1、- 1 -惠州市 2019 届高三第三次调研考试文科数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）2|Ax|BxABA B C D |1|2x|0|2x（2）
2、要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ） sin43ysin4yA向左平移 个单位 B向右平移 个单位1212C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 33（3）若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）xy104xy2zxyA 2 B 6 C 7 D 8（4）已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，C210,)xyab( 13yx则双曲线 的离心率等于（ ）A B C D22310103- 2 -（5）已知函数 是奇函数，若 ，4()2xaf(21)(2)0fmf则 的取值范围是（ ）mA B C D111（6）已知 ， ，则 （ ）(0,)20cossin2coA B C D13113
3、12（7）如图所示， ABC 中， ，点 E 是线段 AD 的中点，则 （ ）2D ACA B 142E4AC D55E（8）已知函数 ，则函数 的大致图象为（ ）2ln|()xf()yfxA B C D（9）已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，(2,0)P2xy其斜率 的取值范围为（ ）kA BC D (,)(,)2(,)41(,)8（10）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为（ ）A. 192 B. 186
4、C. 180 D. 198BDE正视图 侧视图俯视图633222xyOxyOxyOxyO- 3 -（11）直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 , 两点，若线段 的长分l24yxFAB,AFB别为 ，则 的最小值是（ ）,mnA.10 B9 C8 D7（12）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时，()fxR(2)fxf2,0x若在区间 内关于 的方程 且21,6()log)af(有且只有 4 个不同的根，则实数 的取值范围是（ ）)aaA B C D,(,)(1,8)(,)二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. （13）从 3 男 3 女共 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选
5、中的机会相等） ，则 2 名都是女同学的概率等于_.（14）某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是_.2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同；支出最高值与支出最低值的比是 6:1；第三季度平均收入为 50 万元；利润最高的月份是 2 月份。（15）在 中，角 的对边分别为 ，已知ABC, ,abc，则 _.cos3acbsin（16）如图，将边长为 2 的正 沿着高 折起，使 ，若折起后 、ABCD60BCA、 、 四点都在球 的表面上，则球 的表面积为_平方单位.BCDO- 4 -三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程
6、或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。（17）（本小题满分12分）已知数列 的前 项和 满足 .nanS2*3,nN（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .21nanT（18）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱 中， 分别为 的中点， ，1ABC,EF1,ACB1FAB.12ABC（1）求证： 平面 ；/F（2）求三棱锥 的体积.1EABC（19）（本小题满分12分）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦点在 轴上，若椭圆的右焦点到直线(0,)x的距离是 3.20xy（1）求椭圆 的方程；E（2）设过点 的直线
7、 与该椭圆交于另一点 ，当弦 的长度最大时，AlBA求直线 的方程.（20）（本小题满分12分）ABCFEA1 C1B1- 5 -随着“互联网+交通”模式的迅猛发展， “共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分123456789107873819295857984638611121314151617181920888695769778888276892122232425262728293079837274916680837482313233
8、3435363738394093787581847781768589用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为 92.（1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据；（2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ；x2s（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为,x“ 级” 。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的 10 个样本，估计该地区满A意度等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？（参考数据： ）05.48,3.7,5.92（21）（本小题满分12分）已知函数 .()ln()xfeaR（1）当 时，求函数 在 处的切线
9、方程；af1x（2）当 时，求证： .()0- 6 -（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22） 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极xOy1Ctyx6O点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 x 223cos3（1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；1（2）已知点 是曲线 上动点，求点 到曲线 的最小距离P2CP1C（23） 选修 4-5：不等式选讲 已知 .()|1|2fx（1）求不等式 的解集；0（2）若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
10、R()fxa惠州市 2019 届高三第三次调研考试文科数学参考答案及评分标准一、 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C D C D C A C A B D1.【解析】 ，集合 故选 B|1,|0Axx|2Bx另解：由 B 是 AB 的子集，所以选项中包含必有（0,+） ，排除选项 ACD，故选 B2.【解析】 ，故选 B.sin4sin4312yxx3.【解析】作出可行域，如下图中的阴影部分，易知目标函数 过点 时取得最大值为 7，故选 C.2zxy(,)C- 7 -4.【解析】 ，从而 ， ，故选 D.13ba2219ca03c5.【解析】函数
11、的定义域是 R，且为奇函数，故 ，解得 ，所以()fx()f1a，()2f可知 是增函数，所以由 得到x(21)(2)0fmf，(21)(),fmf解得 ，故选 C.6.【解析】由 得 ,所以 ，0cos1310sin103sin25，4cs25所以 ,故选 D.1ino27.【解析】 ，故选 C.1151()2242ACDABDEADBE8.【解析】 ，故函数非奇非偶，排除 B、C，(),()fxfxf，故选 A2221)0,0,0feee9.【解析】直线 为 ，又直线 与圆 有两个交点，lkxylxy故 ，故选 C.2|1k24另解：数形结合，通过相切的临界值找出答案。10.【解析】由三视
12、图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为2,6,3，下部分为长方体，棱长分别为 6,6,3，其表面积为 ，463283192S故选 A.11.【解析】设 两点的坐标分别为 ，则 ，,AB12(,),xy12x- 8 -，12124()()4549mnxx当且仅当 ，即当 时取等号，故选 B.,12. 【解析】由 得到 ，所以()fxf(),()4()fxfxfx的周期为 4，方程 可化为 ，分别作出函数()flog20alog2a的图象，可知当 时，两图象有 4 个不同的交点，,l()ayfx1l(6)a解得 ，故选 D.8二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共
13、20 分.13、 ， 14、， 15、 ， 16、 .15231313.【解析】记三名男生分别为 ，三名女生分别为 ，从 6 名学生中任选 212,A123,B名共有 15 种不同的结果，其中 2 名都是女生的结果有 3 种，故概率为 .1514.【解析】对于，利润最高的月份是 10 月份，所以不正确。15.【解析】由正弦定理得 ，即cos3insCABsinco3siniBCA ，因为 ， ，从而i()icosinAsi01cos3B2sin3B16.【解析】设球的半径为 由题意可知， ， 所在截面圆的半径为 ，R3DBC3从而 ，所以球的表面积为 .221()3214R三解答题：17. 【
14、解析】 （1）当 时, ，1分n1124,2Sa- 9 -当 时， ，又 2分2n21()3(1)nSn23nS两式相减得 ，所以 4分aa5分n故 的 通 项 公 式 为*()nN（2）由（1）知 8 分2111()(2)4()4nann 9 分)+43nT(11 分112 分n18. 【解析】解法 1（1）如图，设 为边 的中点，连接 DAB,EDF ， 分别为 ， 的中点， 1 分FC1/,2AC又 ， 2 分11/,2ECA1/, 四边形 为平行四边形， 3 分FED又 平面 ， 平面 ，4 分DB1 平面 . 5 分1/FAE（2）在直三棱柱中 ， 1C又 ， 平面 ， 平面 ， ，
15、611F1BC1F分 平面 ， 7 分AB1面 ， ， 8 分C由三角形 的面积为 2，可得三角形 的面积为 1，9 分ABF由（1） 平面 知： 到平面 的距离等于 到平面 的距离10/FE1CEAB分ABCFEA1 C1B1D- 10 - 11 分1EABCEFABEFVV . 1233FS所以三棱锥 的体积为 . 12 分18. 【解析】解法 2（1）设 为边 的中点，连接 DAC1,DF ， ， 分别为 ， ， 的中点， 1 分EFBC1/,/ABEDC又 , ,2 分E面 ,面 /面又 , ,3 分1面 面 1面 ， , 1DFC面 1F面 4 分/AB面 面 平面 . 5 分1面
16、1/E注意：由线线平行直接推出面面平行的证明过程须扣 2 分，即第一问最多可给 3 分。（2）在直三棱柱中 ， 1C又 ， 平面 ， 平面 ，1FAB1F1BC，6 分 平面 ， 7 分1知 ， 8 分C在直角三角形 中， 为边 的中点，ABDAC9 分2,2,B又 10 分1111,面 1DAC面 11 分EABCEV 1123323SDDA B CFEA1 C1B1- 11 -所以三棱锥 的体积为 . 12 分1EABC2319. 【解析】 （1）由题意， ， 1 分b右焦点 到直线 的距离 ,(,0)c0xy|2|3cd，2 分23 分3ab椭圆 的焦点在 轴上，所以椭圆 的方程为 4
17、分ExE213xy（2）解法 1当 不存在时， 5 分k|AB当 存在时，设直线方程为 ，联立 ，得 ，k1yx213ky2(3)60kx6 分7 分 260,13ABx8 分2|(1)| ,|3kkA令 则 9 分213,(),tt2|4t所以，当 ，即 ，得 时10 分4t1k的最大值为 ，即 的最大值为 11 分2|AB9|AB32直线的方程为 . 12 分yx或（2）解法 2设直线 的倾斜角为 ，则直线 的参数方程为 （ 为参数） ，llsin1cotyxt5 分- 12 -设 点对应的参数分别为 ，且 ;AB、 BAt,0A将参数方程代入椭圆方程 可得： ，132yx1sin13co
18、s22tt化简可得： ，6 分0sin6si212tt若 ，则上面的方程为 ，则 ,矛盾；7 分0sinB若 ，则 ， ，At 2sin1Bt则弦 长为 8 分B01,0sin上式 ，9 分2661i2sini10 分3当且仅当 即 或 ， 时等号成立. 11,sin1i2431tan分直线 方程为： 或 .12 分lxy1x20. 【解析】（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，402分则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. 4 分【评分要求】1、样本编号为等差数列，写错任意一个数扣 1 分；2、样本编号
19、写错 2 个数扣 2 分，且后续解答过程有错就不再给分，即整题 0 分。3、样本编号正确的前提下，样本数据写错 1 个数据可认为笔误不扣分，写错 2 个数据扣 1分，写错 3 个数据扣 2 分。（2）由（1）中的样本评分数据可得5 分(9846798379)0x- 13 -， 6 分83则有7 分22221(9)483()783(9)07s 8 分3所以均值 ，方差 .x2s（3）由题意知评分在 即 之间满意度等级为“A 级” ，(3,)(7.26,84) 10 分由（1）中容量为 10 的样本评分在 之间有 5 人，(.,则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为 .12 分0.%
20、121. 【解析】 （1）当 时， 1 分a()ln,(),xfefe2 分(),xfe3 分所以，切线方程为 ，即 4 分(1)yex1ye（2）当 时，aln(0)f， ，所以 在 上单调递增，5()()xfeh 2x(hx,)分又 ，1()30,()2e所以 ，使得 ，即 6 分x01xh01xe所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，7 分()f0,(,)所以函数 的最小值为 8 分fx000)ln1lnxfex又函数 是单调减函数，所以 ，91lny0()lf- 14 -分即 恒成立。 10 分ln0xe又 ，所以 11 分lnxe又 所以 ，所以 12 分1,alln0xxae2
21、2.【解析】 （1）消去参数 得到 ， 1 分t6y故曲线 的普通方程为 2 分C0x，由 3 分（注意：无写出此公式本得分点不给分） 223cos3cosiny得到 ，4 分()xy即 ,故曲线 的普通方程为 .5 分212C21x（2）解法 1设点 的坐标为 ，6 分P(3cos,in)点 到曲线 的距离 ，8 分P1|2cos()6|i62d所以，当 时， 的值最小，9 分cos()6所以点 到曲线 的最小距离为 . 10 分1C2（2）解法 2设平行直线 ： 的直线 方程为 6 分160xy0xym当直线 与椭圆 相切于点 P 时，P 到直线 的距离取得最大或最小值。121C由 得 ，7 分203xym224630x令其判别式 ，解得 ，8 分经检验，当 时，点 P 到直线 的距离最小，最小值为 9 分1C|62d所以点 到曲线 的最小距离为 . 10 分P1223. 【解析】 （1）由题意得 ，1 分|x- 15 -所以 ，2 分2|1|x化简得 3 分3()0解得 ，4 分故原不等式的解集为 5 分|2x（2）由已知可得， 恒成立，设 ，6 分()af()gxf则 ,7 分,1()2,xg由 的单调性可知， 时， 取得最大值 1，9 分()gx1x()g所以 的取值范围是 10 分a,)
