1、1课时作业 55 直线与圆锥曲线基础达标1过椭圆 1 内一点 P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程x216 y24解析：设直线与椭圆交于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两点，由于 A、 B两点均在椭圆上，故 1， 1，x2116 y214 x216 y24两式相减得 0. x1 x2 x1 x216 y1 y2 y1 y24又 P是 A、 B的中点， x1 x26， y1 y22， kAB .y1 y2x1 x2 34直线 AB的方程为 y1 (x3)34即 3x4 y130.2.2019郑州入学测试已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，以椭圆的四个x2a2 y2b2 3
2、2顶点为顶点的四边形的面积为 8.(1)求椭圆 C的方程；(2)如图，斜率为 的直线 l与椭圆 C交于 A， B两点，点 P(2,1)在直线 l的左上12方若 APB90，且直线 PA， PB分别与 y轴交于点 M， N，求线段 MN的长度解析：(1)由题意知Error!解得Error!所以椭圆 C的方程为 1.x28 y22(2)设直线 l： y x m， A(x1， y1)， B(x2， y2)，122联立，得Error!消去 y，化简整理，得 x22 mx2 m240.则由 (2 m)24(2 m24)0，得2b0)，右焦点为 F2(c,0)x2a2 y2b2因为 AB1B2是直角三角形
3、，且| AB1| AB2|，所以 B1AB290，因此| OA| OB2|，得 b .c2由 c2 a2 b2得 4b2 a2 b2，故 a25 b2， c24 b2，所以离心率 e .ca 255在 Rt AB1B2中， OA B1B2，故 S AB1B2 |B1B2|OA| OB2|OA| b b2.12 c2由题设条件 S AB1B24 得 b24，所以 a25 b220.因此所求椭圆的标准方程为 1.x220 y24(2)由(1)知 B1(2,0)， B2(2,0)由题意知直线 l的斜率存在且不为 0，故可设直线l的方程为 x my2，代入椭圆方程并整理得( m25) y24 my16
4、0.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，4mm2 5 16m2 54又 ( x12， y1)， ( x22， y2)，B2P B2Q 所以 ( x12)( x22) y1y2( my14)( my24) y1y2( m21)B2P B2Q y1y24 m(y1 y2)16 16 ，16 m2 1m2 5 16m2m2 5 16m2 64m2 5由 PB2 QB2，得 0，B2P B2Q 即 16m2640，解得 m2.所以满足条件的直线 l有两条，其方程分别为 x2 y20 和 x2 y20.52019唐山五校联考在直角坐标系 xOy中，长为 1 的线
5、段的两端点 C， D分2别在 x轴、 y轴上滑动， .记点 P的轨迹为曲线 E.CP 2PD (1)求曲线 E的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线 E相交于 A， B两点， ，当点 M在曲线 E上时，OM OA OB 求四边形 AOBM的面积解析：(1)设 C(m,0)， D(0， n)， P(x， y)由 ，得( x m， y) ( x， n y)，CP 2PD 2所以Error! 得Error!由| | 1，得 m2 n2( 1) 2，CD 2 2所以( 1) 2x2 y2( 1) 2，2 2 1 22 2整理，得曲线 E的方程为 x2 1.y22(2)设 A(x1， y1)， B(
6、x2， y2)，由 ，知点 M坐标为( x1 x2， y1 y2)OM OA OB 由题意知，直线 AB的斜率存在设直线 AB的方程为 y kx1，代入曲线 E的方程，得(k22) x22 kx10，则 x1 x2 ， x1x2 .2kk2 2 1k2 2y1 y2 k(x1 x2)2 .4k2 25由点 M在曲线 E上，知( x1 x2)2 1， y1 y2 22即 1，解得 k22.4k2 k2 2 2 8 k2 2 2这时| AB| |x1 x2| ，1 k2 3 x1 x2 2 4x1x2322原点到直线 AB的距离 d ，11 k2 33所以平行四边形 OAMB的面积 S| AB|d
7、 .6262018天津卷设椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离x2a2 y2b2心率为 ，点 A的坐标为( b,0)，且| FB|AB|6 .53 2(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l： y kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l与直线 AB交于点 Q.若 sin AOQ(O为原点 )，求 k的值|AQ|PQ| 524解析：(1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，又由 a2 b2 c2，可得 2a3 b.由已c2a2 59知可得| FB| a，| AB| b，2由| FB|AB|6 ，可得 ab6，从而 a3， b2.2所以，椭圆的方程为 1.x29 y2
8、4(2)设点 P的坐标为( x1， y1)，点 Q的坐标为( x2， y2)由已知有 y1y20，故| PQ|sin AOQ y1 y2.又因为| AQ| ，而 OAB ，所以| AQ| y2.y2sin OAB 4 2由 sin AOQ，可得 5y19 y2.|AQ|PQ| 524由方程组Error!消去 x，可得 y1 .6k9k2 4易知直线 AB的方程为 x y20，由方程组Error!消去 x，可得 y2 .2kk 1由 5y19 y2，可得 5(k1)3 ，两边平方，9k2 4整理得 56k250 k110，解得 k 或 k .12 11286所以 k的值为 或 .12 1128能
9、力挑战72018江苏卷如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C过点 ，焦点为(3，12)F1( ，0)， F2( ，0)，圆 O的直径为 F1F2.3 3(1)求椭圆 C及圆 O的方程；(2)设直线 l与圆 O相切于第一象限内的点 P.若直线 l与椭圆 C有且只有一个公共点，求点 P的坐标；直线 l与椭圆 C交于 A， B两点若 OAB的面积为 ，求直线 l的方程267解析：解法一 (1)因为椭圆 C的焦点为 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3所以可设椭圆 C的方程为 1( ab0)x2a2 y2b2又点 ， 在椭圆 C上，312所以Error! 解得Error!因此，椭圆 C的方程为
10、 y21.x24因为圆 O的直径为 F1F2，所以其方程为 x2 y23.(2)设直线 l与圆 O相切于 P(x0， y0)(x00， y00)，则 x 0 y 03.2 2所以直线 l的方程为 y (x x0) y0，即 y x .x0y0 x0y0 3y0由Error! 消去 y，得(4x 0 y 0)x224 x0x364 y 00.(*)2 2 2因为直线 l与椭圆 C有且只有一个公共点，所以 (24 x0)24(4 x 0 y 0)(364 y 0)48 y 0(x 02)0.2 2 2 2 2因为 x00， y00，所以 x0 ， y01.2因此，点 P的坐标为( ，1)27因为三
11、角形 OAB的面积为 ，267所以 ABOP ，从而 AB .12 267 427设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由(*)得 x1,2 ，24x048y20 x20 22 4x20 y20所以 AB2( x1 x2)2( y1 y2)21 .x20y20 48y20 x20 2 4x20 y20 2因为 x 0 y 03，2 2所以 AB2 ，16 x20 2 x20 1 2 3249即 2x 045 x 01000，4 2解得 x 0 (x 020 舍去)，则 y 0 ，因此 P的坐标为 ， .252 2 2 12 102 22则直线 l的方程为 y x3 .5 2解法二 (1
12、)由题意知 c ，所以圆 O的方程为 x2 y23，因为点 在椭圆上，3 (3，12)所以 2a 4， 3 3 2 (12 0)2 3 3 2 (12 0)2所以 a2.因为 a2 b2 c2，所以 b1，所以椭圆 C的方程为 y21.x24(2)由题意知直线 l与圆 O和椭圆 C均相切，且切点在第一象限，所以直线 l的斜率k存在且 k0)，将直线 l的方程代入圆 O的方程，得 x2( kx m)23，整理得( k21) x22 kmx m230，因为直线 l与圆 O相切，所以 (2 km)24( k21)( m23)0，整理得m23 k23，将直线 l的方程代入椭圆 C的方程，得 ( kx
13、m)21，x24整理得(4 k21) x28 kmx4 m240，8因为直线 l与椭圆 C相切，所以 (8 km)24(4 k21)(4 m24)0，整理得 m24 k21，所以 3k234 k21，因为 k0，因为直线 l和椭圆 C相交，所以结合的过程知 m24k21，解得 k ，2将直线 l的方程和椭圆 C的方程联立可得(4 k21) 28 kmx4 m240，解得 x1,2 ， 8km44k2 1 m22 4k2 1所以| x1 x2| ，44k2 1 m24k2 1因为 AB | x1 x2| ， x1 x2 2 kx1 kx2 2 k2 144k2 1 m24k2 1 k2 1O到 l的距离 d ，|m|k2 1 3所以 S OAB ，12 44K2 1 m24k2 1 k2 1 |m|k2 1 12 4k2 24k2 1 k2 1 3 267解得 k25，因为 k0，所以 k ，则 m3 ，即直线 l的方程为 y x3 .5 2 5 29
