1、1第 2讲 综合大题部分1已知 a为实数，函数 f(x) aln x x24 x.(1)是否存在实数 a，使得 f(x)在 x1 处取得极值？证明你的结论；(2)设 g(x)( a2) x，若 x0 ，使得 f(x0) g(x0)成立，求实数 a的取值范1e， e围解析：(1)函数 f(x)定义域为(0，)， f( x) 2 x4 .ax 2x2 4x ax假设存在实数 a，使 f(x)在 x1 处取极值，则 f(1)0， a2，此时， f( x) ，当 x0 时， f( x)0 恒成立，2 x 1 2x f(x)在(0，)上单调递增， x1 不是 f(x)的极值点故不存在实数 a，使得 f(
2、x)在 x1 处取得极值(2)由 f(x0) g(x0)，得( x0ln x0)a x 2 x0，20记 F(x) xln x(x0)， F( x) (x0)，x 1x当 0 x1 时， F( x)0， F(x)单调递减；当 x1 时， F( x)0， F(x)单调递增 F(x) F(1)10， a ，x20 2x0x0 ln x0记 G(x) ， x ，x2 2xx ln x 1e， e G( x) 2x 2 x ln x x 2 x 1 x ln x 2 . x 1 x 2ln x 2 x ln x 2 x ，1e， e22ln x2(1ln x)0， x2ln x20， x 时， G(
3、x)0， G(x)单调递减；(1e， 1)2x(1，e)时， G( x)0， G(x)单调递增， G(x)min G(1)1， a G(x)min1.故实数 a的取值范围为 . 1， )2(2018厦门质检)已知函数 f(x)( ax2 x a)e x(aR)(1)若 a0，函数 f(x)的极大值为 ，求实数 a的值；3e(2)若对任意的 a0， f(x) bln(x1)在 x0，)上恒成立，求实数 b的取值范围解析：(1)由题意， f( x)(2 ax1)e x( ax2 x a)e xe xax2(12 a)x a1e x(x1)( ax1 a)当 a0 时， f( x)e x(x1)，令
4、 f( x)0，得 x1，所以 f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以 f(x)的极大值为 f(1) ，不合题意1e 3e当 a0时，1 0，得 1 1，1a所以 f(x)在(1 ，1)上单调递增，在(，1 )，(1，)上单调递减1a 1a所以 f(x)的极大值为 f(1) ，得 a1.2a 1e 3e综上所述， a1.(2)令 g(a)e x(x2 x)a xe x， a(，0，当 x0，)时，e x(x2 x)0，则 g(a) bln(x1)对 a( ，0恒成立等价于 g(a) g(0) bln(x1)，即 xe x bln(x1)，对 x0，)恒成立当 b0 时， x(0
5、，) ， bln(x1)0，此时 xe xbln(x1)，不合题意当 b0时，令 h(x) bln(x1) xe x， x0，)，则 h( x) (e x xe x) ，bx 1 bex x2 1 x 1 ex其中( x1)e x0， x0， )，3令 p(x) bex x21， x0，)，则 h(x)在区间0，)上单调递增，a b1 时， p(x) p(0) b10，所以对 x0，)， h( x)0，从而 h(x)在0，)上单调递增，所以对 x0，)， h(x) h(0)0，即不等式 bln(x1) xe x在0，)上恒成立b00及 p(x)在区间0，)上单调递增，所以存在唯一的 x0(0,
6、1)使得 p(x0)0，且 x(0， x0)时， p(x0)0且关于 x的方程 f(x) m有两个解 x1， x2(x12a.解析：(1)易知 x0，f( x) ，a2x x2 a2 x 2a x a2x若 a0，当 x(0， a)时， f( x)0，函数 f(x)在( a，)上单调递增若 a0， f( x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，函数 f(x)在(2 a，)上单调递增综上，当 a0时，函数 f(x)在(0， a)上单调递减，在( a，)上单调递增；当 a0 时， f(x)在(0，)上单调递增；当 a0,0F(a) a2ln 2 a22 a20，2a aa所以，当 00
7、，即 f(x)f(2a x)由(1)知 a0时，函数 f(x)在(0， a)上单调递减，在( a，)上单调递增所以 0a.所以 f(x2) f(x1)f(2a x1)，所以 x22a x1，所以 x1 x22a.4(2018高考北京卷)设函数 f(x) ax2(4 a1) x4 a3e x.(1)若曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线与 x轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a的取值范围解析：(1)因为 f(x) ax2(4 a1) x4 a3e x，所以 f( x) ax2(2 a1) x2e x.所以 f(1)(1 a)e.由题设知 f(1)0，即(1 a)e0，解得 a1.此时 f(1)3e0.所以 a的值为 1.(2)由(1)得 f( x) ax2(2 a1) x2e x( ax1)( x2)e x.若 a ，则当 x( ，2)时， f( x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值若 a ，则当 x(0,2)时， x20.所以 2不是 f(x)的极小值点综上可知， a的取值范围是( ，)125
