1、1专题五 万有引力与航天挖命题【考情探究】5 年考情考点 考向考题示例 学业水平 关联考点 素养要素预测热度2015 北京理综,16,6 分 32017 北京理综,17,6 分 42018 北京理综,17,6 分 3天体的运动万有引力定律及其应用2014 北京理综,23,18分5运动与相互作用观念万有引力定律与人造卫星2016 北京理综,18,6 分 4 动量运动与相互作用观念人造卫星和宇宙速度 宇宙速度分析解读 万有引力定律是力学中一个重要的基本规律,万有引力定律在天体运动问题上的应用以及在人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天技术上的应用是我国科学技术成就较大的地方,是社会的热点,也是高考的热
2、点。【真题典例】2破考点【考点集训】考点一 天体的运动1.万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一,利用它我们可以进行许多分析和预测。2016年 3 月 8 日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时,天文学家称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的 5 倍。下列说法正确的是( )A.木星运行的加速度比地球的大B.木星运行的周期比地球的小C.下一次的“木星冲日”时间肯定在 2017 年3D.下一次的“木星冲日”时间肯定在 2018 年答案 C2.为了验证拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹
3、果下落的力以及地球、众行星与太阳之间的作用力是同一性质的力,同样遵从平方反比定律,牛顿进行了著名的“月地检验”。已知月地之间的距离为 60R(R 为地球半径),月球围绕地球公转的周期为 T,引力常量为 G。则下列说法中正确的是( )A.物体在月球轨道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的160B.由题中信息可以计算出地球的密度为3GT2C.物体在月球轨道上绕地球公转的向心加速度是其在地面附近自由下落时的加速度的13600D.由题中信息可以计算出月球绕地球公转的线速度为2RT答案 C3.行星在太阳的引力作用下绕太阳公转,若把地球和水星绕太阳的运动轨迹都近似看做圆。已知地球绕太阳公转的半径
4、大于水星绕太阳公转的半径,则下列判断正确的是( )A.地球的线速度大于水星的线速度B.地球的角速度大于水星的角速度C.地球的公转周期大于水星的公转周期D.地球的向心加速度大于水星的向心加速度答案 C4.由于地球自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为 g0,在赤道处的重力加速度大小为 g,地球自转的周期为 T,引力常量为 G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。求:(1)质量为 m 的物体在地球北极所受地球对它的万有引力的大小;(2)地球的半径;(3)地球的密度。答案 (1)质量为 m 的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力。即 F=mg
5、0(2)设地球的质量为 M,半径为 R,在赤道处随地球做圆周运动的物体的质量为 m。4物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期,轨道半径等于地球半径。根据万有引力定律和牛顿第二定律有 -mg=m RGMmR2 4 2T2在赤道处的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力,即 =mg0,解得 R=GMmR2 (g0-g)T24 2(3)因为在两极处有 G =mg0,所以 M=MmR2 g0R2G又因地球的体积 V= R 3,所以 = =43 MV 3g0GT2(g0-g)考点二 人造卫星和宇宙速度5.“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静
6、止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行,它们距地面的高度分别为 h1和 h2,且h1h2。则下列说法中正确的是( )A.静止轨道卫星的周期比中轨道卫星的周期大B.静止轨道卫星的线速度比中轨道卫星的线速度大C.静止轨道卫星的角速度比中轨道卫星的角速度大D.静止轨道卫星的向心加速度比中轨道卫星的向心加速度大答案 A6.宇航员在月球表面附近高 h 处释放一个物体,经时间 t 后落到月球表面,月球半径为 R。在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的宇宙飞船速率为( )A.2 B. C. D.Rht Rht 2Rht Rh2t答案 C7.“天舟一号”货运飞船在海南文昌航天发射中心成功发射升空,与天宫二号空间
7、实验室交会对接。已知地球质量为 M,引力常量为 G,将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体。(1)求飞船在距地面高度为 h 的圆轨道上运行时线速度的大小 v;(2)已知地球的自转周期为 T,求将质量为 m 的飞船停放在赤道上时飞船受到重力的大小 G 船 ;(3)海南文昌航天发射场是我国的低纬度滨海发射基地,相比高纬度发射基地,发射相同的同步轨道静止卫星可节省燃料,请你从能量的角度说明可能的原因是什么(写出一条即可)。5答案 (1)根据万有引力定律和牛顿第二定律有G =mMm(R+h)2 v2R+h解得 v=GMR+h(2)根据万有引力定律及向心力公式,有 F 引 =G 及 F 向 =m RM
8、mR2 4 2T2F 引 =F 向 +G 船解得 G 船 =G -m RMmR2 4 2T2(3)在任何地点发射卫星,需要达到的环绕速度是相同的。卫星在地球表面上的不同纬度,随地球自转,由于角速度相同,依据 v0=r,因为低纬度 r 大,所以由地球自转获得的 v0大,卫星具有的初动能就较大,因此可以节省燃料。炼技法【方法集训】方法 1 重力和重力加速度的计算方法1.关于静止在地球表面(两极除外)随地球自转的物体,下列说法正确的是( )A.物体所受重力等于地球对它的万有引力B.物体的加速度方向可能不指向地球中心C.物体所受合外力等于地球对它的万有引力D.物体在地球表面不同处角速度可能不同答案 B
9、2.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球质量为 M,半径为 R,自转的周期为 T,引力常量为 G。求:(1)地球同步卫星距离地面的高度 H;(2)地球表面在两极的重力加速度 g;(3)地球表面在赤道的重力加速度 g0。答案 (1) -R (2) (3) -3GMT24 2 GMR2 GMR24 2RT2方法 2 卫星变轨道问题63.一人造卫星绕地球运动,由于受到稀薄气体阻力的作用,其轨道半径会缓慢发生变化。若卫星绕地球运动一周的过程都可近似看做圆周运动,则经过足够长的时间后,卫星绕地球运行的 ( )A.半径变大,角速度变大,速率变大B.半径变小,角速度变大,速率变大C.半径变大,角速度变
10、小,速率变小D.半径变小,角速度变小,速率变小答案 B4.(多选)2013 年 12 月 6 日,“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的 P点时做近月制动后被月球俘获,成功进入环月圆形轨道上运行,如图所示。在“嫦娥三号”沿轨道经过 P 点时,通过调整速度使其进入椭圆轨道,在沿轨道经过 Q 点时,再次调整速度后又经过一系列辅助动作,成功实现了其在月球上的“软着陆”。对于“嫦娥三号”沿轨道和轨道运动的过程,若以月球为参考系,且只考虑月球对它的引力作用,下列说法中正确的是( )A.沿轨道经过 P 点时的速度小于经过 Q 点时的速度B.沿轨道经过 P 点时的机械能小于经过 Q 点时的机械
11、能C.沿轨道经过 P 点时的速度大于沿轨道经过 P 点时的速度D.沿轨道经过 P 点时的加速度大于沿轨道经过 P 点时的加速度答案 AC过专题【五年高考】A 组 基础题组1.(2015 北京理综,16,6 分)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,那么 ( )A.地球公转周期大于火星的公转周期7B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度答案 D2.(2018 课标,15,6 分)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星 P,其轨道半径约为地球半径的 16 倍;另一地球卫星
12、 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍。P 与 Q 的周期之比约为 ( )A.21 B.41C.81 D.161答案 C3.(2018 北京理综,17,6 分)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径 60 倍的情况下,需要验证( )A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 1/602B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1/602C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 1/6D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1/60答案 BB 组 提升题组1.(2016 北京理综,18,6 分)如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆
13、轨道 1 绕地球 E 运行,在 P点变轨后进入轨道 2 做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )A.不论在轨道 1 还是轨道 2 运行,卫星在 P 点的速度都相同B.不论在轨道 1 还是轨道 2 运行,卫星在 P 点的加速度都相同C.卫星在轨道 1 的任何位置都具有相同加速度D.卫星在轨道 2 的任何位置都具有相同动量8答案 B2.(2016 江苏单科,7,4 分)(多选)如图所示,两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动,用R、T、E k、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )A.TATB B.EkAEkBC.SA=SB D.
14、=R3AT2AR3BT2B答案 AD3.(2018 课标,16,6 分)2018 年 2 月,我国 500m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期 T=5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.6710-11Nm2/kg2。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A.5109kg/m3 B.51012kg/m3C.51015kg/m3 D.51018kg/m3答案 C4.(2016 天津理综,3,6 分)我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀
15、速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是( )A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接9D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接答案 C5.(2018 课标,20,6 分)(多选)2017 年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约 100s 时,它们相距约 400k
16、m,绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度答案 BC6.(2014 北京理综,23,18 分)万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为 M,自转周期为 T,引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体,不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时,弹簧秤的读数是 F0。a.若在北极上空高出
17、地面 h 处称量,弹簧秤读数为 F1,求比值 F1/F0的表达式,并就h=1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字);b.若在赤道地面称量,弹簧秤读数为 F2,求比值 F2/F0的表达式。(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径 r、太阳的半径 RS和地球的半径 R 三者均减小为现在的 1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用,以现实地球的 1 年为标准,计算“设想地球”的 1 年将变为多长?答案 (1)a. = 0.98 b. =1-F1F0 R2(R+h)2 F2F0 4 2R3GMT2(2)“设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同7.
18、(2014 四川理综,9,15 分)石墨烯是近些年发现的一种新材料,其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使 21 世纪的世界发生革命性的变化,其发现者由此获得 2010年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳,人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现。科学家们设想,通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站,电梯仓沿着这条缆绳运行,实现外太空和地球之间便捷的物资交换。10(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为 h1的同步轨道站,求轨道站内质量为 m1的货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为 ,地球半径为 R。(2)当电梯仓停在距地面高度 h2=4R 的站点时
19、,求仓内质量 m2=50kg 的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度 g=10m/s2,地球自转角速度 =7.310 -5rad/s,地球半径R=6.4103km。答案 (1) m1 2(R+h1)2 (2)11.5N12C 组 教师专用题组1.(2016 四川理综,3,6 分)国务院批复,自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”。1970 年 4 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为 440km,远地点高度约为 2060km;1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35786km
20、 的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为 a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3,则a1、a 2、a 3的大小关系为( )A.a2a1a3 B.a3a2a1 C.a3a1a2 D.a1a2a3答案 D2.(2010 课标全国,20,6 分)太阳系中的 8 大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列 4 幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是 lg(T/T0),纵轴是 lg(R/R0);这里 T 和 R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径,T 0和 R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列 4
21、幅图中正确的是( )11答案 B3.(2015 天津理综,8,6 分)(多选)P 1、P 2为相距遥远的两颗行星,距各自表面相同高度处各有一颗卫星 s1、s 2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度 a,横坐标表示物体到行星中心的距离 r 的平方,两条曲线分别表示 P1、P 2周围的a 与 r2的反比关系,它们左端点横坐标相同。则( )A.P1的平均密度比 P2的大B.P1的“第一宇宙速度”比 P2的小C.s1的向心加速度比 s2的大D.s1的公转周期比 s2的大答案 AC【三年模拟】时间:45 分钟 分值:90 分一、选择题(每小题 6 分,共 30 分)1.
22、(2017 海淀查漏补缺,4)许多科学家对物理学的发展做出了巨大贡献,下列说法中正确的是( )A.牛顿发现了万有引力定律后,用实验的方法测出了引力常量 G 的数值B.楞次总结得出了感应电流的产生条件C.卢瑟福根据 粒子散射实验现象提出了原子的核式结构模型D.卡文迪许利用扭秤测出了静电力常量 k 的数值答案 C122.(2017 东城二模,16)根据开普勒定律可知:火星绕太阳运行的轨道是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。下列说法正确的是 ( )A.太阳对火星的万有引力大小始终保持不变B.太阳对火星的万有引力大于火星对太阳的万有引力C.火星运动到近日点时的加速度最大D.火星绕太阳运行的线速度大小始终
23、保持不变答案 C3.(2018 东城二模,17)由于通信和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,这些卫星的( )A.周期可以不同B.离地高度可以不同C.动能可以不同D.运行速率可以不同答案 C4.(2017 昌平二模,16)如图所示,人造地球卫星发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道。先将卫星发射至近地圆轨道,然后在 A 点(近地点)点火加速,卫星做离心运动进入椭圆轨道;在 B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道。关于卫星的发射和变轨,下列说法正确的是( )A.在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量,所以发射场必须建在赤道上B.卫星在圆轨道上运行时的向心加速度和周期大于在圆轨
24、道上的向心加速度和周期C.从轨道转移到轨道的过程中,动能减小,重力势能增大,机械能守恒D.如果圆轨道是地球同步卫星轨道,则在该轨道上运行的任何卫星,其角速度都和在地面上静止物体的角速度相同答案 D5.(2017 门头沟二模,20)2016 年 2 月 11 日,美国科学家宣布探测到引力波。双星的运动是引力波的来源之一,假设宇宙中一双星系统由 a、b 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线上的13某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得 a 星的周期为 T,a、b 两颗星的距离为l,a、b 两颗星的轨道半径之差为 r(a 星的轨道半径大于 b 星的),则( )A.b 星的周期为 Tl- rl+ rB
25、.a 星的线速度大小为 (l+ r)TC.a、b 两颗星的轨道半径之比为ll- rD.a、b 两颗星的质量之比为l+ rl- r答案 B二、非选择题(共 60 分)6.(2017 海淀零模,23)(20 分)为了方便研究物体与地球间的万有引力问题,通常将地球视为质量分布均匀的球体。已知地球的质量为 M,半径为 R,引力常量为 G,不考虑空气阻力的影响。(1)求北极点的重力加速度的大小;(2)若“天宫二号”绕地球运动的轨道可视为圆,其轨道距地面的高度为 h,求“天宫二号”绕地球运行的周期和速率;(3)若已知地球质量 M=6.01024kg,地球半径 R=6400km,其自转周期 T=24h,引力
26、常量G=6.6710-11Nm2/kg2。在赤道处地面上有一质量为 m 的物体 A,用 G0表示物体 A 在赤道处地面上所受的重力,F 0表示其在赤道处地面上所受的万有引力。请求出 的值(结果保F0-G0F0留 1 位有效数字),并以此为依据,说明在处理万有引力和重力的关系时,为什么经常可以忽略地球自转的影响。答案 (1)设质量为 m0的物体静止在北极点时所受地面的支持力为 N0,根据万有引力定律和共点力平衡条件有=N0GMm0R2即质量为 m0的物体在北极点时所受的重力大小G1=N0=GMm0R2设北极点的重力加速度为 g0,则 m0g0=GMm0R2解得 g0=GMR214(2)设“天宫二
27、号”的质量为 m1,其绕地球做匀速圆周运动的周期为 T1,根据万有引力定律和牛顿第二定律有G =m1 (R+h)Mm1(R+h)2 4 2T21解得:T 1=2(R+h)3GM运行速率 v= =2(R+h)T1 GMR+h(3)物体 A 在赤道处地面上所受的万有引力 F0=GMmR2对于物体 A 在赤道处地面上随地球运动的过程,设其所受地面的支持力为 N,根据牛顿第二定律有 F0-N=m R4 2T2物体 A 此时所受重力的大小 G0=N=G -m RMmR2 4 2T2代入数据可得 = 310 -3F0-G0F0 m4 2T2RGMmR2这一计算结果说明,由于地球自转对赤道处地面上静止的物体
28、所受重力与所受地球引力大小差别的影响很小,所以通常情况下可以忽略地球自转造成的地球引力与重力大小的区别。7.(2018 海淀二模,23)(20 分)2017 年 4 月 20 日 19 时 41 分天舟一号货运飞船在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空。22 日 12 时 23 分,天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室顺利完成首次自动交会对接。中国载人航天工程已经顺利完成“三步走”发展战略的前两步,中国航天空间站预计 2022 年建成。建成后的空间站绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为 M,空间站的质量为 m0,轨道半径为 r0,引力常量为 G,不考虑地球自转的影响。(1)求空间
29、站线速度 v0的大小;(2)宇航员相对太空舱静止站立,应用物理规律推导说明宇航员对太空舱的压力大小等于零;(3)规定距地球无穷远处引力势能为零,质量为 m 的物体与地心距离为 r 时引力势能为Ep=- 。由于太空中宇宙尘埃的阻力以及地磁场的电磁阻尼作用,长时间在轨无动力运行的GMmr空间站轨道半径慢慢减小到 r1(仍可看做匀速圆周运动),为了修正轨道使轨道半径恢复到r0,需要短时间开动发动机对空间站做功,求发动机至少做多少功。15答案 (1) GMr0(2)设宇航员质量为 m,受到的支持力为 N,由牛顿第二定律有-N=mGMmr20 v20r0v0=GMr0解得 N=0由牛顿第三定律可知,宇航
30、员对太空舱的压力大小等于零。(3) -GMm02r1GMm02r08.(2017 房山二模,24)(20 分)有人设想:可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时,借飞船需要减速的机会,发射一个小型太空探测器,从而达到节能的目的。如图所示,飞船在圆轨道上绕地球飞行,其轨道半径为地球半径的 k 倍(k1)。当飞船通过轨道的 A 点时,飞船上的发射装置短暂工作,将探测器沿飞船原运动方向射出,并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围,即到达距地球无限远时的速度恰好为零,而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道向前运动,其近地点 B 到地心的距离近似为地球半径 R。以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面
31、的重力加速度为 g。(1)求飞船在轨道上运动的速度大小;(2)若规定两质点相距无限远时引力势能为零,则质量分别为 m1、m 2的两个质点相距为r 时的引力势能 Ep=- ,式中 G 为引力常量。飞船沿轨道和轨道运动过程中,其动能和Gm1m2r引力势能之和保持不变;探测器被射出后的运动过程中,其动能和引力势能之和也保持不变。16求探测器刚离开飞船时的速度大小;已知飞船沿轨道运动过程中,通过 A 点与 B 点时的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程,飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。答案 (1) (2) 设发射探测器后飞船在 A 点的速度为 vA,运动到 B 点时的速gRk 2gRk度为 vB,因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变,所以有m - = m -12v2BGMmR 12v2AGMmkR对于飞船发射探测器的过程,根据动量守恒定律有(m+m)v0=mvA+mv因飞船通过 A 点与 B 点时的速度大小与这两点到地心的距离成反比,即 RvB=kRvA解得: =mm 2-11- 2k+1
