1、120182019 学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题，共 40 分）1复数 ，则 （ ）2izzA0 B C1 D2已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ）na 8aA16 B15 C14 D133下列叙述中正确的是（ ）A若 ，则“ ”的充分条件是“ ”,abcR2,0xabxc240bacB若 ，则“ ”的充要条件是“ ”cacC命题“ ”的否定是“ ”2,0x20,xRD 是等比数列，则 是 为单调递减数列的充分条件na1qna4已知直线 经过椭圆 的左焦点 ，且与椭0242yx)0(12bayx1F圆在第二象限的交点为
2、M，与 轴的交点为 N， 是椭圆的右焦点,且 ，2F2MN则椭圆的方程为（ ）A B C D1402yx215xy210xy2195xy5如图所示，在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，ADAA 12，AB4，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（ ） A B 3C D13 26已知 ， ，则 是 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 2C充要条件 D既不充分也不必要条件7已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当 时， ，若 ，则不0x()fxf等式 的解集为（ ）()0xfA 或 B 或C 或 D 或8过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长12bya
3、x22xya交抛物线 于点 ，若 ，则双曲线的离心率是（ ）4c11FEPA B C D1523235252二、填空题（每小题 5 分，共 6 小题，共 30 分）9已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为_.2214xyk10设公比为 的正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，若，则 _.11在正四面体 中，棱长为 2，且 E 是棱 中点，则 的值为_.PABCPEBCur12已知 ， ，且 ，则 的最小值等于_.1ab4ba13设抛物线 （ ）的焦点为 ，准线为 .过焦点的直线分别交抛物线于2ypx0Fl两点，分别过 作 的垂线，垂足为 . 若 ，且三角形,AB,ABl,CD3AFB的面积为 ，则
4、 的值为_.CDF314已知函数 ，若 是函数 唯一的极值点，则实数3()ln(1)xefkx3的取值范围为_.三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15（13 分）数列 的前 项和为 ，已知 ， . 其中1a1(2)(23)nnaS3*nN（）证明：数列 是等比数列；21nS（）求数列 的前 项和 .n16（13 分）已知函数 在 处取得极值.2()ln)fxax0（）求函数 在点 处的切线方程；()f1,（）若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同的实数根，求实数 的52fxb取值范围.17（13 分）在如图所示的多面体中， 平面 ， 平面 ，EABCDABC，且 ， 是 的中点.ACB2
5、CBDM（）求证： ；ME（）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值；（）在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与DCN平面 所成的角是 . 若存在，指出点 的位置；E60N若不存在，请说明理由.18（13 分）已知数列 满足 ， ，其中na114nna*N（）设 ，求证：数列 nb是等差数列，并求出 na的通项公式；21nb4（）设 ，数列 2nc的前 项和为 nT，是否存在正整数 m，使得41nac对于 恒成立，若存在，求出 的最小值，若不存在，请说明理由.1nmT*N19（14 分）已知椭圆 ： 的离心率 ，左顶点为 ，C21(0)xyab12e4,0A过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，
6、交 轴于点 . 点为坐标原A0klCDyEO点.（）求椭圆 的方程；（）已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的 都有 ，若PADQ0kPEQ存在，求出点 的坐标；若不存在说明理由；Q（）若过 点作直线 的平行线交椭圆 于点 ，求 的最大值.OlCMOAD20（14 分）已知函数 ， .2()lnfxaxR（）若 在 处取得极值，求 的值；（）设 ，试讨论函数 的单调性；()(4)gxfa()g（）当 时，若存在正实数 满足 ，求证：121223fxfx.12x5天津市部分区 20182019 学年度第一学期期末六校联考高二数学参考答案1D 2B 3C 4D 5B 6A 7C 8A9 10
7、2 11 12 13 1415k且 164362327e15（）证明： ， ， ， 又 ， ，数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列. 6 分 （）由（1）知， ， ， ，. -得， . 7 分 16（） 时， 取得极值，6故 解得 .经检验 符合题意。Q(1)ln2f5(1)2f 6 分 5ln0xy切 线 方 程 为 ：（）由 知 ，得令则 在 上恰有两个不同的实数根，等价于 上恰有两个不同实数根.当 时， ，于是 上单调递增；当 时， ，于是 在 上单调递增；依题意有 解得 . 7 分 17（）证明： ， 是 的中点， ，ACBMACAB又 平面 ， ，EE ， 平面 ， 3 分
8、CM（）以 为原点，分别以 ， 为 ， 轴，如图建立坐标系 则：MBCxyMxyz， ， ， ， ，0,0,2,02,0D2,01E， ， ， ，,1E,BC设平面 的一个法向量 ，则： ，MC1,mxyz1 20xzy7取 ， ， ，所以 ，1x10y12z1,02m设平面 的一个法向量 ，则：DBC2,nxyz2, 0xy取 ， ， ，所以 ，111z1,0n6cos23mn故平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 5 分 EMCBD306（）在棱 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角是 ，NMEC60设 且 ， ，,Nxyz01 ，22, ， ， ， ，xyz2,2N若直线 与平面 所
9、成的的角为 ，则： MNEC60，223cos, sin6023141m 解得 ，12所以在棱 上存在一点 ，使直线 与平面 所成的角是 ，DCNMEC60点 为棱 的中点 5 分 N18（）证明： 11 42221114nnnn nnabaa，所以数列 n是等差数列，1,2ab，因此 12n，8由212nnba. 6 分 （）由 ，nc2412()ncn所以123412nT ，所以 2nn，因为 N，所以 3T恒成立，依题意要使 对于 *nN，恒成立，只需134m，且 0解得 3m，1nmc的最小值为 3. 7 分 19（）左顶点为 4,0Aa又 12ec又 椭圆 的标准方程为 3 分 22
10、1baC216xy（）直线 的方程为 ，由 消元得l4ykx214ykx22411kx化简得， ，则224360x2126,43k当 时， ，216k221433kky2243kDk，点 为 的中点PA点 的坐标为 ，则 .21643k， 304opk9直线 的方程为 ，令 ，得点 的坐标为 ，假设存在定点l4ykx0E04k，使得 ,则 ，即 恒成立，,0QmnOPEQ1OPQk31nm 恒成立4123k 即0n-定点 的坐标为 . 5 分 Q3，（） /OMl 的方程可设为 ，由 得 点的横坐标为ykx216ykxM243xk由 ，得OlA222168149433DAEADAMMkxxxE
11、 k ，221643k当且仅当 即 时取等号，243k2当 时， 的最小值为 3kADEOM所以，原式最大值为 6 分 2420（）解：因为 ，所以 ，2()lnfxax1()2fxax因为 在 处取得极值，所以 ，解得 (1)20fa3210验证：当 时， 在 处取得极大值 3 分 32a（）解：因为 ()(4)gxfax2ln()ax所以 若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；当 时， ， 函数 在 上单调递减 若 ， ，当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减 5 分 （）证明：当 时， ，2()lnfxax因为 ，12122()3fxf所以 ，即 ，所以 令 ， ，则 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减；当 时， ，所以函数 在 上单调递增所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 所以 ，11即 ，所以 或 因为 为正实数，所以 当 时， ，此时不存在 满足条件，所以 6 分
