1、13.8 圆内接正多边形1了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)2理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点)3掌握圆内接正多边形的画法(难点)一、情境导入这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的你能从这些图案中找出正多边形来吗？二、合作探究探究点：圆内接正多边形【类型一】 圆内接正多边形的相关计算已知正六边形的边心距为 ，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、3周长和面积解析：根据题意画出图形，可得 OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积解：如图，连接 OB， OC，过点 O 作 OH BC 于 H，
2、六边形 ABCDEF 是正六边形， BOC 36060，中心角是 60. OB OC， OBC 是等边三角形，16 BC OB OC. OH ，sin OBC ， OB BC2.内角为 3OHOB 32 180（ 6 2）6120，外角为 60，周长为 2612， S 正六边形 ABCDEF6 S OBC6 2 6 .12 3 3方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 11 题【类型二】 圆内接正多边形的画法如图，已知半径为 R 的 O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形2解析：度量法：用量角
3、器量出圆心角是 120 度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分解：方法一：(1)用量角器画圆心角 AOB120， BOC120；(2)连接 AB， BC， CA，则 ABC 为圆内接正三角形方法二：(1)用量角器画圆心角 BOC120；(2)在 O 上用圆规截取 ；AC AB (3)连接 AC， BC， AB，则 ABC 为圆内接正三角形方法三：(1)作直径 AD；(2)以 D 为圆心，以 OA 长为半径画弧，交 O 于 B， C；(3)连接 AB， BC， CA，则 ABC 为圆内接正三角形方法四：(1)作直径 AE；(2)分别以 A， E 为圆心， OA 长为
4、半径画弧与 O 分别交于点 D， F， B， C；(3)连接 AB， BC， CA(或连接 EF， ED， DF)，则 ABC(或 EFD)为圆内接正三角形方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是 3、4 的整数倍的正多边形变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 5 题【类型三】 正多边形外接圆与内切圆的综合如图，已知正三角形的边长为 2a.(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？(3)
5、将条件中的“正三角形”改为“正方形” 、 “正六边形”你能得出怎样的结论？(4)已知正 n 边形的边长为 2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解解：(1)设正三角形 ABC 的中心为 O， BC 切 O 于点 D，连接 OB、 OD，则OD BC， BD DC a.则 S 圆环 OB2 OD2 OB2 OD2 BD2 a2；(2)只需测出弦 BC(或 AC， AB)的长；(3)结果一样，即 S 圆环 a2；3(4)S 圆环 a2.方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外
6、接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 4 题【类型四】 圆内接正多边形的实际运用如图，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为 26m 的正五边形 ABCDE(如图)，点 O 为中心(下列各题结果精确到 0.1m)(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为 1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为 1.6m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形根据正五边形的性质得到半边所对的角是 36，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是3601026
7、102.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为 1m 和最窄处为 1.6m 的观光通道，进行计算解：(1)作 OM AB 于点 M，连接 OA、 OB，则 OM 为边心距， AOB 是中心角由正五边形性质得 AOB360572， AOM36. AB 265.2， AM2.6.在15Rt AMO 中，边心距 OM 3.6(m)所以，地基的中心到边缘的距离约AMtan36 2.6tan36为 3.6m；(2)3.611.61(m)所以，塑像底座的半径最大约为 1m.方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答熟悉正多边形各个元素的算法三、板书设计圆内接正多边形1正多边形的有关概念2正多边形的画法3正多边形的有关计算本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.4
