1、1课时跟踪检测（十四） 小题考法圆锥曲线的方程与性质A组107 提速练一、选择题1(2018浙江高考)双曲线 y21 的焦点坐标是( )x23A( ，0)，( ，0) B(2,0)，(2,0)2 2C(0， )，(0， ) D(0，2)，(0,2)2 2解析：选 B 双曲线方程为 y21，x23 a23， b21，且双曲线的焦点在 x轴上， c 2，a2 b2 3 1即得该双曲线的焦点坐标为(2,0)，(2,0)2双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率 e ，则它的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 132A y x B y x32 23C y x D y x94 49解析：选 A 由双
2、曲线 C： 1( a0， b0)的离心率 e ，可得x2a2 y2b2 132 ， 1 ，可得 ，故双曲线的渐近线方程为 y x.c2a2 134 b2a2 134 ba 32 323(2017全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且x2a2 y2b2以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C的离心率为( )A. B.63 33C. D.23 13解析：选 A 以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2 y2 a2，由圆心到直线bx ay2 ab0 的距离 d a，得 a23 b2，所以 C的离心率 e .2abb2 a2 1 b2a2
3、 634(2018温州适应性测试)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率 e(1,2，则y2a2 x2b2其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是( )A. B.(0，6 (0， 32C. D.6， 2) 3， 2)解析：选 C 因为双曲线 1( a0， b0)的离心率 e(1,2，所以 10， b0)经过第一、三象限的渐近线的方程为 y x，设其倾斜角为y2a2 x2b2 ab ，则 tan ，又 ，所以 ，故选 C.ab 33 (0， 2) 6， 2)5(2017全国卷)过抛物线 C： y24 x的焦点 F，且斜率为 的直线交 C于点 M(M3在 x轴的上方)， l为 C的准线，点
4、 N在 l上且 MN l，则 M到直线 NF的距离为( )A. B25 2C2 D33 3解析：选 C 由题意，得 F(1,0)，则直线 FM的方程是 y (x1)3由Error! 得 x 或 x3.13由 M在 x轴的上方，得 M(3,2 )，3由 MN l，得| MN| MF|314.又 NMF等于直线 FM的倾斜角，即 NMF60，因此 MNF是边长为 4的等边三角形，所以点 M到直线 NF的距离为 4 2 .32 36已知 F1， F2分别是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，若椭圆 C上存在点 Px2a2 y2b2使 F1PF2为钝角，则椭圆 C的离心率的取值范围是( )A. B
5、.(22， 1) (12， 1)C. D.(0，22) (0， 12)解析：选 A 法一：设 P(x0， y0)，由题意知| x0|x y ，即20 20c2(x y )min，又 y b2 x ，0 x b2，又 b2 a2 c2，所以 e2 ，解得 e ，又 0 ，又 00， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，点 M与双曲线 C的焦点不重合，点 M关于 F1， F2的对称点分别为 A， B，线段 MN的中点在双曲线的右支上，若| AN| BN|12，则 a( )A3 B4C5 D6解析：选 A 如图，设 MN的中点为 P. F1为 MA的中点， F2为 MB的中点，|
6、 AN|2| PF1|，| BN|2| PF2|，又|AN| BN|12，| PF1| PF2|62 a， a3.故选 A.9设 AB是椭圆的长轴，点 C在椭圆上，且 CBA ，若 AB4， BC ，则椭圆的4 2两个焦点之间的距离为( )A. B.463 263C. D.433 2334解析：选 A 不妨设椭圆的标准方程为 1( ab0)，如x2a2 y2b2图，由题意知，2 a4， a2， CBA ， BC ，点 C的坐4 2标为(1,1)，点 C在椭圆上， 1， b2 ，122 1b2 43 c2 a2 b24 ， c ，则椭圆的两个焦点之间的距离为 2c .43 83 263 4631
7、0过双曲线 1( a0， b0)的右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A， Bx2a2 y2b2两点，与双曲线的渐近线交于 C， D两点，若| AB| |CD|，则双曲线离心率 e的取值范围35为( )A. B.53， ) 54， )C. D.(1，53 (1， 54解析：选 B 将 x c代入 1 得 y ，不妨取 A ， B ，所以x2a2 y2b2 b2a (c， b2a) (c， b2a)|AB| .2b2a将 x c代入双曲线的渐近线方程 y x，得 y ，不妨取ba bcaC ， D ，所以 |CD| .(c，bca) (c， bca) 2bca因为| AB| |CD|，所以
8、，即 b c，则 b2 c2，即 c2 a2 c2，即35 2b2a 35 2bca 35 925 925c2 a2，所以 e2 ，所以 e ，故选 B.1625 2516 54二、填空题11过抛物线 y x2的焦点 F作一条倾斜角为 30的直线交抛物线于 A， B两点，则14|AB|_.解析：依题意，设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，题中的抛物线 x24 y的焦点坐标是F(0,1)，直线 AB的方程为 y x1，即 x (y1)由 Error!消去 x得 3(y1)33 324 y，即 3y210 y30， (10) 24330， y1 y2 ，则103|AB| AF| BF|
9、( y11)( y21) y1 y22 .1635答案：16312(2018浙江高考猜题卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率 e ，x2a2 y2b2 2若直线 l： y k(x2 018)与双曲线 C的右支有且仅有一个交点，则 a b_； k的取值范围是_解析：因为双曲线的离心率 e ，所以 ，从而可得 a b，即 a b0，2a2 b2a 2故双曲线的渐近线方程为 xy0，其斜率为1，易知直线 l必过定点(2 018,0)，且直线 l： y k(x2 018)与双曲线 C的右支有且仅有一个交点，所以由数形结合可知1 k1，即 k的取值范围是1,1答案：0 1,113已知椭圆
10、C： y21 的两焦点为 F1， F2，点 P(x0， y0)满足 00)上， F为抛物线的焦点，过 A作该抛物线准线的垂线，垂足为 E，则 p_， EAF的角平分线所在的直线方程为_解析：把 A(4,4)代入抛物线方程，得 p2.由抛物线的性质得| AE| AF|，连接 EF，则 EAF为等腰三角形设 EF的中点为 B，则直线 AB为 EAF的角平分线所在的直线由F(1,0)， E(1,4)，得 B(0,2)，则 kAB ，则直线 AB的方程为 y x2，故 EAF4 24 0 12 12的角平分线所在的直线方程为 x2 y40.答案：2 x2 y4015已知椭圆的方程为 1，过椭圆中心的直
11、线交椭圆于 A， B两点， F2是椭圆x29 y24的右焦点，则 ABF2的周长的最小值为_， ABF2的面积的最大值为_解析：设 F1是椭圆的左焦点如图，连接 AF1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知| AF2| BF2|2 a6，所以要使 ABF2的周长最小，必有| AB|2 b4，所以 ABF2的周长的最小值为10.S ABF2 S AF1F2 2c|yA| |yA|2 ，所以 ABF212 5 5面积的最大值为 2 .56答案：10 2 516已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， ABC的顶点都在抛物线上，且满足 0，则 _.PA FB FC 1kAB 1kAC 1kBC解析
12、：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， F ，由 ，得(p2， 0) PA FB FC ， y1 y2 y3 0.因为(x1p2， y1) (x2 p2， y2) (x3 p2， y3)kAB ， kAC ， kBC ，所以y2 y1x2 x1 2py1 y2 y3 y1x3 x1 2py1 y3 y3 y2x3 x2 2py2 y3 0.1kAB 1kAC 1kBC y1 y22p y3 y12p y2 y32p y1 y2 y3p答案：017如图，已知 F1， F2分别是双曲线 x2 1( b0)的左、右y2b2焦点，过点 F1的直线与圆 x2 y21 相切
13、于点 T，与双曲线的左、右两支分别交于 A， B，若| F2B| AB|，则 b的值是_解析：法一：因为| F2B| AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1| BF1| AB| BF1| BF2|2，连接 OT，在 Rt OTF1中，|OT|1，| OF1| c，| TF1| b，所以 cos F2F1A ，sin F2F1A ，所以 Abc 1c，将点 A的坐标代入双曲线得 1，化简得( c 2bc， 21c) ( c2 2b)2c2 4c2b2b64 b55 b44 b340，得( b22 b2)( b42 b33 b22 b2)0，而b42 b33 b22 b2 b2(b1) 2 b2
14、1( b1) 20，故 b22 b20，解得b1 (负值舍去)，即 b 1 .3 3法二：因为| F2B| AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1| BF1| AB| BF1| BF2|2，连接 AF2，则| AF2|2| AF1|4.连接 OT，在Rt OTF1中，| OT|1，| OF1| c，| TF1| b，所以 cos F2F1A .在 AF1F2中，由余弦定bc理得，cos F2F1A ，所以 c232 b，又在双曲线中，|F1F2|2 |AF1|2 |AF2|22|F1F2|AF1| c2 32cc21 b2，所以 b22 b20，解得 b1 (负值舍去)，即 b1 .3 3答
15、案：1 3B组能力小题保分练1双曲线 1( a， b0)的离心率为 ，左、右焦点分别为 F1， F2， P为双曲线x2a2 y2b2 3右支上一点， F1PF2的角平分线为 l，点 F1关于 l的对称点为 Q，| F2Q|2，则双曲线的7方程为( )A y21 B x2 1x22 y22C x2 1 D y21y23 x23解析：选 B F1PF2的角平分线为 l，点 F1关于 l的对称点为Q，| PF1| PQ|， P， F2，Q 三点共线，而| PF1| PF2|2 a，| PQ| PF2|2 a，即|F2Q|22 a，解得 a1.又 e ， c ， b2 c2 a22，双曲线的方程为ca
16、 3 3x2 1.故选 B.y222(2018浙江高考原创卷)已知椭圆 C： 1( a b0)的左焦点 F1关于直线x2a2 y2b2y c的对称点 Q在椭圆上，则椭圆的离心率是( )3A. 1 B.33 12C2 D.333解析：选 C 左焦点 F1关于直线 y c的对称点为 Q，| F1Q|2 c.3 3设椭圆的右焦点为 F2，则| F1F2|2 c.由椭圆定义知，| F2Q|2 a| F1Q|2 a2 c.3在 Rt F1QF2中，| F1F2|2| F1Q|2| F2Q|2，即(2 c)2(2 c)2(2 a2 c)2，3 3 c22 ac a20，故 e22 e10，3 3 e2 (
17、负值舍去)故选 C.33.过椭圆 C： 1( ab0)的左顶点 A且斜率为 k的直线交椭x2a2 y2b2圆 C于另一点 B，且点 B在 x轴上的射影恰好为右焦点 F.若 k ，则13 12椭圆 C的离心率的取值范围是( )A. B.(14， 34) (23， 1)C. D.(12， 23) (0， 12)解析：选 C 由题图可知，| AF| a c，| BF| ，于是 k .又a2 c2a |BF|AF| a2 c2a a ck ，所以 ，化简可得 1 e ，从而可得 e ，故选 C.13 12 13 a2 c2a a c 12 13 12 12 2384已知 F为抛物线 C： y24 x的
18、焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C交于 A， B两点，直线 l2与 C交于 D， E两点，则| AB| DE|的最小值为_解析：抛物线 C： y24 x的焦点为 F(1,0)，由题意可知 l1， l2的斜率存在且不为 0.不妨设直线 l1的斜率为 k，则 l1： y k(x1)， l2： y (x1)，1k由Error! 消去 y，得 k2x2(2 k24) x k20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2 2 ，2k2 4k2 4k2由抛物线的定义可知，|AB| x1 x222 24 .4k2 4k2同理得| DE|44 k2，| AB|
19、DE|4 44 k284 8816，当且仅当 k2，即4k2 (1k2 k2) 1k2k1 时取等号，故| AB| DE|的最小值为 16.答案：165已知抛物线 C： y24 x的焦点为 F，直线 y (x1)与 C交于 A， B(A在 x轴上方)两3点若 m ，则 m的值为_AF FB 解析：由题意知 F(1,0)，由Error!解得Error! Error!由 A在 x轴上方，知 A(3,2 )， B ，则 (2，2 )， 3 (13， 233) AF 3 FB ，因为 m ，所以 m3.(23， 233) AF FB 答案：36(2018浙江高考原创卷)已知双曲线 x2 1( b0)的右焦点为 F，过点 F作一y2b2条渐近线的垂线，垂足为 M.若点 M的纵坐标为 ，则双曲线的离心率是_255解析：点 M的纵坐标为 ，2559点 M在渐近线 y x上ba双曲线方程为 x2 1，y2b2 a1， F(c,0)，渐近线方程为 y bx.则| FM| ，|bc|1 b2 c2 a2 b21 b2，| FM| b. OMF为直角三角形， OM a.OF2 FM2 c2 b2 OMFM OFyM，即 cyM ab， c2y b2.2M yM ， b2 c2.255 45又 c2 a2 b2， a2 c2， e .15 5答案： 5
