1、117.1 勾股定理第 1 课时 勾股定理及其证明教学目标一、基本目标【知识与技能】1了解勾股定理的发现过程2掌握勾股定理的内容3会用面积法证明勾股定理【过程与方法】经历观察猜想归纳验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神二、重难点目标【教学重点】勾股定理的探究及证明【教学难点】掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读
2、】阅读教材 P22P24 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、 b，斜边长为 c，那么a2 b2 c2.2(1)教材 P23“探究” ，如图，每个方格的面积均为 1，请分别算出图中正方形A、 B、 C、 A、 B、 C的面积解： A 的面积4； B 的面积9； C 的面积5 24 (23)13；所以122A B C.A9； B25； C8 24 (53)34；所以 A B C.所以直角12三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方(2)阅读、理解教材 P23P24“赵爽弦图”证明勾股定理解：朱实 ab；黄实( a b)2；正方形的面积4 朱实
3、黄实( a b)122 ab4 a2 b22 ab2 ab a2 b2.又正方形的面积 c2，所以 a2 b2 c2，即直角三角12形两直角边的平方和等于第三边的平方环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】作 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、 b，斜边长为 c，再作三个边长分别为 a、 b、 c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形证明： a2 b2 c2.图 1 图 2【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是 a b，因此它们的面积相等我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理【证明】由图易知，这
4、两个正方形的边长都是 a b，它们的面积相等又左边的正方形面积可表示为 a2 b2 ab4，右边的正方形面积可表示为 c2 ab4， a2 b212 12ab4 c2 ab4， a2 b2 c2.12 12【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理【例 2】 已知在 Rt ABC 中， C90， a、 b 为两直角边， c 为斜边(1)若 a3， b4，则 c2_， c_；(2)若 a6， b8，则 c2_， c_；3(3)若 c41， a9，则 b_；(4)若 c17， b8，则 a_.【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解【分
5、析】(1) c2 a2 b23 24 225，则 c5.(2) c2 a2 b26 28 2100，则c10.(3) 因为 c2 a2 b2，所以 b 40.(4)因为 c2 a2 b2，所以c2 a2 412 92a 15.c2 b2 172 82【答案】(1)25 5 (2)100 10 (3)40 (4)15【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a、 b，斜边长为 c，那么 a2 b2 c2.a2 b2 c2的常用变形 b， a .c2 a2 c2 b2活动 2 巩固练习(学生独学)1在 ABC 中， C90.若 a5， b12
6、，则 c13；若 c41， a9，则 b40.2等腰 ABC 的腰长 AB10 cm，底 BC 为 16 cm，则底边上的高为 6_cm，面积为48_cm2.3已知在 ABC 中， C90， BC a， AC b， AB c.(1)若 a1， b2，求 c；(2)若 a15， c17，求 b.解：(1)根据勾股定理，得 c2 a2 b21 22 25. c0， c .5(2)根据勾股定理，得 b2 c2 a217 215 264. b0， b8.活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】在 ABC 中， AB20， AC15， AD 为 BC 边上的高，且 AD12，求 ABC 的周长【互动探索
7、】应考虑高 AD 在 ABC 内和 ABC 外的两种情形【解答】当高 AD 在 ABC 内部时，如图 1.在 Rt ABD 中，由勾股定理，得BD2 AB2 AD220 212 216 2， BD16.在 Rt ACD 中，由勾股定理，得CD2 AC2 AD215 212 281， CD9. BC BD CD25， ABC 的周长为25201560.当高 AD 在 ABC 外部时，如图 2.同理可得， BD16， CD9. BC BD CD7，ABC 的周长为 7201542.综上所述， ABC 的周长为 42 或 60.图 1 图 24【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构
8、造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况如在本例题中，易只考虑高 AD 在 ABC 内的情形，忽视高 AD 在 ABC外的情形环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、 b，斜边长为 c，那么 a2 b2 c2.练习设计请完成本课时对应练习！第 2 课时 勾股定理的应用教学目标一、基本目标【知识与技能】能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题【过程与方法】经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件【情感态度与价值观】培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情二、重难点目标【教学重点】勾股定理的简单应用【教
9、学难点】运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P25 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2在 ABC 中， C90.若 BC6， AB10，则 AC8.环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图，已知在 ABC 中， ACB90， AB5 cm， BC3 cm， CD AB 于点 D，求 CD 的长5【互动探索】(引发学生思考)观察图形：“多直角三角形嵌套”图形已知边长，求高CD 利用等面积法求解【解答】 ABC 是直角三角形，
10、ACB90， AB5 cm， BC3 cm，由勾股定理，得 AC 4 cm.AB2 BC2又 S ABC ABCD ACBC，12 12 CD (cm)ACBCAB 435 125【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式” ，它常与勾股定理联合使用【例 2】 如图，侦察员小王在距离东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 400 m,10 s 后，汽车与他相距 500 m，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？【互动探索】(引发学生思考)要求敌方汽车的速度
11、，需要算出 BC 的长在 Rt ABC 中利用勾股定理即可求得 BC.【解答】由勾股定理，得 AB2 BC2 AC2，即 5002 BC2400 2，所以 BC300 m.故敌方汽车 10 s 行驶了 300 m，所以它 1 h 行驶的距离为 300660108 000(m)，即敌方汽车的速度为 108 km/h.【互动总结】(学生总结，老师点评)用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解活动 2 巩固练习(学生独学)1等腰三角形的腰长为 13 cm，底边长为 10 cm，则它的面积为( D )A30 cm 2 B130 cm 2C120 cm 2 D60 cm 22直角
12、三角形两直角边长分别为 5 cm、12 cm，则斜边上的高为 cm.60133如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达地点 B 6200 m，结果他在水中实际游了 520 m，求该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得 AB 480(m)AC2 BC2 5202 2002即该河流的宽度为 480 m.活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图 1，长方体的高为 3 cm，底面是正方形，边长为 2 cm，现有绳子从 D 出发，沿长方体表面到达 B点，问绳子最短是多少厘米？图 1图 2图 3【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计
13、算并比较，得到的最短距离即为所求【解答】如图 2，由题易知， DD3 cm， B D224(cm)在 Rt DD B中，由勾股定理，得 B D2 DD 2 B D 23 24 225；如图 3，由题易知， B C2 cm， C D235 (cm)在 Rt DC B中，由勾股定理，得 B D2 B C 2 C D22 25 229.因为 2925，所以第一种情况绳子最短，最短为 5 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解环节 3 课堂小结，当堂达标7(学生总结，老师点评)勾股定理的简单运用：(1)由直角三角形的任意两边的长度
14、，可以应用勾股定理求出第三边的长度(2) 用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解练习设计请完成本课时对应练习！第 3 课时 利用勾股定理表示无理数教学目标一、基本目标 【知识与技能】进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法【过程与方法】通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力【情感态度与价值观】让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用二、重难点目标【教学重点】探究用勾股定理表示无理数的方法【教学难点】会用勾股定理表示无理数教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5
15、 min 阅读】阅读教材 P26P27 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2教材 P27，利用勾股定理在数轴上画出表示 ， ， ， ，的点1 2 3 43. 的线段是直角边为正整数 3,2 的直角三角形的斜边138环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( )A 1 B 15 5C 1 D5 5【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出 A 点的坐标【分析】图中的直角三角形的两直角边为 1 和 2
16、，斜边长为 ，1 到12 22 5A 的距离是 ，那么点 A 所表示的数为 1.故选 C5 5【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点 A 的位置，再根据 A 的位置来确定 a 的值活动 2 巩固练习(学生独学)1小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点 O，在数轴上的 2 个单位长度的位置找一个点 A，然后过点 A 作AB OA，且 AB3.以点 O 为圆心， OB 为半径作弧，设与数轴右侧交点为点 P，则点 P 的位置在数轴上( C )A1 和 2 之间 B2 和 3
17、 之间C3 和 4 之间 D4 和 5 之间2如图， OP1，过 P 作 PP1 OP 且 PP11，根据勾股定理，得 OP1 ；再过 P1作2P1P2 OP1且 P1P21，得 OP2 ；又过 P2作 P2P3 OP2且 P2P31，得 OP32；.依此继3续，得 OP2018 ， OPn (n 为自然数，且 n0) 2019 n 13利用如图 44 的方格，作出面积为 8 平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和 .8 89解：面积为 8 平方单位的正方形的边长为 ， 是直角边长为 2,2 的两个直角三角形8 8的斜边长，画图如下：活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 2】如图，正方形网格中
18、的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(1)在图 1 中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图 2 中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图 3 中，画一个正方形，使它的面积是 10.【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长 ，2 ， 的三角形；(3)画一2 2 10个边长为 的正方形即可10【解答】(1)直角三角形的三边分别为 3,4,5 ，如图 1.(2)直角三角形的三边分别为 ，2 ， ，如图 2.2 2 10(3)画一个边长为 的正方形，如图 3.10【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用勾股定理表示无理数练习设计请完成本课时对应练习！10
