1、1限时检测提速练(十六) 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题A 组1(2018永州二模)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 4，离心率为22(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知直线 l 经过点 P(0，1)，且与椭圆交于 A， B 两点，若 2 ，求直线 l 的AP PB 方程解：(1)依题意可设椭圆方程为 1，x2a2 y2b22 c4， e ， a2 ，ca 22 2 b2 a2 c24，椭圆 C 的方程为 1x28 y24(2)由题意可知直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为： y kx1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得(2 k21) x
2、24 kx60，且 A0，则 x1 x2 ， x1x2 ，4k2k2 1 62k2 1 2 ，即( x1，1 y1)2( x2， y21)，AP PB x12 x2，Error!消去 x2并解关于 k 的方程得： k ，3010 l 的方程为： y x130102(2018江淮联考)已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F(1)若斜率为1 的直线 l 过点 F 与抛物线 C 交于 A、 B 两点，求| AF| BF|的值；(2)过点 M(m,0)(m0)作直线 l 与抛物线 C 交于 A、 B 两点，且 0，求 m 的取FA FB 值范围解：(1)依题意， F(1,0)；设 A(xA， yA
3、)， B(xB， yB)，则直线 l： y x1；联立Error!则 ( x 1)24 x，则 x26 x10，则 xA xB6；由抛物线定义可知，| AF| BF| xA xB282(2)直线 l 的方程为 x ty m， l 与曲线 C 的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 y ， x2 y 1421 142将 l 的方程代入抛物线的方程，化简得 y24 ty4 m0，判别式 16( t2 m)0， y1 y24 t， y1y24 m ( x11， y1)， ( x21， y2)，FA FB x1x2( x1 x2)1 y1y2FA FB (y1y2)2 y1y2 (
4、y y )1116 14 21 2 (y1y2)2 y1y2 (y1 y2)22 y1y21116 14又 0， m26 m14 t20 恒成立，FA FB m26 m14 t2恒成立4 t20， m26 m10 只需即可，解得 32 m32 2 2所求 m 的取值范围为(32 ，32 )2 23(2018三湘教育联盟联考)动点 P 到定点 F(0,1)的距离比它到直线 y2 的距离小 1，设动点 P 的轨迹为曲线 C，过点 F 的直线交曲线 C 于 A、 B 两个不同的点，过点 A、 B分别作曲线 C 的切线，且二者相交于点 M(1)求曲线 C 的方程；(2)求证： 0AB MF (1)解：
5、由已知，动点 P 在直线 y2 上方，条件可转化为动点 P 到定点 F(0,1)的距离等于它到直线 y1 距离动点 P 的轨迹是以 F(0,1)为焦点，直线 y1 为准线的抛物线故其方程为x24 y(2)证明：设直线 AB 的方程为： y kx1，由Error! 得： x24 kx40，设 A(xA， yA)， B(xB， yB)，则 xA xB4 k， xAxB4，由 x24 y 得： y x2， y x，14 12直线 AM 的方程为： y x xA(x xA)142A 12直线 BM 的方程为： y x xB(x xB)142B 123得： (x x ) (x x xAx xBx)，14
6、 2B 2A 12 2B 2A即 x 2 k，将 x 代入得：xA xB2 xA xB2y x xA xAxB x ，142A 12 xB xA2 14 142A y xAxB1，故 M(2k，1)，14 (2 k,2)， ( xB xA， k(xB xA)，MF AB 2 k(xB xA)2 k(xB xA)0AB MF 4(2018云南联考)已知椭圆 E： 1( a b0)的离心率为 ，点 A， B 分别为x2a2 y2b2 12椭圆 E 的左、右顶点， 点 C 在椭圆 E 上，且 ABC 面积的最大值为 2 3(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 F 为 E 的左焦点，点 D 在直线 x4
7、 上，过 F 作 DF 的垂线交椭圆 E 于 M， N 两点证明：直线 OD 平分线段 MN (1)解：由题意得Error!解得Error!故椭圆 E 的方程为 1x24 y23(2)证明：设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(4， n)，线段 MN 的中点 P(x0， y0)，则 2x0 x1 x2,2y0 y1 y2，由(1)可得 F(1,0)，则直线 DF 的斜率为 kDF ，n 0 4 1 n3当 n0 时，直线 MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知 OD 平分线段 MN当 n0 时，直线 MN 的斜率 kMN 3n y1 y2x1 x2点 M， N 在椭圆 E 上，
8、Error!整理得： 0， x1 x2 x1 x24 y1 y2 y1 y23又 2x0 x1 x2,2y0 y1 y2， ，直线 OP 的斜率为 kOP ，y0x0 n4 n4直线 OD 的斜率为 kOD ，n4直线 OD 平分线段 MN4B 组1(2018成都一检)已知椭圆 C： 1( a b0)的右焦点为 F( ，0)，长半轴x2a2 y2b2 3与短半轴的比值为 2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N.若点 B(0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线 l 的方程解：(1)由题可知 c ， 2， a2 b2 c2，3
9、ab a2， b1椭圆 C 的方程为 y21x24(2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 x my1， M(x1， y1)， N(x2， y2)联立，得Error!消去 x 可得(4 m2)y22 my30 16 m2480， y1 y2 ， y1y2 2m4 m2 34 m2点 B 在以 MN 为直径的圆上， 0BM BN ( my11， y11)( my21， y21)BM BN ( m21) y1y2( m1)( y1 y2)20，( m21) ( m1) 20， 34 m2 2m4 m2整理，得
10、 3m22 m50，解得 m1 或 m 53直线 l 的方程为 x y10 或 3x5 y302已知点 M 是椭圆 C： 1( a b0)上一点， F1， F2分别为 C 的左、右焦点，x2a2 y2b2且| F1F2|4， F1MF260， F1MF2的面积为 433(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 N(0,2)，过点 P(1，2)作直线 l，交椭圆 C 异于 N 的 A， B 两点，直线NA， NB 的斜率分别为 k1， k2，证明： k1 k2为定值(1)解：在 F1MF2中，5由 |MF1|MF2|sin 60 ，12 433得| MF1|MF2| 163由余弦定理，得|F1F2|2
11、| MF1|2| MF2|22| MF1|MF2|cos 60(| MF1| MF2|)23| MF1|MF2|16，解得| MF1| MF2|4 2从而 2a| MF1| MF2|4 ，即 a2 2 2由| F1F2|4 得 c2，从而 b2，故椭圆 C 的方程为 1x28 y24(2)证明：当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，则其方程为 y2 k(x1)，由Error! 消去 y，得(12 k2)x24 k(k2) x2 k28 k0设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 4k k 21 2k2 2k2 8k1 2k2从而 k1 k2 y1 2x1
12、y2 2x22kx1x2 k 4 x1 x2x1x22 k( k4) 44k k 22k2 8k当直线 l 的斜率不存在时，可得 A ， B ，得 k1 k24( 1，142) ( 1， 142 )综上， k1 k2为定值3(2018洛阳一模)已知抛物线 E： y22 px(p0)的焦点坐标为(1,0)，过点 P(2,0)的直线 l1与抛物线 E 交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，直线 l2过点 P 且与抛物线 E 交于C， D 两点( A， C 在 x 轴的同一侧)，过点 P 作 x 轴的垂线与线段 AC 和 BD 分别交于 M， N 两点(1)已知 a(1， y1)， b
13、(8， y2)，求 ab 的值；(2)求证：当直线 l1， l2的斜率存在时，点 P 始终为线段 MN 的中点(1)解：由抛物线 E： y22 px(p0)的焦点坐标为(1,0)知 p2，即 y24 x6由题意知 l1， l2的斜率均不为 0，设直线 AB 的方程为 x my2，联立 x my2 与 y24 x，消去 x 得 y24 my80， 16 m2320， y1y28， ab8 y1y20(2)证明：设 C(x3， y3)， D(x4， y4)，由(1)知 y1y28，同理可得 y3y48直线 AC 的斜率为 ，y1 y3x1 x3 4y1 y3则直线 AC 的方程为 y y1 4y1
14、 y3(x y214)当 x2 时，点 M 的纵坐标 yM y1y3 8y1 y3同理可得，点 N 的纵坐标 yN ，y2y4 8y2 y4 yM yN 0y1y3 8y1 y3 y2y4 8y2 y4故当直线 l1， l2的斜率存在时，点 P 始终为线段 MN 的中点4(2018齐齐哈尔二模)设抛物线的顶点为坐标原点，焦点 F 在 y 轴的正半轴上，点A 是抛物线上的一点，以 A 为圆心，2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线 m 在 y 轴上的截距为 6，且与抛物线交于 P， Q 两点，连接 QF 并延长交抛物线的准线于点 R，当直线 PR 恰与抛物
15、线相切时，求直线 m 的方程解：(1)设抛物线方程为 x22 py(p0)，以 A 为圆心，2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F， p2，该抛物线的标准方程为 x24 y(2)由题知直线 m 的斜率存在，设其方程为 y kx6，由Error! 消去 y 整理得 x24 kx240，显然， 16 k2960设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则Error!抛物线在点 P 处的切线方程为 y (x x1)，(x1，x214) x214 x12令 y1，得 x ，可得点 R ，x21 42x1 (x21 42x1， 1)由 Q， F， R 三点共线得 kQF kFR， ，x24 1x2 1 1x21 42x1即( x 4)( x 4)16 x1x20，整理得( x1x2)24( x1 x2)22 x1x221 271616 x1x20，(24) 24(4 k)22(24)1616(24)0解得 k2 ，即 k ，14 12所求直线 m 的方程为 y x6 或 y x612 12
