1 B.5 C.4 D.4222.2018太原模拟 已知命题 p:x0R, -x0+10;命题 q:若 a .则下列为真命x201a1b题的是 ( )A.p q B.p q C. p q D. p q23.2018天津一中月考 已知实数 a0,b0, + =1,则 a+2b 的最小值是 ( )1a+1 1b+1A.3 B.2 C.3 D.22 224.2018辽宁大连二模 在社会生产生活中,经常会遇到这样的问题:某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,
9、B 两种原料 .已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 4 万元、6 万元,问怎样设计生产方案,该企业每天可获得最大利润?我们在解决此类问题时,设 x,y 分别表示每天生产甲、乙产品的吨数,则 x,y 应满足的约束条件是 ( )生产甲产品 1 吨 生产乙产品 1 吨 每天原料限额(吨)原料 A 数量(吨) 3 5 215原料 B 数量(吨) 2 3 13A. B. C. D.x 0,y 0,3x+5y 21,2x+3y 13 x 0,y 0,3x+5y 21,2x+3y 13 x 0,y 0,3x+5y 21,2x+3y 13 x
10、0,y 0,3x+5y 21,2x+3y 1325.2018北京朝阳区一模 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖 .在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;小王说:“丁团队获得一等奖”;小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”; 小赵说:“甲团队获得一等奖” .若这四位同学中只有两位同学的预测结果是正确的,则获得一等奖的团队是 ( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁26.2018河南八市一联 观察下列关系式:1 +x=1+x;(1+x)21 +2x;(1+x)31
11、+3x由此规律,得到的第 n 个关系式为 . 27.2018安徽芜湖五月模拟 已知实数 x,y 满足约束条件 则2x-y 0,x-3y+5 0,y 1, z= x+y-2的最大值为 . 1228.2018菏泽一模 若实数 x,y 满足 |x-3|+|y-2|1,则 z= 的最小值是 . yx29.2018重庆调研 已知实数 x,y 满足 若目标函数 z=ax+y 在点(3,2)x-3y+3 0,x+y-1 0,x-y-1 0,处取得最大值,则实数 a 的取值范围为 . 30.2018山东枣庄二模 已知实数 x,y 满足 则 的最大x 0,y 0,x+y-1 0, (x+1)2+y2值为 . 6
12、小题必刷卷(九)1.B 解析 因为 A=x|x2-x-20=x|x2 或 x0,|x|0或x -1,即 a1 时,目标函数在 A 点取得最小值 .由 A1a,知 zmin= + =7,解得 a=3 或 -5(舍去) .(a-12,a+12) a-12 a2+a26.C 解析 易知线性区域为图中三角形 MNP(包括边界),且 MN 与 AB 平行,故 |AB|=|MN|,易得 M(-1,1),N(2,-2),则 |MN|=3 ,故 |AB|=3 .2 277.6 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线 y=- x+ 经过点 A(2,0)32 z2时, z 最大,所以 zmax=3
13、2+20=6.8.216000 解析 设生产产品 A、产品 B 分别为 x 件、 y 件,利润之和为 z 元,则即 目标函数为 z=2100x+900y.1.5x+0.5y 150,x+0.3y 90,5x+3y 600,x N,y N, 3x+y 300,10x+3y 900,5x+3y 600,x N,y N,作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域 .由图可知当直线 z=2100x+900y 经过点 M 时, z 取得最大值 .解方程组 得 M10x+3y=900,5x+3y=600,的坐标为(60,100),所以当 x=60,y=100 时, zm
14、ax=210060+900100=216000.9. ,13 解析 可行域如图中阴影部分所示, x2+y2为可行域中任一点( x,y)到原点(0,0)的45距离的平方 .由图可知, x2+y2的最小值为原点到直线 AC 的距离的平方,即 2= ,最大值|-2|5 45为 OB2=22+32=13.810. 解析 由已知得 a-3b=-6,由基本不等式得 2a+ 2 = = (当且仅当 a=-3b=-14 18b 2a-3b223143 时取等号) .11.30 解析 总费用为 6+4x=4 4 2 =240,当且仅当 x=30 时等号成600x (900x+x) 900立,故 x 的值是 30
15、.12.8 解析 由条件可得 + =1,所以 2a+b=(2a+b) + =4+ + 4 +2 =8,当且仅当 = ,1a2b 1a2b 4abba 4 4abba即 b=2a 时取等号,所以最小值为 8.13.D 解析 由于四人中有 2 位优秀,2 位良好,甲看了乙、丙的成绩后不知道自己的成绩,说明乙、丙 2 位中优秀、良好各 1 位,所以甲、丁 2 位中也是优秀、良好各 1 位,所以乙看了丙的成绩后一定知道自己的成绩,同样,丁看了甲的成绩后一定知道自己的成绩 .14.A 解析 由甲没去过 B 城市,乙没去过 C 城市,而三人去过同一城市,可知三人去过城市 A,又由甲最多去过两个城市,且去过
16、的城市比乙多,故乙只去过 A 城市 .15. n(n+1) 解析 第一个等式中,1 = ,2= ;第二个等式中,2 = ,3= ;第三个等43 3-12 3+12 5-12 5+12式中,3 = ,4= .由此可推得第 n 个等式等于 = n(n+1).7-12 7+12 43 2n+1-12 2n+1+12 4316.B 解析 由 0,得 0,解得 0 xb2,但不满足 ab,所以 B 中说法错误;选项 C 中, a+cb+c,所以 C 中说法错误;选项 D中,由 0 0,b0)过圆心 C(2,1),即 2a+b=2,因此+ = + (2a+b)= 2+ + +2 (4+4)=4,当且仅当
17、b=2a=1 时取等号,故选 D.1a2b121a2b 12 ba4ab 1222.B 解析 当 x0=0 时, -x0+1=10, 命题 p 为真命题 .- 2 0,b0, + =1,a+ 2b=(a+1)+2(b+1)-3=(a+1)+2(b+1) +1a+1 1b+1 1a+1-3= 1+2+ + -33 +2 -3=2 ,当且仅当 = ,即 a= ,b= 时取1b+1 2(b+1)a+1 a+1b+1 2 2 2(b+1)a+1 a+1b+1 2 22等号 .故选 B.24.C 解析 由原料 A 的每天限额为 21 吨,得 3x+5y21,由原料 B 的每天限额为 13 吨,得 2x+
18、3y13,又 x0, y0,故选 C.25.D 解析 若甲团队获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测结果都正确,与题意不符;若乙团队获得一等奖,则只有小张的预测结果正确,与题意不符;若丙团队获得一等奖,则四人的预测结果都错误,与题意不符;若丁团队获得一等奖,则小王、小李的预测结果都正确,小张、小赵的预测结果都错误,符合题意 .故选 D.26.(1+x)n1 +nx 解析 左边为等比数列,右边为等差数列,所以第 n 个关系式为(1 +x)n1 +nx.27.8 解析 要求目标函数的最大值,只需求 t=x+y-2 的最小值 .画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,在直线 x-3y+5
19、=0 和直线 y=1 的交点( -2,1)处, t 取得最小值,即 tmin=-2+1-2=-3,所以 z= x+y-2的最大值为 -3=8.12 121028. 解析 |x-3|+|y-2|1 表示的平面区域如图中阴影部分所示 .13z= 表示该区域内的点与坐标原点连线的斜率,由图可知,当 x=3,y=1 时, z= 取得最小值 .yx yx 1329. - ,+ 解析 画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示 .13把目标函数 z=ax+y 化为 y=-ax+z,则当直线 y=-ax+z 在 y 轴上的截距最大时,目标函数取得最大值,直线 x-3y+3=0 的斜率为 ,又目标函数 z=ax+y 在点 A(3,2)处取得最大值,所以由图13可知 -a ,即 a - ,故实数 a 的取值范围是 - ,+ .13 13 1330.2 解析 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示 .11表示可行域内的点到 A(-1,0)的距离,由图可知,所求的最大距离为点(x+1)2+y2P(1,0)到点 A 的距离,故 的最大值为 2.(x+1)2+y2
