1、,RJ八(下) 教学课件,第十七章 勾股定理,17.1 勾股定理,第2课时 勾股定理在实际生活中的应用,1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. (重点) 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型,利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系,并进一步求出未知边长.(难点),数学来源于生活,勾股定理的应用在生活中无处不在,观看下面视频,你们能理解曾小贤和胡一菲的做法吗?,新课引入,问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况,并结合曾小贤和胡一菲的做法,对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发?,勾股定理的简单实际应用,新课讲解,一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2
2、m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?,解:在RtABC中,由勾股定理,得,AC2=AB2+BC2=12+22=5,,因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.,分析:可以看出木板横着,竖着都不能通过,只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度,只要AC的长大于木板的宽就能通过.,例1,新课讲解,解:在RtAOB中,由勾股定理,得,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,,OB=1.,在RtCOD中,由勾股定理,得,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,梯子的顶端沿墙下滑0.5m时,梯子底端并不是也外移0.5m,而是外移约0.77m.,如
3、图,一架2.6 m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,例2,新课讲解,在一次台风的袭击中,小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂,树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗?,例3,新课讲解,A,C,B,解:根据题意可以构建一直角三角形模型,如图. 在RtABC中, AC=6米,BC=8米, 由勾股定理,得,这棵树在折断之前的高度是10+6=16(米).,新课讲解,利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:,(1)读懂题意,分析已知、未知间的关系;,(2)构造直角三角形;,(3)利用勾
4、股定理等列方程;,(4)解决实际问题.,数学问题,直角三角形,勾股定理,实际问题,解决,利用,构建,归纳总结,1.如图,湖的两端有A、B两点,从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( ),130,120,?,A,A.50米 B.120米 C.100米 D.130米,新课讲解,C,A,B,2.如图,学校教学楼前有一块长方形长为4米,宽为3米的草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“径路”,却踩伤了花草. (1)求这条“径路”的长; (2)他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)?,解:(1)在Rt ABC中, 根据勾股定理,得这条“径路
5、”的长为5米.,(2)他们仅仅少走了(3+4-5)2=4(步).,新课讲解,A,2,1,-4,-3,-2,-1,-1,2,3,1,4,5,如图,在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)、B(1,2) 求A、B两点间的距离.,y,O,x,3,B,C,解:如图,过点A作x轴的垂线,过点B作x、y轴的垂线.相交于点C,连结AB. AC=5-2=3,BC=3+1=4. 在RtABC中,由勾股定理,得 A、B两点间的距离为5.,方法总结:两点之间的距离公式:一般地,设平面上任意两点 则,利用勾股定理求两点距离及验证“HL”,例4,新课讲解,思考 在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边分
6、别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?,已知:如图,在RtABC 和RtA B C 中,C= C =90,AB=A B ,AC=A C 求证:ABCA B C ,新课讲解,证明:在RtABC 和RtA B C 中, C=C=90,根据勾股定理,得,新课讲解,C,B,A,问题 在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠,它选择A B 路线,而不选择A C B路线,难道小狗也懂数学?,AC+CB AB(两点之间线段最短),思考 在立体图形中,怎么寻找最短线路呢?,利用勾股定理求最短距离,新课讲解,想一想 蚂蚁走哪一条路线最近?,A,蚂蚁AB的路线,问题 在一个圆柱石凳上,若小明
7、在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,蚂蚁怎么走最近?,根据两点之间线段最短易知第四个路线最近.,新课讲解,若已知圆柱体高为12 cm,底面半径为3 cm,取3.,侧面展开图,A,A,解:在RtABA中,由勾股定理,得,归纳:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连结两点,根据两点之间线段最短确定最短路线.,新课讲解,有一个圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建梯子,正好建在A点的正上方点B处,问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m,高AB是5 m,取3)?,A,B,A,B,A,B,解:油罐的展开图如图,则AB为梯子的
8、最短距离. AA=232=12, AB=5, AB=13. 即梯子最短需13米.,例5,新课讲解,数学思想:,立体图形,平面图形,转化,展开,新课讲解,B,牛奶盒,A,【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿,小明又灵光乍现,拿出了牛奶盒,把小蚂蚁放在了点A处,并在点B处放上了点儿火腿肠粒,你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗?,6cm,8cm,10cm,新课讲解,B,B1,8,A,B2,6,10,B3,AB12 =102 +(6+8)2 =296,,AB22= 82 +(10+6)2 =320,,AB32= 62 +(10+8)2 =360,,解:由题意知有三种展开方法,如图.由勾股定理得
9、,AB1AB2AB3.,小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1,长为 .,新课讲解,如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少?,牧童A,小屋B,A,C,东,北,解:如图,作出点A关于河岸的对称点A,连结AB则AB就是最短路线. 由题意,得AC=4+4+7=15(km),BC=8km. 在RtADB中,由勾股定理,得,例6,即最短路程是17千米.,新课讲解,归纳:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法:先找到其中一点关于这条直线的对称点,连结对称点与另一点的线段就是最
10、短路径长,以连结对称点与另一个点的线段为斜边,构造出直角三角形,再运用勾股定理求最短路径.,新课讲解,如图,是一个边长为1的正方体硬纸盒,现在A处有一只蚂蚁,想沿着正方体的外表面到达B处吃食物,求蚂蚁爬行的最短距离是多少.,A,B,解:由题意,得AC =2,BC=1. 在RtABC中,由勾股定理,得 AB= AC+ BC=2+1=5, AB= ,即最短路程为 .,新课讲解,1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆,则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是 ( ),D,A.24m B.12m C. m D. cm,随堂即练,2.如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,
11、内壁高12cm,则这只铅笔的长度可能是( ),D,3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_.,10,A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm,随堂即练,4.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵2米,两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢,问小鸟至少飞行多少?,A,B,C,解:如图,过点A作ACBC于点C. 由题意,得AC=8米,BC=8-2=6(米),即小鸟至少飞行10米.,随堂即练,5.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于55cm,10cm和6cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从
12、A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?,B,A,随堂即练,解:台阶的展开图如图,连结AB.,在RtABC中,根据勾股定理,得,AB2=BC2AC25524825329,AB=73cm.,最短线路是73 cm.,由题易知,AC =(10+6)3=48(cm).,随堂即练,6. 为筹备迎接新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图.已知圆筒的高为108cm,其横截面周长为36cm,如果在表面均匀缠绕油纸4圈,应裁剪多长的油纸?,随堂即练,解:如右下图, AC36cm,BC108427(cm) 在RtABC中,由勾股定理,得 AB2AC2BC23622722025452, AB45cm, 整个油纸的长为454180(cm),随堂即练,勾股定理 的应用,用勾股定理解决实际问题,用勾股定理解决点的距离及路径最短问题,解决“HL”判定方法证全等的正确性问题,课堂总结,