1、2018-2019学年度第一学期含山中学高二年级期末考试 数学试卷（文科） 命题人：王章林 审题人：王 玮 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A. 球 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 圆柱 2. 已知正方体外接球的体积是323 ，那么正方体的棱长等于( ) A2 2 B 2 33 C4 33 D4 23 3. 直线 023 yx 的倾斜角为（ ） A. -30 B. 60 C. 120 D. 150 4. 两圆 2 2( 1) 2 x y 与 2
2、 2( 2) 4 x y 的公共弦所在直线的方程是（ ） A. 2 4 1 0 x y B. 2 4 1 0 x y C. 4 2 1 0 x y D. 4 2 1 0 x y 5. 在空间直角坐标系中，点 ( 1,2,0)A ， (1,3,2)B ，则 AB （ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 6. 抛物线 214y x 的准线方程为（ ） A. 1y B. 116x C. 116x D. 1y 7. 设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的( ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有
3、极值，则该函数的一个递增区间是( ) A. (2,3) B. (3，) C. (2，) D. (，3) 9. 若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则( ) A. a1，b1 B. a1，b1 C. a1，b1 D. a1，b1 10. 与双曲线 2 2 14 5 x y 的斜率为正的渐近线平行且与渐近线距离为1的直线方程为（ ） A. 2 5 3 0 x y B. 5 2 4 0 x y C. 5 2 3 0 x y D. 2 5 4 0 x y 11. 若直线 4nymx 和圆O： 422 yx 没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆 14922 yx的交点个数为( )
4、 A. 2 B. 1 C. 0 D. 0或1 12. 椭圆C：2 22 2 1( 0)x y a ba b 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点， (3,0)F 为椭圆C的右焦点，则 OP PF 的取值范围为（ ） A. 10,16 B. 439,10 C. 439,16 D. 439, 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 设命题p： 0,2 x ， 1sinx ，则p为 . 14. 若直线 1 y kx 与曲线 2 6 8 y x x 有两个公共点，则k的取值范围是 15. 若函数f(x
5、)x2ax在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围是 16. 已知m，n是空间两条不同的直线，是两个不同的平面，下面说法正确的有 若m ，m ，则 ； 若m ， n ， ，则m n ； 若m ，n ， ，则m n ；若m ，m ， n ，则m n 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 已知p：2 2 11 4x ym m 表示焦点在x轴上的椭圆，q：方程2 2 2 2 5 0 x y x my 表示一个圆. （1）若P是真命题，求m的取值范围； （2）若p q 是真命题，求m的取值范围. 18.（12分）如图，在四棱锥 ABCDS 中
6、，底面ABCD为菱形， QPE 、 分别 是棱 ABSCAD 、 的中点，且 SE 平面ABCD （1）求证： /PQ 平面SAD； （2）求证：平面 SAC 平面SEQ 19.（12分）设函数 aaxxaxxf 244)1(31)( 23 ，其中常数 1a ， （1） 讨论 )(xf 的单调性； (2) 若当 0x 时， 0)( xf 恒成立，求a的取值范围 20.（12分）已知直线l过点A(2,2)，圆C： 2 2 6 8 0x y x . （1）当直线l与圆相切时，求直线l的一般方程； （2）若直线与圆相交，且弦长为 2，求直线l的一般方程. 21.（12分） 已知动圆C过定点F(2,0
7、)，且与直线 2x 相切，圆心C的轨迹为E， （1）求E的轨迹方程； （2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标(1,1)，求 PQ 22.（12分） 已知椭圆C：2 22 2 1( 0)x y a ba b 的离心率为32 ，焦距为2 3，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M( 2)( 0)t, t .（1）求椭圆C的方程； （2）若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明PQ过定点 1(0 )2N , . 高二期末考试数学（文科） 参考答案 一、选择题 1.D 2. C 3. D 4. A 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10.C 11. A 12.
8、 C 12、 因为 (3 0)F , 是已知椭圆C的右焦点，所以 3c ，又因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2 2 4 a c b，即 2 3 a b ，由2 2 22 33 a bca b c，得543abc，所以椭圆C得方程为2 2 125 16 x y ，设点0 0( )P x ,y ，则有 0 0 0 01(0 5 0 4)25 16x y x , y ，解得 22 00161625 xy 。因为0 0( )OP x ,y ，0 0(3 , )PF x y ，所以 22 00 0 0 0916(3 ) 16 3 16( (0 5)25 25xxOP PF x x x x
9、 , ，二次函数的图像的对称轴为 0 25 (0 5)6x , ，OP FP 的最大值为 29 25 25 39( ) 3 1625 6 6 4 ，故OP FP 的取值范围是 39( 16 4, . 二、填空题 13. 0 0 2 x , ， 0 1sinx 14. 1 3 )2 4, 15. a2 16. 三、解答题 17. 解：（1）因为2 2 11 4x ym m 表示焦点在x轴上的椭圆 所以 1 4 0m m ， 解得3 42 m ，即m的取值范围为 3( 4)2 , 4分 （2）因为 2 2 2 2 5 0x y x my , 所以 2 2 2( 1) ( ) 4x y m m ，由
10、于 2 2 2( 1) ( ) 4x y m m 表示一个圆， 所以 2 4 0m ，解得 2m 或 2m ， 因为p q 是真命题，所以3 422 2mm m 或，解 得2 4m ， 所以m的取值范围为 2 4( , )10分 18. 证明：（1）取SD中点F ，连接 PFAF, FP、 分别是棱 SDSC、 的中点， CDFP/ ，且CDFP 21 在菱形ABCD中，Q是AB的中点， CDAQ/ ，且 CDAQ 21 ， AQFP / 且 AQFP AQPF 为平行四边形， AFPQ/ PQ 平面SAD， AF 平面SAD， /PQ 平面SAD5分 （2）连接BD，ABCD是菱形， BDA
11、C ， QE、 分别是棱 ABAD、 的中点， BDEQ / ， EQAC ， SE 平面ABCD， AC 平面ABCD， SEAC ， EEQSE ， EQSE、 平面SEQ， AC 平面SEQ， AC 平面SAC，平面 SAC 平面SEQ 12分 19.(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，2a2，当x0，故f(x)在区间(，2)上是增函数； 当22a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a，)上是增函数 综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数 (2)由(1)知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值 f(2
12、a)13(2a)3(1a)(2a)24a2a24a43a34a224a，f(0)24a. 由假设知 a1，f2a0，f00，即 a1，43aa3a60，24a0，解得1a6. 故a的取值范围是(1,6). 20. 解：（1）将圆C的一般方程化为标准方程得 2 2( 3) 1x y ， 所以圆C的圆心为(3 0), ，半径为1， 因为直线l过点 (2 2)A , ，所以当直线l的斜率不存在时，直线l与圆相切， 此时直线l的方程为 2 0x ；4分 当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为 2 ( 2)y k x ， 化为一般式为 2 2 0kx y k 。 因为直线l与圆相切，所以 2
13、2 11kk ，得 34k ， 此时直线l的方程为3 4 14 0x y 。6分 （2）因为弦长为 2，所以圆心到直线l的距离为 2 22 21 ( )2 2 ， 此时直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为 2 ( 2)y k x ，圆心(3,0)到直线2 2 0l :kx y k 的距离 2 21kd k ， 由 2 2 221kk ，得 2 8 7 ( 1)( 7) 0k k k k ， 所以 1 7k k 或 。10分 当 1k 时，直线l的一般方程为 4 0x y ；11分 当 7k 时，直线l的一般方程为7 16 0x y 。12分 21.解：（1）由题设知，点C到点F 的距离等于它
14、到直线 2x 的距离， 所以点C的轨迹是以F 为焦点 2x 为基准线的抛物线， 所以所求E的轨迹方程为 2 8y x 。.5分 （2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为 21 1 2( ) ( )k,P x ,y ,Q x ,y ， 则有 2 21 1 2 28 8y x ,y x ，两式作差得 2 21 2 1 28( )y y x x ，即得1 28ky y ， 因为线段PQ的中点的坐标为(11), ，所以 4k ，分 则直线l的方程为 1 4( 1)y x ，即 4 3y x ， 与 2 8y x 联立得 216 32 9 0x x ， 得 1 2 1 2 92 16x
15、x ,x x ， 2 21 2 1 2 9 1191 ( ) 4 17 4 4 16 2PQ k x x x x 。12分 22. （1）解：由题意知2 2 2322 2 3caca b c ， 解得213abc ， 所以椭圆C的方程为2 2 14x y 。4分 （2）证明：易知 (0,1) (0,-1)A ,B ， 则直线MA的方程为 1 1y xt ，直线MB的方程为 3 1y xt 。6分 联立 221 114y xtx y ，得224 8( 1) 0x xt t ， 于是 2 8 4p tx t ，2244ptyt 同理可得22 224 3636 36Q Qt tx ,yt t ， 所以直线PN 的斜率222124 1 124 28 164t ttk t tt ， 直线QN的斜率2222236 1 1236 224 1636t ttk t tt 11分 因为 1 2k k ， 所以直线PQ过定点 1(0 )2N , 12分
