1、 -1- 俯视图侧视图正视图 11111MQP DNCBA2018-2019 学年度第一 学期含山中学高 二年级 期末考试 理科 数学 试卷 命题人： 姚凌云 审 题人： 黄磊 一、选择题：本大题共 12个题，每小题 5分，共 60分 1.过 抛物线 2 4yx的焦点作直线交抛物线于 A（ 1x ， 1y ） 、 B（ 2x ， 2y ）两点，如果 1x 2x 6，那么 | AB |等于 A. 8 B. 10 C. 6 D 4 2.直 线 (a 2) x (1 a) y 3 0 与 (a 1) x (2a 3) y 2 0 互相垂直，则 a等于 A. 1 B. 1 C. 1 D 323.如图，
2、在四面体 ABCD中，截面 PQMN是正方形，则下列命题中 错误的 是 A AC BD B AC BD C /AC 截面 PQMN D 异面直线 PM BD与 所成的角为 45 4. 过圆 04222 yxyx 的圆心，且垂直于直线 012 yx 的直线方程为 A 042 yx B 052 yx C 042 yx D 042 yx 5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A 5 3 B 5 2 3 C 4 2 2 D 4 2 3 6.下列说法正确的个数是 “ 若 4ab，则 ,ab中至少有一个不小于 2” 的逆命题是真命题 命题 “ 设 ,a b R ，若 6ab，则 3a 或
3、3b ” 是一个真命题 “ 0xR， 2000xx” 的否定是 “ xR ， 2 0xx” 1ab是 ab 的一个必要不充分条件 A 0 B 1 C 2 D 3 -2- C1B1A1D CB A7.已知圆 O： 224xy上到直线 :l x y a的距离等于 1 的点至少有 2 个 ， 则 a的取值范围为 A 3 2,3 2 B , 3 2 3 2, C 2 2,2 2 D , 2 2 2 2, 8.如图所示，在正三棱柱 111中， 是 的中点， 1 = 2，则异面直线 1与 所成的角为 A 30 B 45 C 60 D 90 9.抛物线 2 8xy 的焦点为 ,过点 的直线交抛物线于 、 两
4、点，点 为 x轴正半轴上任意一点，则 ( + )( ) = A 20 B 12 C -12 D 20 10.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面 。 如图，在棱长为 1的正方体 1111中，点 ,分别是棱 1 , 11的中点，点 是棱 1的中点，则过线段 且平行于平面 1的截面的面积为 A.1 B 98 C 89 D 2 11.双曲线 x2a2y2b2 1（ 0， 0）的左右焦点为 1， 2，渐近线分别为 1， 2，过点 1且与 1垂直的直线分别交 1及 2于 ， 两点，若满足 = 121 + 12 ，则双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 5 D 2 12. 1-l A
5、 ,AC l,C B ,BD l,D AB= AC=BD= 已 知 直 二 面 角 ， 点 为 垂 足 ， 为 垂 足 ,若 2， 则 D 到平面 ABC 的距离等于 A 22 B 33 C 63 D 1 二、填空题：本 题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13.已知直线 ax by 1 0 在 y轴上的截距为 1，且它的倾斜角是直线 3x y 3 0 的倾斜角的2 倍，则 a的值 为 . 14.已知命题 :方程 19222 mymx 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 :双曲线 1522 mxy 的离心率-3- )2,26(e ，若 “ ” 为假命题， “ ” 为真命题，则 的取值范围是 _
6、15.中国古代数学经典九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（ bi no）若三棱锥 为鳖臑 ,且 平面 , = = 2,又该鳖臑的外接球的表面积为 24，则该鳖臑的体积为 . 16.抛 物线 ()x py p2 20的焦点为 F ,其准线与双曲线 xy22133 相 交于 A、 B两点，若 ABF为等边三角形，则 p . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 10 分） 已知圆 :( 3)2 +(4)2 = 4，直线 过定点 (1， 0) （ 1） 若直线 与圆 相切，求直线 的方程 ； （ 2） 若
7、直线 与圆 相交于 、 两点，且 | = 22，求直线 的方程 18.（ 12 分） 如图， 已知 和 所在平面互相垂直，且 = = 900， = , = ，点 ,分别在线段 ,上，沿直线 将 向上翻折使得 与 重合 . （ 1） 求证： ； （ 2） 求直线 与平面 所成角 . 19（ 12 分） 已知椭圆 )0(1: 2222 babyaxC 经过点 )23,1( ,离心率为 23 . （ 1） 求椭圆 C 的方程 ； （ 2） 直线 = ( 1)( 0)与椭圆 交于 ,两点 ,点 是椭圆 的右顶点 ,直线 与直线 分别与 轴交于 ,两点 ,试问在 轴上是否存在一个定点 使得 ?若是 ,求
8、出定点 的坐标 ;若不是 ,说明理由 . -4- C1B1A1CBA20.（ 12 分） 已知抛物线 xy 22 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 21,ll 分别交 C 于 A,B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点 . （ 1） 若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR /FQ； （ 2） 若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 . 21（ 12 分） 如图，三棱柱 ABC ABC 1 1 1中，四边形 AABB11 是菱形， BB A11= 3 ,CB11面 AABB11 ，二面角 C AB B11 为 6 （ 1） 求证：平面 A
9、CB1 平面 CBA1； （ 2） 求二面角 A AC B1 的余弦值 . 22.（ 12分） 设圆 2 +2 +2 15 = 0的圆心为 A，直线 l过点 B（ 1,0） 且与 x轴不重合 ， l交圆 A于 C， D两点，过 B作 AC的平行线交 AD于点 E. （ 1） 证明 |+|为定值，并写出点 E的轨迹方程； （ 2） 设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交 C1于 M,N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P,Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 . 2018-2019 学年度第一学期含山中学高二年级 期中考试 理科 数学参考答案 一、选择题 1A 2C 3B 4D 5
10、A 6C 7A 8C 9B 10B 11D 12C 二、 填空题 13. 3 14.( , , )50 3 52 15. 38 16.6 三、 解答题 17.（ 1） = 1 或 3 43 = 0 （ 5分） （ 2） = 1 或 = 7 7 （ 10分） 18.（ 1）面 面 ， 面 面 = , = 90， 面 （ 5分） （ 2）设 = = 1， 则 = = 2, = 2， 设 = ， 则 = = 2， 取 的中点 ， 连接 ,， 又 面 ,2 = 2 +2， (2)2 = 12 +2 + 12， = 1， 点 是 的中点， /, 面 ,为所求角的线面角 （ 9分） = 1, = 22 ,
11、 = 22 ， = 22 ， 所以直线 与平 面 所成角为 4. （ 12分） 19.（ ）由题意可知 12 + 342 = 1 ,又 = 32 ,即 222 = 34,2 = 42.解得 2 = 4,即 = 2. 所以 = 1.所以椭圆 的方程为 24 +2 = 1. （ 5分） （ ）设存在定点 (,0)使得 . 由 = ( 1),2 +42 4 = 0. 得 (42 +1)2 82 +4(2 1) = 0( 0). 设 (1,1),(2,2),则 1 +2 = 8242+1,12 = 4(21)42+1 . 因为 (2,0),所以直线 的方程为 : = 112( 2),则 (0,2112
12、), 直线 的方程为 : = 222( 2),则 (0,2222).则有 = (,2112), = (,2222),由 = 0得 2 + 412(12)(22)= 0,整理得 2 3 = 0,故 = 3 所以存在定点 (3,0)使得 . （ 12 分） 20. 有题意知 F（ 0,21 ），设直线 l1的方程为 y=a,直线 l2的方程为 y=b, 则 ab0,且 A ),2(2aa ,B ),2(2bb ,P ),21( a ,Q ),21( b ,R )2,21( ba 记过 A,B 两点的直线为 l，则 l的方程为 0)(2 abybax （ 1） 证明：由于 F 在线段 AB 上，故
13、01 ab 。记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1=a b a b ab bbka a ab a a 2221011122所以 AR|FQ. （ 6分） （ 2） 设 l与 x 轴的交点为 D（ x1,0） ,则 ,212121 1 xabFDabS ABF .2baS PQF 由题意可得 ,2211 baxab 所以 x1=0(舍去）或 x1=1. （ 8分） 设满足条件的 AB 的中点为 E（ x,y） .当 AB 与 X 轴不垂直时， kAB=kDE可得 ).1(12).1(12 2 xxyybaxxyba ，所以而 当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，此
14、时 E 点坐标为（ 1,0）， 满足方程 .12 xy 所以所求的轨迹方程为 .12 xy （ 12 分） 21.（ 1）证明：在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，由 1 1 1 1C B AABB面 得 11CB AABB面 ，则 1CB AB ，又 11AABB 是菱形 , 得 11AB AB ,而 1CB AB B,则 11AB ABC面 ,故平面 1ACB 平面 1CBA . （ 5 分） （ 2）由题意得 11ABB 为正三角形，取 11AB得中点为 D，连 CD,BD, 则 11BD AB ,又 11CB AB 易得 11CD AB ,则 CDB 为二面角 11C AB B的平
15、面角， 设 1BC , CDB = 6 ,所以 3BD ,所以 1 1 1 1 2AB BB AB 过 11,AB AB交点 O作 1OE AC ,垂足为 E,连 AE 则 AEO 为二面角 1A AC B的平面角 （ 9分） 又 5 ,35OE AO 得 455AE 所以 1cos 4AEO （ 12 分） 注：建坐标系用向量法相应给分。 22. （ 1） 由椭圆定义可得点 的轨迹方程为： ()xy y 221043 （ 5分） （ 2） 当 l与 x轴不垂直时，设 l的方程为 ， ， . . ， . . . 故四边形面积 . （ 9分） 可得 当 l与 x轴不垂直时 ，四边形面积的取值范围为 (12,8 3) . （ 11分） 当 l与 x轴 垂直时 ，四边形 MPNQ的面积为 12. 综上，四边形 MPNQ面积的取值范围为 )38,12 （ 12分）
