1、1第 2 讲 小题考法圆锥曲线的性质一、主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF1| PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1| PF2|2 a(2ab0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)x2a2 y2b2y22 px(p0)图形轴长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长 2b离心率 e ca 1 b2a2(01)e1几何性质渐近线 y xba二、二级结论要用好1椭圆焦点三角形的 3 个规律设椭圆方程是 1( ab0)，焦点 F1( c,0)， F2(c，0)，点 P 是椭圆上一点且点x2a2 y2b2P 的坐标是( x0， y0)(1)三
2、角形的三个边长是| PF1| a ex0，| PF2| a ex0，| F1F2|2 c， e 为椭圆的离心率(2)如果 PF1F2中 F1PF2 ，则这个三角形的面积 S PF1F2 c|y0| b2tan 2(3)椭圆的离心率 e sin F1PF2sin F1F2P sin F2F1P2双曲线焦点三角形的 2 个结论2P(x0， y0)为双曲线 1( a0， b0)上的点， PF1F2为焦点三角形x2a2 y2b2(1)面积公式S c|y0| r1r2sin (其中| PF1| r1，| PF2| r2， F1PF2 )12 b2tan 2(2)焦半径若 P 在右支上，| PF1| ex
3、0 a，| PF2| ex0 a；若 P 在左支上，|PF1| ex0 a，| PF2| ex0 a3抛物线 y22 px(p0)焦点弦 AB 的 4 个结论(1)xAxB ；p24(2)yAyB p2；(3)|AB| ( 是直线 AB 的倾斜角)；2psin2(4)|AB| xA xB p4圆锥曲线的通径(1)椭圆通径长为 ；2b2a(2)双曲线通径长为 ；2b2a(3)抛物线通径长为 2p5圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为 2a(长轴长)(2)双曲线上两点间的最小距离为 2a(实轴长)(3)椭圆焦半径的取值范围为 a c， a c， a c 与 a c 分别表示椭圆焦点到椭圆
4、上的点的最小距离与最大距离(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短三、易错易混要明了1利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2 a| F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支2解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置3直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式 0 的限制尤其是在应用根与系数的关系3解决问题时，必须先有“判别式 0” ；在解决交点、弦
5、长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“ 0”下进行考点一 圆锥曲线的定义与标准方程求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的 a2， b2或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y2 ax 或 x2 ay(a0)，椭圆常设为 mx2 ny21( m0， n0)，双曲线常设为 mx2 ny21( mn0)1(2018邵阳模拟)设点 P 是双曲线 y2 1 上一点， A(0，2)， B(0,2)，x23|PA| PB|8，| PA|4，则| PB|( C )A2 B32C3 D72
6、解析 由于| PA|4, 所以| PB|4, 故| PA| PB|2 a2，由于| PA| PB|8, 解得| PB|3, 故选 C2(2018珠海模拟)已知双曲线 M： 1( a0， b0)，其焦点 F(c,0)(c0)，x2a2 y2b2右顶点 A(a,0)到双曲线 M 的一条渐近线距离为 ，以点 A 为圆心， c 为半径的圆在 y 轴所125截弦长为 8，则双曲线 M 的方程为( A )A 1 B 1x29 y216 x216 y29C x2 y29 D x2 y216解析 因为右顶点 A(a，0)到双曲线 M 的一条渐近线距离为 ，所以 125 |ab|a2 b2.圆的方程为( x a
7、)2 y2 c2，令 x0 得， y b，2 b8. b4.又因为1254a2 b2 c2， c5， a3，故选 A3(2018衡水中学押题卷)已知椭圆 1 的两个焦点是 F1， F2，点 P 在该椭圆x24 y22上，若| PF1| PF2|2，则 PF1F2的面积是_ _2解析 由椭圆的方程可知 a2， c ，2且| PF1| PF2|2 a4，又| PF1| PF2|2，所以| PF1|3，| PF2|1又| F1F2|2 c2 ，所以有| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，2即 PF1F2为直角三角形，且 PF2F1为直角，所以 S PF1F2 |F1F2|PF2| 2 1 1
8、2 12 2 2考点二 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a， b， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a， c 代换，求 的值ca2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得 或 的值；利用渐近线方程设所求双曲线的方程ba ab1(2018齐鲁名校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1( a b0)的x2a2 y2b2上、下顶点分别为 B1、 B2，左顶点为 A，左焦点为 F，若直线 AB1与直线 B2F 互相垂直，则椭圆的离
9、心率为( C )A B2 12 3 12C D5 12 5 22解析 依题意，直线 AB1与直线 B2F 互相垂直，kAB1kB2F 1， b2 ac， a2 c2 ac， e2 e10， e ，故选 Cba b c 5 122(2018三湘教育联盟联考)已知 P( ， )为双曲线 C： x2 1 上一点，则点3 6y2b25P 到双曲线 C 的渐近线的距离为( B )A B 或3 62 3 62 3 62C D 或3 62 3 62 6 32解析 由题意知，3 1 解得 b23，则双曲线 C 的渐近线方程为 xy0，所6b2 3以 P( ， )到 xy0 的距离为 或 ，即 或 ，3 6 3
10、|33 6| 3 2 1 |33 6| 3 2 1 3 62 3 62故选 B3(2018郴州二模)已知双曲线 1 的一个焦点在直线 x y5 上，则双曲y2m x29线的渐近线方程为( B )A y x B y x34 43C y x D y x223 324解析 根据题意，双曲线的方程为 1，则其焦点在 x 轴上，直线 x y5 与 xx29 y2m轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有 9 m25，解可得， m16，则双曲线的方程为 1，其渐近线方程为 y x，故选 Bx29 y216 434(2018株洲二检)已知双曲线 C： 1 的右焦点为 F，其中一条渐近线
11、与圆x2a2 y2b2(x c)2 y2 a2(c2 a2 b2， c0)交于 A， B 两点， ABF 为锐角三角形，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( D )A B( ，)(62， ) 2C(1， ) D2 (62， 2)解析 双曲线 C： 1 的右焦点为 F(c,0)，一条渐近线方程为 bx ay0，圆x2a2 y2b2(x c)2 y2 a2(c2 a2 b2， c0)的圆心( c,0)，半径为 a，渐近线与圆交于 A， B 两点， ABF 为锐角三角形，可得： a a，可得 a2 b2 a2，又|bc|a2 b2 22 12c2 a2 b2， b2 a2，可得 c2 a2可得 e
12、，由 a2 b2可得 e .所以双曲线 C 的离心12 32 62 2率的取值范围是 .故选 D(62， 2)6考点三 直线与圆锥曲线的位置关系及简单应用处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等1(2018河南联考)已知直线 y kx t 与圆 x2( y1) 21 相切且与抛物线C： x24 y 交于不同的两点 M， N，则实数
13、 t 的取值范围是( A )A(，3)(0，) B(，2)(0，)C(3,0) D(2,0)解析 因为直线与圆相切，所以 1，即 k2 t22 t.将直线方程代入抛物线方|t 1|1 k2程并整理得 x24 kx4 t0，于是 16 k216 t16( t22 t)16 t0，解得 t0 或t3.故选 A2经过椭圆 y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A， B 两x22点设 O 为坐标原点，则 等于( B )OA OB A3 B13C 或3 D13 13解析 依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0tan 45( x1)，即 y x1，代入椭圆方程
14、y21 并整理得 3x24 x0，解得 x0 或 x ，所以两个x22 43交点坐标分别为(0，1)， ， ，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，(43， 13) OA OB 13也可得 .故 的值为 OA OB 13 OA OB 133(2018湖北联考)抛物线 y24 x 的焦点为 F，直线 y x 与该抛物线交于 O、 A 两点( O 为坐标原点)，与抛物线的准线交于 B 点，直线 AF 与抛物线的另一交点为 C，则 cos ABC_ _227解析 Error! A(4,4)，Error! B(1，1)， AF： y (x1)，Error! C4 04 1 ABC ，cos ABC (14， 1) 4 224(2018唐山一模)已知 P 为抛物线 y2 x 上异于原点 O 的点， PQ x 轴，垂足为Q，过 PQ 的中点作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，直线 QM 交 y 轴于点 N，则 _ |PQ|NO| 32_解析 如图，设 P(t2， t)，则 Q(t2,0)，PQ 中点 H .M ，(t2， t2) (t24， t2)直线 MQ 的方程为： y (x t2)，t2 0t24 t2令 x0，可得 yN ，则 2t3 |PQ|NO| t2t3 32
