1、117.2 勾股定理的逆定理教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念【过程与方法】经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理【情感态度与价值观】激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值二、重难点目标【教学重点】掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念【教学难点】利用勾股定理的逆定理解决问题教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P31P33 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a、 b，斜边为
2、 c，那么a2 b2 c2.(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a2 b2 c2；那么这个三角形是直角三角形2能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数3两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立4一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形(1)在 ABC 中， A20， B70；
3、(2)在 ABC 中， AC7， AB24， BC25；2(3) ABC 的三边长 a、 b、 c 满足( a b)(a b) c2.【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三角形呢？【解答】(1)在 ABC 中， A20， B70， C180 A B90，即 ABC 是直角三角形(2) AC2 AB27 224 2625， BC225 2625， AC2 AB2 BC2.根据勾股定理的逆定理可知， ABC 是直角三角形(3)( a b)(a b) c2， a2 b2 c2，即 a2 b2 c2.根据勾股定理的逆定理可知， ABC 是直角三角形【互动总结】(
4、学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余的三角形是直角三角形(即有一个角等于 90的三角形是直角三角形)；(2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的三边是否满足 a2 b2 c2(c 为最长边)【例 2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题的真假【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题如图，在 ABC 中， CD AB， BE
5、AC，且 CD BE. BC BC， CBD BCE(HL)， DBC ECB， ABC 为等腰三角形【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立【例 3】某港口位于东西方向的海岸线上 “远航”号“海天”号轮船同时离开港口，3各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16 海里， “海天”号每小时航行 12 海里它们离开港口 1.5 小时后相距 30 海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【互动探索】(引发学生思考)根据“路程速度时间”分别求得 PQ
6、、 PR 的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形 PQR 是直角三角形，从而求解【解答】根据题意，得 PQ161.524(海里)， PR121.518(海里)， QR30 海里24 218 230 2， PQ2 PR2 QR2， QPR90.由“远航”号沿东北方向航行可知， QPS45， SPR45，即“海天”号沿西北方向航行【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型活动 2 巩固练习(学生独学)1以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( C )A5,6,7
7、B10,8,4C7,25,24 D9,17,152下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)同旁内角相等，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等解：(1)“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立3古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 m 表示大于 1 的整数，a2 m， b m21， c m21，那么 a、 b、 c 为勾股数你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？4解：对因为 a2 b2(2 m)2( m21) 24
8、 m2 m42 m21 m42 m21( m21) 2，且c2( m21) 2，所以 a2 b2 c2，即 a、 b、 c 是勾股数m2 时，勾股数为 4、3、5； m3 时，勾股数为 6、8、10； m4 时，勾股数为8、15、17.4如图，已知在四边形 ABCD 中， A90， AB2 cm， AD cm， CD5 5cm， BC4 cm，求四边形 ABCD 的面积解：如图，连结 BD. A90， AB2 cm， AD cm，根据勾股定理，得 BD3 5cm.又 CD5 cm， BC4 cm， CD2 BC2 BD2， BCD 是直角三角形， CBD90， S 四边形 ABCD S ABD
9、 S BCD ABAD BCBD 2 43 cm2.12 12 12 5 12 (5 6)活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 4】在正方形 ABCD 中， F 是 CD 的中点， E 为 BC 上一点，且 CE CB，试判断 AF14与 EF 的位置关系，并说明理由【互动探索】观察图形，猜测 AF EF.证明 AEF 为直角三角形可得 AF EF.【解答】 AF EF.理由如下：设正方形的边长为 4a. F 是 CD 的中点， CE CB，14 EC a， BE3 a， CF DF2 a.在 Rt ABE 中，由勾股定理，得 AE2 AB2 BE216 a29 a225 a2.在 Rt CEF
10、 中，由勾股定理，得 EF2 CE2 CF2 a24 a25 a2.在 Rt ADF 中，由勾股定理，得 AF2 AD2 DF216 a24 a220 a2. AE2 EF2 AF2， AEF 为直角三角形，且 AE 为斜边 AFE90，5即 AF EF.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形2能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数3两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题练习设计请完成本课时对应练习！
