1、1圆锥曲线【2019 年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：| PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)(2)双曲线：| PF1| PF2|2 a(2a0， n0)x2m y2n双曲线方程可设为 1( mn0)x2m y2n这样可以避免讨论和烦琐的计算对于 1 和 1 来说，抓住 a、 b、 c 间的关系是关键.x2a2 y2b2 x2a2 y2b2【变式探究】(2017北京)若双曲线 x2 1 的离心率为 ，
2、则实数 m_.y2m 3答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a1， b2 m， c ，1 m故双曲线的离 心率 e ，ca 1 m 31 m3，解得 m2.2【变式探究】(2017全国)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 y x，且与椭x2a2 y2b2 52圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( )x212 y23A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23答案 B解析 由 y x，可得 .52 ba 52由椭圆 1 的焦点为(3,0)，(3,0)，x212 y23可得 a2 b29.由可得 a24， b25.所以
3、C 的方程为 1.x24 y25故选 B.【变式探究】(1)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点为 F1， F2，左、右顶点为 M， N，过 F2的直x2a2 y2b2线 l 交 C 于 A， B 两点(异于 M， N)， AF1B 的周长为 4 ，且直线 AM 与 AN 的斜率之积为 ，则 C 的方323程为( ) A. 1 B. 1x212 y28 x212 y24C. 1 D. y21x23 y22 x23答案 C解析 由 AF1B 的周长为 4 ，可知| AF1| AF2| BF1| BF2|4 a4 ，3 3解得 a ，则 M ， N( ，0)3 ( 3， 0) 3设点 A(x
4、0， y0)(x0 )，3由直线 AM 与 AN 的斜率之积为 ，23可得 ，y0x0 3 y0x0 3 23即 y (x 3)，2023 20又 1，所以 y b2 ，x203 y20b2 20 (1 x203)由解得 b22.3所以 C 的方程为 1.x23 y22(2)已知以圆 C：( x1) 2 y24 的圆心为焦点的抛物线 C1与圆 C 在第一象限交于 A 点， B 点是抛物线C2： x28 y 上任意一点， BM 与直线 y2 垂直，垂足为 M，则| BM| AB|的最大值为( )A 1 B2 C1 D8答案 A【感悟提升】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注
5、意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定【变式探究】(1)已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，以 F1， F2为直径的圆与双x2a2 y2b2曲线渐近线的一个交点为 ，则双曲线的方程为( )(3， 4)A. 1 B. 1x216 y29 x23 y24C. 1 D. 1x24 y23 x29 y216答案 D解析 点(3,4)在以| F1F2|为直径的圆上， c5，可得 a2 b225.又点(3,4)在双曲线的渐近线 y x 上，ba .ba 43联立，解得 a3 且 b4，可得双
6、曲线的方程 为 1.x29 y2164(2)如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B，交其准线于点 C，若|BC|2| BF|，且| AF|3，则此抛物线方程为( )A y29 x B y26 xC y 23 x D y2 x3答案 C解析 如图分别过点 A， B 作准线的垂线，分别交准线于点 E， D，设准线交 x 轴于点 G.设 a，则由已知得 2 a，|BF| |BC|由抛物线定义，得 a，故 BCD30，|BD|在 Rt ACE 中， | AF|3， 33 a，| AC|2| AE|，|AE| |AC|33 a6，从而得 a1， 3 a3.|F
7、C| p ，|FG|12|FC| 32因此抛物线方程为 y23 x，故选 C.题型二 圆锥曲线的几何性质 例 2、 (2018北京)已知椭圆 M： 1( ab0)，双曲线 N： 1.若双曲线 N 的两条渐近线与x2a2 y2b2 x2m2 y2n2椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线N 的离心率为_答案 1 23解析 方法一 双曲线 N 的渐近线方程为 y x，则 tan 60 ，双曲线 N 的离心率 e1满足nm nm 35e 1 4， e12.21n2m2由Error!得 x2 .a2b23a2 b2如图，设 D 点的横坐标为
8、x，由正六边形的性质得| ED|2 x c，4 x2 c2. a2 b2，得 3a46 a2b2 b40，4a2b23a2 b23 20，解得 2 3.6b2a2 (b2a2) b2a2 3椭圆 M 的离心率 e2满足 e 1 42 .2b2a2 3 e2 1.3方法二 双曲线 N 的渐近线方程为 y x，nm则 tan 60 .nm 3又 c1 2 m，双曲线 N 的离心率为 2.m2 n2c1m如图，连接 EC，由题意知， F， C 为椭圆 M 的两焦点，设正六边形的边长为 1，则| FC|2 c22，即 c21.又 E 为椭圆 M 上一点，则| EF| EC|2 a，即 1 2 a，3
9、a .1 32椭圆 M 的离心率为 1.c2a 21 3 3【变式探究】(2018全国)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线与 C 交于23M， N 两点，则 等于( ) FM FN A5 B6 C7 D8答案 D6【变式探究】(2018全国)已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与x23C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 OMN 为直角三角形，则| MN|等于( )A. B3 C2 D432 3答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线的夹角为 2 ，则有 tan ，13 33
10、所以 30.所以 MON2 60.又 OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN ON，如图所示在 Rt ONF 中，| OF|2，则| ON| .3则在 Rt OMN 中，| MN| ON|tan 2 tan 603.3故选 B.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧71求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系2解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a， b， c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a， b，
11、c 的关系消掉 b 得到 a， c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(2017全国)若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被圆( x2) 2 y24 所截得x2a2 y2b2的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为_答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y x，ba圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2，得圆心到渐近线的距离为 .22 12 3由点到直线 的距离公式，得 ，解得 b23 a2.所以双曲线 C 的离心率|2b|a2 b2 3e 2.ca c2a2 1 b2a2【变式探究】(1)设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( a
12、b0)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于x2a2 y2b2A， B 两点，若 AF1F2的面积是 BF1F2面积的三倍，cos AF2B ，则椭圆 E 的离心率为( )35A. B. C. D.12 23 32 22答案 D解析 设| F1B| k ，(k0)依题意可得| AF1|3 k，| AB|4 k，| AF2|2 a3 k，| BF2|2 a k.cos AF2B ，35在 ABF2中，由余弦定理可得|AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)，65化简可得( a k)
13、(a3 k)0，而 a k0，故 a3 k0， a3 k，8| AF2| AF1|3 k，| BF2|5 k，| BF2|2| AF2|2| AB|2， AF1 AF2， AF1F2是等腰直角三角形 c a，椭圆的离心率 e .22 ca 22(2)已知双曲线 M： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， 2 c.若双曲线 M 的右支上存x2a2 y2b2 |F1F2|在点 P，使 ，则双曲线 M 的离心率的取值范围为( )asin PF1F2 3csin PF2F1A. B. (1，2 73 ) (1， 2 73 C(1,2) D.(1， 2答案 A解析 根据正弦定理可知 ，
14、sin PF1F2sin PF2F1 |PF2|PF1|所以 ，即| PF2| |PF1|，|PF2|PF1| a3c a3c2 a，|PF1| |PF2|所以 2 a，解得 ，(1a3c)|PF1| |PF1| 6ac3c a而 a c，即 a c，|PF1|6ac3c a整理得 3e24 e11，所以 1b0)的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，x2a2 y2b2点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，则 C 的离心率为( )36A. B. C. D.23 12 13 14答案 D解析 如图，作 PB x 轴于点 B.9由题意可设| F1F2|
15、 PF2|2，则 c1，由 F1F2P120，可得| PB| ，| BF2|1，3故| AB| a11 a2，tan PAB ，|PB|AB| 3a 2 36解得 a4，所以 e .ca 14故选 D.(2)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 2c，直线 l 过点 且与双曲线 C 的一条渐近线垂x2a2 y2b2 (23a， 0)直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M， N 两点，若| MN| c，则双曲线4 23C 的渐近线方程为( )A y x B y x2 3C y2 x D y4 x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为 y x，ba则
16、直线 l 的斜率 kl ，ab直线 l 的方程为 y ，ab(x 23a)整理可得 ax by a20.23焦点( c,0)到直线 l 的距离 d ，|ac 23a2|a2 b2 |ac 23a2|c则弦长为 2 2 c，c2 d2c2 (ac23a2)2c2 4 2310整理可得 c49 a2c212 a3c4 a40，即 e49 e212 e40，分解因式得 0.(e 1)(e 2)(e2 3e 2)又双曲线的离心率 e1，则 e 2，ca所以 ，ba c2 a2a2 (ca)2 1 3所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x.3方法二 圆心到直线 l 的距离为 ，c2 (2 23c)2 c
17、3 ，|ac 23a2|c c3 c23 ac2 a20， c2 a， b a，3渐近线方程为 y x.3题型三 直线与圆锥曲线例 3、(2018全国)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.11设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error!或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216
18、 或( x11) 2( y6) 2144.【变式探究】(2018天津)设椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ，x2a2 y2b2 53点 A 的坐标为( b,0)，且| FB|AB|6 .2(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l： y kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若 sin AOQ(O 为原点)，求 k 的值|AQ|PQ| 5 24解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，c2a2 59又由 a2 b2 c2，可得 2a3 b.由已知可得| FB| a，| AB| b，2由| FB|AB|6 ，可得 ab6，从而
19、 a3， b2.2所以椭圆的方程为 1.x29 y24(2)设点 P 的坐标为( x1， y1)，点 Q 的坐标为( x2， y2)由已知有 y1y20，故| PQ|sin AOQ y1 y2.又因为| AQ| ，而 OAB ，y2sin OAB 4所以| AQ| y2.2由 sin AOQ，可得 5y19 y2.|AQ|PQ| 5 24由方程组Error!消去 x，可得 y1 .6k9k2 4由题意求得直线 AB 的方程为 x y 20，由方程组Error!消去 x，可得 y2 .2kk 1由 5y19 y2，可得 5(k1)3 ，两边平方，9k2 4整理得 56k250 k110，解得 k
20、 或 k . 12 1128所以 k 的值为 或 .12 1128【变式探究】2018全国卷设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线与 C 交于2312M， N 两点，则 ( )FM FN A5 B6C7 D8【解析】由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error!或Error!不妨设 M 为(1,2)， N 为(4,4)又抛物线焦点为 F(1,0)， (0,2)， (3,4)FM FN 03248.FM FN 故选 D.【答案】D【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1通法：将直线 l 的方程 A
21、x By C0( A， B 不同时为 0)代入双曲线 E 的方程 F(x， y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元二次方程解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题2点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即 0.【变式探究】(2017天津)已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F( c,0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为x2a2 y2b2(0， c)， EFA 的面积为 .b22(1)求椭圆的离心率； (2
22、)设点 Q 在线段 AE 上，| FQ| ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M， N 在 x 轴上， PM QN，且直线 PM3c2与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c.求直线 FP 的斜率；求椭圆的方程解 (1)设椭圆的离心率为 e.由已知可得 (c a)c .12 b22又由 b2 a2 c2，可得 2c2 ac a20，13即 2e2 e10，解得 e1 或 e .12又因为 00)，则直线 FP 的斜率为 .1m由(1)知 a2 c，可得直线 AE 的方程为 1，x2c yc即 x2 y2 c0，与直线 FP 的方程联立，可得 x ， y ， 2m 2
23、cm 2 3cm 2即点 Q 的坐标为 .( 2m 2 cm 2 ， 3cm 2)由已知| FQ| ，3c2有 2 2 2， 2m 2 cm 2 c (3cm 2) (3c2)整理得 3m24 m0，所以 m (m0 舍去)，43即直线 FP 的斜率为 .34由 a2 c，可得 b c，3故椭圆方程可以表示为 1.x24c2 y23c2由得直线 FP 的方程为 3x4 y3 c0，与椭圆方程联立得Error!消去 y，整理得 7x26 cx13 c20，解得 x (舍去)或 x c.因此可得点 P ， 13c7 (c， 3c2)进而可得| FP| ， c c 2 (3c2)2 5c2所以| P
24、Q| FP| FQ| c.5c2 3c2由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为 QN FP，所以| QN| FQ|tan QFN ，3c2 34 9c8所以 FQN 的面积为 |FQ|QN| .12 27c23214同理 FPM 的面积等于 .75c232由四边形 PQNM 的面积为 3c，得 3 c，75c232 27c232整理得 c22 c.又由 c0，得 c2.所以椭圆的方程为 1.x216 y212【变式探究】已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线交椭圆于 A， B 两点
25、x2a2 y2b2(1)若直线 AB 与椭圆的长轴垂直，| AB| a，求椭圆的离心率；12(2)若直线 AB 的斜率为 1，| AB| ，求椭圆的短轴与长轴的比值2a3a2 b2解 (1)由题意可知，直线 AB 的方程为 x c，| AB| a，2b2a 12即 a24 b2，故 e .ca a2 b2a2 1 b2a2 32(2)设 F1( c,0)，则直线 AB 的方程为 y x c，联立Error!消去 y，得( a2 b2)x22 a2cx a2c2 a2b20， 4 a4c24 a2(a2 b2)(c2 b2)8 a2b4.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x
26、2 ， x1x2 ，2a2ca2 b2 a2 c2 b2a2 b2| AB| |x1 x2|1 1 2 x1 x2 2 4x1x2 28a2b4a2 b2 ，4ab2a2 b2 2a3a2 b2 a22 b2， ，b2a2 12 ，即椭圆的短轴与长轴之比为 .2b2a 22 22【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解【变式探究】如图，过抛物线 M： y x2上一点 A(点 A 不与原点 O 重合)作抛物线 M 的切线 AB 交 y 轴于点15B，点 C 是抛物线 M 上异于点 A 的点，设
27、 G 为 ABC 的重心(三条中线的交点)，直线 CG 交 y 轴于点 D.设点A(x0， x )(x00)20(1)求直线 AB 的方程；(2)求 的值|OB|OD|解 (1)因为 y2 x，所以直线 AB 的斜率 k y2 x0.所以直线 AB 的方程 y x 2 x0(x x0)，20即 y2 x0x x ，20即直线 AB 的方程为 2x0x y x 0.20因为 G 为 ABC 的重心，所以 y13 y2.由根与系数的关系，得 y1 y24 y2 ，1 mx0m2y1y23 y .2x204m2所以 ， 1 mx0 216m4 x2012m216解得 mx032 ，满足 0.3所以点 D 的纵坐标 yD ，x02m x2064 3故 4 6.|OB|OD| |yB|yD| 3
