1、1专题四 解析几何析考情明重点小题考情分析 大题考情分析常考点1.双曲线的渐近线、离心率及焦点问题(5 年 4 考) 2.椭圆的离心率问题，椭圆与直线、双曲线的综合问题(5 年3 考)偶考点1.圆与不等式的交汇问题2.抛物线的焦点、准线问题直线与圆锥曲线解答题是高考的热点也是重点部分，主要涉及以下两种考法：(1)直线与椭圆有关范围、最值的综合问题；(2)直线与抛物线有关范围、最值的综合问题.第一讲 小题考法直线与圆考点(一)直 线 的 方 程 主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.典例感悟典例 (1)已知直线 l1： x2 ay10， l2：( a1) x ay0，若 l1
2、 l2，则实数 a的值为( )A B032C 或 0 D232(2)已知点 A(1,0)， B(1,0)， C(0,1)，直线 y ax b(a0)将 ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )A(0,1) B.(122， 12)C. D.(122， 13 13， 12)(3)过直线 l1： x2 y30 与直线 l2：2 x3 y80 的交点，且到点 P(0,4)距离为2 的直线方程为_.解析 (1)由 l1 l2得 1( a)2 a(a1)，即 2a23 a0，解得 a0 或 a .32经检验，当 a0 或 a 时均有 l1 l2，故选 C.322(2)易知 BC 所在直线
3、的方程是 x y1，由Error!消去 x，得 y ，当 a0 时，直a ba 1线 y ax b 与 x 轴交于点 ，结合图形(图略)知 ，化简得( a b)(ba， 0) 12 a ba 1 (1 ba) 122 a(a1)，则 a . a0， 0，解得 b .b21 2b b21 2b 12考虑极限位置，即当 a0 时，易得 b1 ，故 b 的取值范围是 .22 (1 22， 12)(3)由Error! 得Error! l1与 l2的交点为(1,2)当所求直线斜率不存在，即直线方程为 x1 时，显然不满足题意当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为 y2 k(x1)，即 kx y2 k0，
4、点 P(0,4)到直线的距离为 2，2 ， k0 或 k .| 2 k|1 k2 43直线方程为 y2 或 4x3 y20.答案 (1)C (2)B (3) y2 或 4x3 y20方法技巧解决直线方程问题的 2 个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2 A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意演练冲关1已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l1经过点 A(3,2)， B( a,1)，且 l1与 l 垂直，直 4线 l2：2 x by10 与直线 l1平行，则
5、 a b( )A4 B2 C0 D2解析：选 B 由题知，直线 l 的斜率为 1，则直线 l1的斜率为1，所以 1，2 13 a所以 a4.又 l1 l2，所以 1， b2，所以 a b422，故选 B.2b2(2018浙江名师预测卷)“ m1”是“直线 l1： mx(2 m1) y10 与直线l2：3 x my30 垂直”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3解析：选 A 若直线 l1： mx(2 m1) y10 与直线 l2：3 x my30 垂直，则 3m m(2m1)0，即 2m(m1)0，解得 m0 或 m1，则“ m1”是“直线 l1： mx
6、(2 m1) y10 与直线 l2：3 x my30 垂直”的充分不必要条件故选 A.3若直线 l1： x ay60 与 l2：( a2) x3 y2 a0 平行，则 l1与 l2间的距离为( )A. B. 2823C. D.3833解析：选 B 由 l1 l2，得( a2) a13，且 a2a36，解得 a1，所以l1： x y60， l2： x y 0，所以 l1与 l2间的距离为 d .23 |6 23|12 1 2 823考点(二)圆 的 方 程主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题.典例感悟典例 (1)已知三点 A(1,0)， B(0， )， C(2， )，则 A
7、BC 外接圆的圆心到原点的3 3距离为( )A. B.53 213C. D.253 43(2)(2018广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线 x24 y 的焦点，且该圆与直线y x3 相切，则该圆的标准方程是_解析 (1)设 ABC 外接圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0，Error! Error! ABC 外接圆的一般方程为 x2 y22 x y10，圆心为 ，故 ABC 外433 (1， 233)接圆的圆心到原点的距离为 .1 (233)2 213(2)抛物线 x24 y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是 x2( y1)42 r2(r0)，因为该圆与直线 y
8、 x3，即 x y30 相切，所以 r ，故| 1 3|2 2该圆的标准方程是 x2( y1) 22.答案 (1)B (2) x2( y1) 22方法技巧圆的方程的 2 种求法几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数演练冲关1圆( x2) 2 y24 关于直线 y x 对称的圆的方程是( )33A( x )2( y1) 243B( x )2( y )242 2C x2( y2) 24D( x1) 2( y )243解析：选 D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需求圆心(2,0)关于直线 yx 对称
9、的点的坐标即可设所求圆的圆心坐标为( a， b)，则Error!解得Error!所以圆33(x2) 2 y24 的圆心关于直线 y x 对称的点的坐标为(1， )，从而所求圆的方程为33 3(x1) 2( y )24，故选 D.32已知圆 C 的圆心是直线 x y10 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x y30 相切，则圆 C 的方程是( )A( x1) 2 y22 B( x1) 2 y28C( x1) 2 y22 D( x1) 2 y28解析：选 A 根据题意，直线 x y10 与 x 轴的交点坐标为(1,0)，即圆心为(1,0)因为圆 C 与直线 x y30 相切，所以半径 r ，则圆
10、 C 的方| 1 0 3|12 12 2程为( x1) 2 y22，故选 A.3圆心在直线 x2 y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2，则圆 C 的标准方程为_3解析：设圆心坐标为( a， b)，半径为 r.由已知Error!又圆心( a， b)到 y 轴、 x 轴的距离分别为| a|，| b|，所以| a| r，| b|23 r2.综上，解得 a2， b1， r2，所以圆心坐标为(2,1)，圆 C 的标准方程为( x2) 2( y1) 24.答案：( x2) 2( y1) 245考点(三)直线(圆)与圆的位置关系 主要考查直线 圆 与圆位置关系的判断、
11、根据直线与圆的位置关系解决参数问题或与圆有关的轨迹问题.典例感悟典例 (1)已知圆 M： x2 y22 ay0( a0)截直线 x y0 所得线段的长度是2 ，则圆 M 与圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是( )2A内切 B相交C外切 D相离(2)(2018丽水、衢州、湖州高三联考)已知直线 l1：2 x y10，直线l2：4 x2 y a0，圆 C： x2 y22 x0.若圆 C 上任意一点 P 到两直线 l1， l2的距离之和为定值 2 ，则实数 a_.5解析 (1)由题知圆 M： x2( y a)2 a2(a0)，圆心(0， a)到直线 x y0 的距离d ，所以 2
12、2 ，解得 a2，即圆 M 的圆心为 (0,2)，半径为 2.又圆 N 的圆心a2 a2 a22 2为(1,1)，半径为 1，则圆 M，圆 N 的圆心距| MN| ，两圆半径之差为 1，半径之和为23,10)(3)圆的直径式方程：( x x1)(x x2)( y y1)(y y2)0(圆的直径的两端点是A(x1， y1)， B(x2， y2)4直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)： 0相交， r相离， d r相切5圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为 O1， O2，半径分别为 r1， r2，则(1)当| O1O2| r1 r2时，两圆外离；(2)
13、当| O1O2| r1 r2时，两圆外切；8(3)当| r1 r2| O1O2| r1 r2时，两圆相交；(4)当| O1O2| r1 r2|时，两圆内切；(5)当 0| O1O2| r1 r2|时，两圆内含(二) 二级结论要用好1直线 l1： A1x B1y C10 与直线 l2： A2x B2y C20 的位置关系(1)平行 A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10；(2)重合 A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10；(3)相交 A1B2 A2B10；(4)垂直 A1A2 B1B20.针对练 1 若直线 l1： mx y80 与 l2：4 x( m5) y2 m0 垂直，则m
14、_.解析： l1 l2，4 m( m5)0， m1.答案：12若点 P(x0， y0)在圆 x2 y2 r2上，则圆过该点的切线方程为： x0x y0y r2.针对练 2 过点(1， )且与圆 x2 y24 相切的直线 l 的方程为_3解析：点(1， )在圆 x2 y24 上，3切线方程为 x y4，即 x y40.3 3答案： x y403(三) 易错易混要明了1易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为 0 的情况，直接设为 1；再如，忽视斜率不存在的情况直接将过定xa ya点 P(x0， y0)的直线设为 y y0 k(x x0)等针对练 3
15、 已知直线过点 P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_解析：当截距为 0 时，直线方程为 5x y0；当截距不为 0 时，设直线方程为 1，代入 P(1,5)，得 a6，直线方程为xa yax y60.答案：5 x y0 或 x y602讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为 0.如果利用直线 l1： A1x B1y C10与 l2： A2x B2y C20 垂直的充要条件 A1A2 B1B20，就可以避免讨论针对练 4 已知直线 l1：( t2) x(1 t)y1 与 l2：( t1) x(2
16、t3) y20 互相垂直，则 t 的值为_9解析： l1 l2，( t2)( t1)(1 t)(2t3)0，解得 t1 或 t1.答案：1 或 13求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解|C1 C2|A2 B2针对练 5 两平行直线 3x2 y50 与 6x4 y50 间的距离为_解析：把直线 6x4 y50 化为 3x2 y 0，故两平行线间的距离 d 52 | 5 52|32 22.151326答案：1513264易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解针对练 6 已知两圆 x2 y22 x6 y10， x2 y210 x12 y m0
17、 相切，则m_.解析：由 x2 y22 x6 y10，得( x1) 2( y3) 211，由x2 y210 x12 y m0，得( x5) 2( y6) 261 m.当两圆外切时，有 ，解得 m2510 ；当两圆内切时，有 5 1 2 6 3 2 61 m 11 11 ，解得 m2510 . 5 1 2 6 3 2 | 61 m 11| 11答案：2510 11课 时 跟 踪 检 测 A 组107 提速练一、选择题1已知直线 l： y k(x )和圆 C： x2( y1) 21，若直线 l 与圆 C 相切，则 k( )3A0 B. 3C. 或 0 D. 或 033 3解析：选 D 因为直线 l
18、 与圆 C 相切，所以圆心 C(0,1)到直线 l 的距离 d1，解得 k 0 或 k ，故选 D.| 1 3k|k2 1 2 32(2018宁波十校高三 5 月适应性考试)已知直线 l 过圆( x1) 2( y2) 21 的圆心，当原点到直线 l 距离最大时，直线 l 的方程为( )A y2 B x2 y50C x2 y30 D x2 y50解析：选 D 设圆心为 M，则 M(1,2)10当 l 与 OM 垂直时，原点到 l 的距离最大作出示意图如图， kOM2， l 的斜率为 .12直线 l 的方程为 y2 (x1)，即 x2 y50.123直线 l： y kx1 与圆 O： x2 y21
19、 相交于 A， B 两点，则“ k1”是“|AB| ”的( )2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 依题意，注意到| AB| 等价于圆心 O 到直线 l 的距离2 |OA|2 |OB|2等于 ，即有 ， k1.因此， “k1” 是“| AB| ”的充分不必要22 1k2 1 2 22 2条件4若三条直线 l1：4 x y3， l2： mx y0， l3： x my2 不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A2 个 B3 个 C4 个 D6 个解析：选 C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点若 l1 l2，则 m
20、4；若 l1 l3，则 m ；若 l2 l3，则 m 的值不存在；若三条直14线相交于同一点，则 m1 或 .故实数 m 的取值最多有 4 个，故选 C.535(2018温州模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)， B(2,0)，过 A 的直线交 x 轴于点 C(a,0)，若直线 AC 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的 2 倍，则 a( )A. B.14 34C1 D.43解析：选 B 设直线 AC 的倾斜角为 ，直线 AB 的倾斜角为 ，即有 tan tan 2 .2tan 1 tan2又 tan ，tan ，1a 12所以 ，解得 a .1a2121 14 346与直线 x y
21、20 和曲线 x2 y212 x12 y540 都相切的半径最小的圆的标11准方程是( )A( x2) 2( y2) 22B( x2) 2( y2) 22C( x2) 2( y2) 22D( x2) 2( y2) 22解析：选 D 由题意知，曲线方程为( x6) 2( y6) 2(3 )2，过圆心(6,6)作直线2x y20 的垂线，垂线方程为 y x，则所求的最小圆的圆心必在直线 y x 上，又圆心(6,6)到直线 x y20 的距离 d 5 ，故最小圆的半径为 ，|6 6 2|2 2 52 322 2圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为( x2) 2( y2) 22.7(2018长
22、沙模拟)若直线(2 1) x( 2) y 20( R)被圆 C：( x1)2 y24 所截得的弦为 MN，则| MN|的最小值是( )A. B22C2 D42解析：选 C 直线方程(2 1) x( 2) y 20( R)可化为 (2x y1)( x2 y2)0( R)，若Error!则Error!所以直线恒过圆 C：( x1) 2 y24 内的定点 P(0，1)，当直线(2 1) x( 2) y 20( R)与直线 CP 垂直时，| MN|最小，此时| MN|2 2 2 .故选 C.r2 |CP|2 4 2 2 28(2018合肥质检)设圆 x2 y22 x2 y20 的圆心为 C，直线 l
23、过(0,3)且与圆C 交于 A， B 两点，若| AB|2 ，则直线 l 的方程为( )3A3 x4 y120 或 4x3 y90B3 x4 y120 或 x0C4 x3 y90 或 x0D3 x4 y120 或 4x3 y90解析：选 B 由题可知，圆心 C(1,1)，半径 r2.当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x0，计算出弦长为 2 ，符合题意；当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为3y kx3，由弦长为 2 可知，圆心到该直线的距离为 1，从而有 1，解得3|k 2|k2 1k ，所以直线 l 的方程为 y x3，即 3x4 y120.34 34综上，直线 l 的方程为
24、 x0 或 3x4 y120，故选 B.9两个圆 C1： x2 y22 ax a240( aR)与 C2： x2 y22 by1 b20( bR)恰有三条公切线，则 a b 的最小值为( )A3 B32 2C6 D612解析：选 B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆 C1：( x a)2 y24，圆 C2： x2( y b)21，所以 C1( a,0)， C2(0， b)， 213，即 a2 b29.|C1C2| a2 b2由 2 ，得( a b)218，所以3 a b3 ，当且仅当“ a b”时(a b2 ) a2 b22 2 2等号成立所以 a b 的最小值为3 .21
25、0若圆( x3) 2( y5) 2 r2上有且只有两个点到直线 4x3 y20 的距离等于1，则半径 r 的取值范围是( )A(4,6) B4,6C(4,5) D(4,5解析：选 A 设直线 4x3 y m0 与直线 4x3 y20 之间的距离为 1，则有1， m3 或 m7.圆心(3，5)到直线 4x3 y30 的距离等于 6，圆心|m 2|5(3，5)到直线 4x3 y70 的距离等于 4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选 A.二、填空题11直线 l： x y 23 0( R)恒过定点_， P(1，1)到直线 l 的距离的最大值为_解析：直线 l： x y 23 0( R)，即
26、(y3) x20，令Error!解得Error! 直线 l 恒过定点(2,3)不妨记 Q(2,3)，则 P(1,1)到直线 l 的距离的最大值为| PQ| . 3 2 22 13答案：(2,3) 1312若直线 l1： y x a 和直线 l2： y x b 将圆( x1) 2( y2) 28 分成长度相等的四段弧，则 a2 b2_.解析：由题意得直线 l1和 l2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为 90，因此圆心到两直线的距离均为 r2，即 2，得 a2 b2(2 1) 2(1222 |1 2 a|2 |1 2 b|2 2)218.2答案：1813已知点 M(2,1)及圆 x2 y24，则过
27、M 点的圆的切线方程为_，若直线ax y40 与该圆相交于 A， B 两点，且| AB|2 ，则 a_.3解析：若过点 M 的圆的切线斜率不存在，则切线方程为 x2，经验证满足条件若切线斜率存在，可设切线方程为 y k(x2)1，由圆心到直线的距离等于半径得2，解得 k ，故切线方程为 y (x2)1，即 3x4 y100.综上，| 2k 1|k2 1 34 34过 M 点的圆的切线方程为 x2 或 3x4 y100.13由 ，得 a .4a2 1 4 3 15答案： x2 或 3x4 y100 1514已知 C 的方程为 x22 x y20，直线 l： kx y x2 k0 与 C 交于 A
28、， B 两点，当| AB|取最大值时， k_；当 ABC 的面积最大时， k_.解析：圆的方程可化为( x1) 2 y21，圆心 C(1,0)，半径为 1，当直线过圆心时，弦 AB 为直径，| AB|最大，此时 k1.设 ACB ，则 S ABC 11sin sin 12 12 ，当 90时， ABC 的面积最大，此时圆心到直线的距离为 ，由 d22 ，解得 k0 或 k6.|1 k| k 1 2 1 22答案：1 0 或 615已知圆 O： x2 y2 r2与圆 C：( x2) 2 y2 r2(r0)在第一象限的一个公共点为P，过点 P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点 A， B(
29、异于 P 点)，且 OA OB，则直线 OP 的斜率是_， r_.解析：两圆的方程相减得，4 x40，则点 P 的横坐标 x1.易知 P 为 AB 的中点，因为 OA OB，所以| OP| AP| PB|，所以 OAP 为等边三角形，所以 APO60，因为AB x 轴，所以 POC60，所以直线 OP 的斜率为 .设 P(1， y1)，则 y1 ，所以3 3P(1， )，代入圆 O，解得 r2.3答案： 2316(2018浦江模拟)设 A 是直线 y x4 上一点， P，Q 是圆 C： x2( y2) 217 上不同的两点，若圆心 C 是 APQ 的重心则 APQ 面积的最大值为_解析：如图，
30、圆心 C 是 APQ 的重心， AC PQ，设 C 到 PQ 的距离为 x，则 PQ2 ，17 x2则 A 到 PQ 的距离为 3x， S PAQ 2 3x12 17 x23 x3 .17 x217 x2 x22 51214当且仅当 x，即 x 时等号成立17 x2342 APQ 面积的最大值为 .512答案：51217定义：若平面点集 A 中的任一个点( x0， y0)，总存在正实数 r，使得集合( x， y)|0；( x， y)|x y|6；( x， y)|00)与圆 x2 y24 交于不同的两点 A， B， O 是坐标原点，且有| | | |，那么 k 的取值范围是( )OA OB 33
31、 AB A( ，) B ，)3 2C ，2 ) D ，2 )2 2 3 2解析：选 C 当| | | |时， O， A， B 三点为等腰三角形 AOB 的三个顶OA OB 33 AB 15点，其中 OA OB2， AOB120，从而圆心 O 到直线 x y k0( k0)的距离为 1，即1，解得 k ；当 k 时，| | | |，又直线与圆 x2 y24 有两个|k|2 2 2 OA OB 33 AB 不同的交点，故 0)设条件 p：01，即 01，即 r3 时，直线与圆相交，此时圆上有 4 个点到直线的距离为 1.综上，当 0b0)，而抛x2a2 y2b2物线 y24 x 的焦点为(1,0)
32、，所以 c1，又离心率 e ，解得ca 12a2， b2 a2 c23，所以椭圆方程为 1.故选 A.x24 y23答案 (1)A (2)A方法技巧1圆锥曲线的定义(1)椭圆：| MF1| MF2|2 a(2a| F1F2|)；(2)双曲线：| MF1| MF2|2 a(2a| F1F2|)；(3)抛物线：| MF| d(d 为 M 点到准线的距离)注意 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的 a2， b2或 p.另外，当焦点位置无法
33、确定时，抛物线常设为 y22 px 或 x22 py(p0)，椭圆常设为 mx2 ny21( m0， n0)，双曲线常设为 mx2 ny21( mn0)演练冲关1已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 4 ，渐近线方程为 2xy0，则双x2a2 y2b2 5曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y216 x216 y24C. 1 D. 1x216 y264 x264 y216解析：选 A 易知双曲线 1( a0， b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程x2a2 y2b2为 2xy0，得 2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 .结合 c2 a2 b2，可得ba 5 5a2， b4
34、，所以双曲线的方程为 1.x24 y216182(2018杭二中高三期中)过双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点 F 的直线x2a2 y2b2l： y x4 与双曲线 C 只有一个公共点，则双曲线 C 的焦距为_， C 的离心率3 3为_解析：双曲线 C： 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，因为过双曲线 C：x2a2 y2b2 ba 1( a0， b0)的右焦点 F 的直线 l： y x4 与双曲线 C 只有一个公共点，所x2a2 y2b2 3 3以Error! 又因为 a2 b2 c2，所以 a2， b2 ， c4，所以 2c8， e 2.3ca答案：8 23已知抛物线 x2
35、4 y 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点，过 P 作 PA l 于点A，当 AFO30( O 为坐标原点)时，| PF|_.解析：法一：令 l 与 y 轴的交点为 B，在 Rt ABF 中， AFB30，| BF|2，所以|AB| .设 P(x0， y0)，则 x0 ，代入 x24 y 中，得 y0 ，所以233 233 13|PF| PA| y01 .43法二：如图所示， AFO30， PAF30，又| PA| PF|， APF 为顶角 APF120的等腰三角形，而| AF| ，2cos 30433| PF| .|AF|3 43答案：43考点(二)圆锥曲线的几何性质 主要考查椭
36、圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线的有关性质.典例感悟典例 (1)(2018浙江名师预测卷)设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M 在抛物线 C 上，| MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线 C 的方程为( )A y24 x 或 y28 x B y22 x 或 y28 x19C y24 x 或 y216 x D y22 x 或 y216 x(2)(2017全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，x2a2 y2b2b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点若 MAN60
37、，则 C 的离心率为_解析 (1)因为抛物线 C 的方程为 y22 px(p0)，所以焦点 F .(p2， 0)设 M(x， y)，由抛物线的性质可得| MF| x 5，p2所以 x5 .p2因为圆心是 MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心横坐标为 ，又由已知可得圆52的半径也为 ，故可知该圆与 y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为 2，则点 M 的纵坐标为524，所以 M .将点 M 的坐标代入抛物线方程，得 p210 p160，所以 p2 或(5p2， 4)p8，所以抛物线 C 的方程为 y24 x 或 y216 x，故选 C.(2)双曲线的右顶点为 A(a,0)，一条渐近线的方
38、程为 y x，即 bx ay0，则圆心 Aba到此渐近线的距离 d .又因为 MAN60，圆的半径为 b，所以|ba a0|b2 a2 abcbsin 60 ，即 ，所以 e .abc 3b2 abc 23 233答案 (1)C (2)233方法技巧1椭圆、双曲线的离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a， b， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a， c 代换，求 的值ca2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得 或 的值；利用渐近线方程设所求双曲线的方程ba ab演
39、练冲关201已知双曲线 C： 1( a0， b0)的两条渐近线的夹角为 60，则双曲线 C 的x2a2 y2b2离心率为( )A. B.2 3C. 或 D. 或 23233 233解析：选 D 两条渐近线的夹角为 60，且两条渐近线关于坐标轴对称， tan ba30 或 tan 60 .33 ba 3由 ，得 e21 ， e (舍负)；由 ，得ba 33 b2a2 c2 a2a2 13 233 ba 3 e213， e2(舍负)故选 D.b2a2 c2 a2a22(2017全国卷)设 A， B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若 C 上存在点 Mx23 y2m满足 AMB120，则 m 的取值
40、范围是( )A(0,19，) B(0， 9，)3C(0,14，) D(0， 4，)3解析：选 A 当 0 m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 0 m1.当 m3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在ab 3 3m 3点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.故 m 的取值范围为ab 3 m3 3(0,19，)3如图，抛物线 y24 x 的一条弦 AB 经过焦点 F，取线段 OB 的中点 D，延长 OA 至点 C，使| OA| AC|，过点 C， D 作 y 轴的垂线，垂足分别为点 E， G，则| EG
41、|的最小值为_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)，则y32 y1， y4 y2，| EG| y4 y3 y22 y1.因为 AB 为抛物线 y24 x 的焦点弦，所以12 12y1y24，所以| EG| y22 y2 2 4，当且仅当 y2 ，12 ( 4y2) 12 8y2 12y28y2 12 8y2即 y24 时取等号，所以| EG|的最小值为 4.答案：4考点(三)圆锥曲线与圆、直线的综合问题21主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合的问题.典例感悟典例 (1)已知直线 y kx t 与圆 x2( y1) 21
42、 相切且与抛物线 C： x24 y 交于不同的两点 M， N，则实数 t 的取值范围是( )A(，3)(0，) B(，2)(0，)C(3,0) D(2,0)(2)已知双曲线 C： mx2 ny21( mn0，解得 t0 或t0 时，由 mx2 ny21 得 1，则双曲线的焦点在 y 轴上，不y21nx2 1m妨设双曲线与圆相切的渐近线方程为 y x，即 ax by0，则圆心到直线的距离 dab1，即|3 a b| c，平方得 9a26 ab b2 c2 a2 b2，即 8a26 ab0，则|3a b|a2 b2b a，平方得 b2 a2 c2 a2，即 c2 a2，则 c a，离心率 e ；当 m0， n0， b0)的左、右焦点分别为 F1( c,0)， F2(c,0)， Px2a2 y2b2是双曲线 C 右支上一点，且| PF2| F1F2|，若直线 PF1与圆 x2 y2 a2相切，则双曲线的离心率为( )A. B.43 53C2 D3解析：选 B 取线段 PF1的中点为 A，连接 AF2，又| PF2| F1F2|，则AF2 PF1，直线 PF1与圆 x2 y2 a2相切，| AF2|2 a，| PF2| F1F2|2 c，| PF1|2 a2 c，| PA| |PF121| a c，则在 Rt APF2中，4 c2
