1、1玉溪一中 2018-2019 学年高二上学期期末考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 A ，则下列关系错误的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】集合与集合的关系不能是 ，得出答案.【详解】A、B、C 显然正确，空集与集合的关系不能是 ，D 错误故选 D.【点睛】本题考查了元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题.2.下列命题中，真命题是（ ）A. B. C. 的充要条件是 D. 是 的充分条件【答案】D【解析】A：根据指数函数的性质可知 恒成立，所以 A 错
2、误ex 0B：当 时， ，所以 B 错误x=1 21 12 (1)2 1C：若 时，满足 ，但 不成立，所以 C 错误a=b=0 a+b=0ab=1，D： 则 ，由充分必要条件的定义， ，是 的充分条a 1， b 1， ab 1 a 1， b 1， ab 1件，则 D 正确故选 D【此处有视频，请去附件查看】3.若函数 ，在 处取最小值， 则 f(x)=x+1x2(x2) x=a a=(2A. B. C. 3 D. 41+ 2 1+ 3【答案】C【解析】当 x2 时,x-20,f(x)=x-2+ +22 +2=4,1x2 (x2) 1(x2)当且仅当 x-2= (x2),即 x=3 时取等号,
3、1x2即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3.故选 C.【此处有视频，请去附件查看】4.设函数 与 的图象的交点为 ，则 所在的区间是（ ）y=x3 y=(12)x2 (x0,y0) x0A. B. (0,1) (1,2)C. D. (2,3) (3,4)【答案】B【解析】试题分析：因为根据题意可知,当 x=1 时，则 ,而当 x=2 时，则y=x3=1y=(12)x2=(12)0=1交点在该区间取得，故选 B.考点：本题主要考查了函数图像与图像的交点问题的运用，确定零点问题。点评：解决该试题的关键是根据函数的图像与图像的位置关系来判定交点的位置，也可以通过求解各个区间的左右端点值，是
4、否是满足图像出现交的情况即可。5.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 33A. B. C. D. 4+23 4+32 6+23 6+32【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V 三棱柱 +V 半圆柱 = 223+ 1 23=（6+1.5）cm 312故答案为：6+1.5点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可6.如果直线 与直线 互相垂直，那么的值等于( )ax+3y+1=0 2x+2y3=0A. B. C. 3 D. 3 13 13
5、【答案】A【解析】【分析】据两直线垂直，斜率互为负倒数，求得 a.【详解】直线 与直线 垂直，ax+3y+1=0 2x+2y-3=0斜率之积等于1， ， a ，故选 A.a-3 2-2=-1 -3【点睛】本题考查了两直线的垂直位置关系，属于基础题.两直线平行，斜率相等，截距不相等；两直线垂直（斜率都存在） ，斜率互为负倒数，或是一个斜率为 0，另一个斜率不存在.7.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。程序框图如图所示，若输入 的值a,n,分别为 8，2，0.5， （运算结果精确到小数点后两位） ，则输出结果为
6、（ ）4A. B. C. D. 2.81 2.82 2.83 2.84【答案】D【解析】由算法流程图中提供的算法程序可以看出：当输入 时，a=8,n=2,=0.5，程序继续进行，此时m=an=4,n=m+n2 =4+22=3,|mn|=10.5，运算程序结束，输出 ，m=an=83,n=83+32=8+96=176,|mn|=160,b0) 60o的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. (1,2 (1,2) 2,+) (2,+)【答案】C【解析】试题分析：已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线x2a2y2b2=1(a0,b0)与
7、双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，ba63，离心率 e2= 4，e2，故选 Cba c2a2 a2+b2a2考点：双曲线的简单性质12.已知 P 为曲线 上的一点， M， N 分别为圆( x3) 2 y21 和(x+3)2+y2+ (x3)2+y2=10圆( x 3)2 y2 4 上的点，则| PM | PN |的最小值为( )A. 5 B. 7 C. 13 D. 15【答案】B【解析】【分析】根据题意，点 P 的轨迹方程式是椭圆，而且椭圆的焦点恰好是圆 M、N 的圆心，再根据椭圆的定义与圆的有关性质得出结果.【详解】根据椭圆的定义知曲线 是以（3,0
8、）和（-3,0）为(x+3)2+y2+ (x-3)2+y2=10焦点，2a=10 的椭圆， M， N 分别为圆( x3) 2 y21 和圆( x 3)2 y24，所以圆心 M（-3,0） 、N（3,0） ，半径分别为 1 和 2，易知椭圆的两个焦点 F1， F2分别是两圆的圆心，且|PF1| PF2|10，从而| PM| PN|的最小值为| PF1| PF2| 1 27.- -故选 B.【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质以及和圆有关的综合知识，注意认真审题，仔细解答和公式的合理运用，属于基础题.第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填
9、在题中的横线上.13.设 ， 为单位向量， 且 ， 的夹角为 ，若 ， ，则向量在 方向上e1 e2 e1 e23 a=e1+3e2 b=2e1 b的投影为_【答案】52【解析】【分析】根据向量在向量 上的投影为 ，然后分别算出 和 ，代入求得结果.bab|b| ab |b|【详解】由于 ， ，a=e1+3e2 b=2e17所以 ， ，|b|=2 ab=2e12+6e1e2=2+612=5所以向量在 方向上的投影为 .b|a|cos=ab|b|=52故答案为52【点睛】本题考查了向量的基本运算和向量数量积的几何意义，熟练运用公式是解题的关键，属于基础题.14.我国古代数学名著九章算术中割圆术有
10、：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值 x. 这可以通过2+ 2+ 2+222 方程 确定 x2，则 _.2+x=x1+ 11+11+=【答案】1+52【解析】【分析】根据题目已知的例子，令 ,即 ，求得结果.1+ 11+11+=x 1+1x=x【详解】由题意，可令 ，即 ，即 x2 x 10，1+ 11+11+=x 1+1x=x - -解得 ，故 .x=1+52 1+ 11+11+= 1+52【点睛】本题主要考查的是类比推理，读懂题目中整体代换的方法，理解其解答过程是解题的
11、关键，属于基础题.15.如果直线 与曲线 有两个公共点, 那么 的取值范围是l:x+yb=0 C:y= 1x2 b_【答案】 1, 2)【解析】【分析】曲线 C 表示以原点为圆心，1 为半径的半圆，根据图形得出直线 l 与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线 l 与圆相切时；一是直线 l 过（1，0）时，分别求出 b 的值，即可确定出 b 的范围【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示：8当直线 l 与圆相切时，圆心（0，0）到 y=x+b 的距离 d=r=1，即 ，解得：b= 或 b= （舍去） |b|2=1 2 2当直线 l 过（1，0）时，将（1，0）代入 y=x+b 中，求得：b
12、=1，则直线 l 与曲线 C 有两个公共点时 b 的范围为 1b ，2故答案为： . 1, 2)【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.16.已知函数 f(x)，任意 x1， x2 (x1 x2)，给出下列结论：(2,2) f (x) f (x)； f ( x) f (x)； f (0)1； ； .f(x1)f(x2)x1x20 f(
13、x1+x22)f(x12)+f(x22)当 f (x)tan x 时，正确结论的序号为_【答案】【解析】【分析】根据正切函数的图像与性质，判断出正误即可.【详解】由于 f(x)tan x 的周期为 ，故正确；函数 f(x)tan x 为奇函数，故不正确； f(0)tan00，故不正确；表明函数为增函数，而 f(x)tan x 为区间 上的(-2,2)9增函数，故正确；由函数 f(x)tan x 的图象可知，函数在区间 上有(-2,0)，在区间 上有 ，故 不正确f(x1+x22)f(x12)+f(x22) (0,2) f(x1+x22)=nv|n|v|=55 C-BF-A 55（3）线段 上不
14、存在点 ，使得 平面 ，理由如下：CE G AG BCF解法一：设平面 的法向量为 ，ACE m=(x1,y1,z1)则 即mAC=0mAE=0 2x1+2y1=0,3y1+ 3z1=0. 令 ，则 ， ，所以 因为 ，y1=1 x1=-1 z1=- 3 m=(-1,1,- 3) mn0所以平面 与平面 不可能垂直，ACE BCF从而线段 上不存在点 ，使得 平面 CE G AG BCF解法二：线段 上不存在点 ，使得 平面 ，理由如下：CE G AG BCF假设线段 上存在点 ，使得 平面 ，设 ，其中 CE G AG BCFCG=CE 0, 1设 ，则有 ，G( x2, y2, z2 )
15、( x2-2, y2-2, z2)=(-2, 3)所以 ， ， ，从而 ， x2=2-2 y2=2+ z2= 3 G( 2-2, 2+, 3 )所以 AG=(2-2,2+, 3)因为 平面 ，所以 所以有 ，AG BCF AG / n2-21 =2+1=33因为上述方程组无解，所以假设不成立所以线段 上不存在点 ，使得 平面 CE G AG BCF【点睛】本题目主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量求二面角和线面垂直的方法，解题的关键是在于平面的法向量的求法，运算量较大，属于中档题.19. 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：1250，60)，
16、60，70)，70，80)，80，90)，90，100(1) 求图中 a 的值；(2) 根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；(3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50，90)之外的人数.分数段 50，60) 60，70) 70，80) 80，90)xy 11 21 34 45【答案】 （） （）73 （）有 10 人a=0.005【解析】试题分析：（1）每一个小矩形的面积是该组的频率，频率和等于 1，列式求；（2）用每个小矩形的底边中点乘以该组的频率之后就是平均分；（3）首先计算语文成绩分别
17、在四个小组的人数，对比 可求数学成绩的人数，这样就可得到所有数学成绩落在 的人数，x:y 50,90)再用 100 减，可得结果. 试题解析：（1）由 ,解得 . (2a+0.02+0.03+0.04)10=1 a=0.005（2） . 0.0555+0.465+0.375+0.285+0.0595=73（3）这 100 位学生语文成绩在 、 、 、 的分别有 5 人、40 人、3050,60) 60,70) 70,80) 80,90)人、20 人,按照表中所给比例,数学成绩在 、 、 、 的分别有 5 人、50,60) 60,70) 70,80) 80,90)20 人、40 人、25 人，共
18、 90 人，所以数学成绩在 之外的人数有 10 人. 50,90)【点睛】本题考查了频率分布直方图，频率分布直方图的高不表示频率，而是面积表示频率，样本容量 频率=频数，每一组的频率和等于 1，以及根据频率分布直方图求众数，中位数和平均数，众数是最高组的底边中点，中位数的两边的频率都是 ，平均数是每一组0.513的底边中点乘以该组的频率的和，这是处理这类问题使用到的知识.20.定义在 D 上的函数 ，如果满足：对任意 x D，存在常数 M，都有 M 成立，则称f(x) f(x)是 D 上的有下界函数，其中 M 称为函数 的一个下界已知函数 f(x) f(x) f(x)=exa+aex(a0)（
19、1）若函数 为偶函数，求 a 的值；f(x)（2）求函数 在 上所有下界构成的集合f(x) lna,+)【答案】 （1）1（2） (,2【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义，求得 a 的值；（2）利用函数单调性的定义，判断出函数 在 的单调性，求得最小值，最后得f(x) lna,+)出结果.【详解】解：（1）函数 是 R 上的偶函数，f(x)=exa+aex(a0)，即 在 R 恒成立，f(-x)=f(x)1a(ex-e-x)=a(1e-x-1ex)=a(ex-e-x)，解得 a=1（a0） ，1a=a（2）在 上任取 x1， x2，且 x1 x2，则lna,+)f(x1)-f(x2)=1a
20、(ex1-ex2)-aex1-ex2ex1ex2=(ex1-ex2)ex1+x2-a2aex1+x2y=ex是增函数， ， ， lnax12lna2， ，ex1+x2elna2=a2 ex1+x2-a20又 ，aex1+x20 f(x1)-f(x2)0)，准线方程为 ，y=-1则 p2，故抛物线的方程为 x24 y.(2)证明：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)过点 A 的切线方程为 x1x2 y2 y1，过点 B 的切线方程为 x2x2 y2 y2.两切线都过点 M，所以有 故过点 M 的直线为 x0x2 y02 y.x1x0=2y0+2y1x2x0=2y0
21、+2y2 又因为直线 l 过点(1，2)，所以有 x02 y04.所以点 M 在定直线 x2 y4 上(3)解：只需要将定直线 x2 y4 平移与抛物线相切，求出切点坐标由 x24 y，得 y x2.由 y x ，14 12 12可得 x1，代入 x24 y，得 y ，切点为(1， .所以所求距离14 14).d=1-214-412+(-2)2=7510【点睛】本题目主要考查了抛物线的性质和切线的问题，解题关键是抛物线的切线的求法，15属于中档题.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，xOy C1 x= 3cosy=sin 以 轴正半轴为极轴，建立极坐标
22、系，曲线 的极坐标方程为 .x C2 sin(+4)=22（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；C1 C2（2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值以及此时 的直角坐标.P C1 Q C2 |PQ| P【答案】 （1） ： ， ： ；（2） ，此时 .C1x23+y2=1 C2 x+y4=0 |PQ|min= 2 P(32,12)【解析】试题分析：（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（2）由题意，C1x23+y2=1 C2 x+y4=0可设点 的直角坐标为 到 的距离P ( 3cos,sin)P C2 d()=|3cos+sin4|2 = 2|sin(+3)2|当且仅当 时，
23、取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 . =2k+6(kZ) d() 2 P (32,12)试题解析： （1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 .C1x23+y2=1 C2 x+y4=0（2）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值即为P ( 3cos,sin) C2 |PQ|到 的距离 的最小值， .P C2 d() d()=|3cos+sin4|2 = 2|sin(+3)2|当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 .=2k+6(kZ) d() 2 P (32,12)考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键：C F(x,y)=0一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性注意方程中的参数的变化范围【此处有视频，请去附件查看】1617
