1、1第 2 讲 古典概型1(2017高考天津卷)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B.45 35C. D25 15解析：选 C.从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，有 10 种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)而取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共 4 种，故所求概率 P .410 252 “微信抢红包”自 2015
2、 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为 9 元，被随机分配为 1.49 元，1.31 元，2.19 元，3.40 元，0.61元，共 5 份，供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢一次， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4 元的概率是( )A. B.12 25C. D34 56解析：选 B.设事件 A 为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元” ，甲、乙两人抢到红包的所有结果为1.49，1.31，1.49，2.19，1.49，3.40，1.49，0.61，1.31，2.19，1.31，3.40，1.31，0.61，2.19，3.40，2.19，0.61，3.40
3、，0.61，共 10 种情况其中事件 A 的结果一共有 4 种情况，根据古典概型概率计算公式，得 P(A) ，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是 .故选 B.410 25 253在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )A. B.15 25C. D16 18解析：选 B.如图，2在正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，共有 15 种选法，其中构成的四边形是梯形的有 ABEF， BCDE， ABCF， CDEF， ABCD， ADEF，共 6 种情况，故构成的四边形是梯形的概率 P .615 254已知集合 M1，2，
4、3，4， N( a， b)|a M， b M， A 是集合 N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与 y x21 有交点的概率是( )A. B.12 13C. D14 18解析：选 C.易知过点(0，0)与 y x21 相切的直线为 y2 x(斜率小于 0 的无需考虑)，集合 N 中共有 16 个元素，其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共 4 个，由古典概型知概率为 .416 145如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数
5、的概率为( )A. B.310 15C. D110 120解析：选 C.从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为 .故选 C.1106从 2 名男生和 2 名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为_解析：将 2 名男生记为 A1， A2，2 名女生记为 B1， B2，任意选择两人在星期六、星
6、期日参加某公益活动有A1A2， A1B1， A1B2， A2B1， A2B2， B1B2， B1A1， B2A1， B1A2， B2A2， B2B1， A2A1共 12 种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有 A1B1， A1B2， A2B1， A2B2这 4 种情况，则其发生的概率为 .412 13答案：1337(2016高考四川卷)从 2，3，8，9 中任取两个不同的数字，分别记为 a， b，则logab 为整数的概率是_解析：从 2，3，8，9 中任取两个不同的数字，( a， b)的所有可能结果有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，
7、2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共 12 种，其中 log283，log 392 为整数，所以 logab 为整数的概率为 .16答案：168(2019福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是_解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为 a， b， c，则并排贴的情况有abc， acb， bac， bca， cab， cba，共 6 种，其中 b， c 相邻的情况有abc， acb， bca， cba，共 4 种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率 P .46 23
8、答案：239一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为a， b， c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足 a b c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”的概率解：(1)由题意知，( a， b， c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，
9、3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共 27 种设“抽取的卡片上的数字满足 a b c”为事件 A，则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种所以 P(A) .327 19因此， “抽取的卡片上的数字满足 a b c”的概率为 .19(2)设“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”为事件 B，则事件 包括(1，1，1)，B(2，2，2)，(3，3，3)，共 3 种所以 P(B)1 P( )1 .B327
10、894因此， “抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”的概率为 .8910全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标根据相关报道提供的全网传播 2017 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示组号 分组 频数1 4，5) 22 5，6) 83 6，7) 74 7，8 3(1)现从融合指数在4，5)和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在7，8内的概率；(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数解：(1)法
11、一：融合指数在7，8内的“省级卫视新闻台”记为 A1， A2， A3；融合指数在4，5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1， B2.从融合指数在4，5)和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是： A1， A2， A1， A3， A2， A3， A1， B1，A1， B2， A2， B1， A2， B2， A3， B1， A3， B2， B1， B2，共 10 个其中，至少有 1 家融合指数在7，8内的基本事件是： A1， A2， A1， A3， A2， A3，A1， B1， A1， B2， A2， B1， A2， B2， A3， B1， A3， B2，共 9 个所以所求的
12、概率 P .910法二：融合指数在7，8内的“省级卫视新闻台”记为 A1， A2， A3；融合指数在4，5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1， B2.从融合指数在4，5)和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是： A1， A2， A1， A3， A2， A3， A1， B1， A1， B2，A2， B1， A2， B2， A3， B1， A3， B2， B1， B2，共 10 个其中，没有 1 家融合指数在7，8内的基本事件是 B1， B2共 1 个所以所求的概率 P1 .110 910(2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数等于 4.5 5.5 6.52
13、20 8207.5 6.05.720 3201若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )5A. B.23 25C. D35 910解析：选 D.记事件 A：甲或乙被录用从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)，(甲、丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共 10 种可能，而 A 的对立事件 仅有A(丙，丁，戊)一种可能，所以 A 的对立事件 A 的概率为 P( ) ，所以 P(A)1 P( )A110 A.选 D.9102已知函数
14、 f(x) x3 ax2 b2x1，若 a 是从 1，2，3 三个数中任取的一个数， b13是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A. B.79 13C. D59 23解析：选 D.f( x) x22 ax b2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有 (2 a)24 b20，即 a2 b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值满足 a2 b2的有 6 个基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)
15、，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率为 .69 233一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为 a， b， c，当且仅当 ab， bc 时称为“凹数”(如 213，312 等)，若 a， b， c1，2，3，4，且 a， b， c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A. B.16 524C. D13 724解析：选 C.由 1，2，3 组成的三位数有 123，132，213，231，312，321，共 6 个；由1，2，4 组成的三位数有 124，142，214，241，412，421，共 6 个；由 1，3，4 组成的三位数有 134，143，314，341
16、，413，431，共 6 个；由 2，3，4 组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共 6 个所以共有 666624 个三位数当 b1 时，有 214，213，314，412，312，413，共 6 个“凹数” ；6当 b2 时，有 324，423，共 2 个“凹数” 所以这个三位数为“凹数”的概率是 .6 224 134(2019广州综合测试(一)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出自己的硬币若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. B.14 716C
17、. D12 916解析：选 B.抛四枚硬币，总的结果有 16 种， “没有相邻的两个人站进来”记为事件 A，可分为三类：一是没有人站起来，只有 1 种结果；二是有 1 人站起来，有 4 种结果；三是有 2 人站起来，可以是 AC 或 BD，有 2 种结果所以满足题意的结果共有 1427 种结果， P(A) .故选 B.7165根据我国颁布的环境空气质量指数(AQI)技术规定：空气质量指数划分为050、51100、101150、151200、201300 和大于 300 六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显专家建议：当空气质量指数小于等于
18、 150 时，可以进行户外运动；空气质量指数为 151 及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市 2017 年 10 月上旬的空气质量指数情况：时间 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269(1)求 10 月上旬市民不适合进行户外活动的概率；(2)一外地游客在 10 月上旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率解：(1)该试验的基本事件空间 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，基本事件总数 n10.设事件 A 为“市民不适合进行户外活动” ，则
19、A3，4，9，10，包含基本事件数m4.所以 P(A) ，410 257即 10 月上旬市民不适合进行户外活动的概率为 .25(2)该试验的基本事件空间 (1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，基本事件总数 n9，设事件 B 为“适合连续旅游两天的日期” ，则 B(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，包含基本事件数 m4，所以 P(B) ，所以适合连续旅游两天的概率为 .49 496 “顶香居”食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数 X 依次为 A， B， C， D， E.现从该种面包中随
20、机抽取 20 件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X A B C D E频率 0.1 0.2 0.45 0.15 0.1从等级系数为 A， D， E 的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)(1)求取出的两件样品是等级系数为 A 与 D 的概率；(2)求取出的两件样品是不同等级的概率解：(1) A 级所取的样品数为 200.12， D 级所取的样品数为 200.153， E 级所取的样品数为 200.12.将等级系数为 A 的 2 件样品分别记为 a1， a2；等级系数为 D 的 3 件样品分别记为x1， x2， x3；等级系数为 E 的 2 件样品分
21、别记为 y1， y2.现从 a1， a2， x1， x2， x3， y1， y2这 7 件样品中一次性任取两件，共有 21 种不同的结果，分别为a1， a2， a1， x1， a1， x2， a1， x3， a1， y1， a1， y2， a2， x1， a2， x2，a2， x3， a2， y1， a2， y2， x1， x2， x1， x3， x1， y1， x1， y2， x2， x3，x2， y1， x2， y2， x3， y1， x3， y2， y1， y2记事件 M 为“取出的两件样品是等级系数为 A 与 D”，则事件 M 所包含的基本事件有 6种，分别为 a1， x1， a1， x2， a1， x3， a2， x1， a2， x2， a2， x3所以事件 M 的概率 P(M) .621 27(2)记事件 L 为“取出的两件样品是不同等级” ，则事件 L 为“取出的两件样品是同等级” ，所以事件 L 所含的基本事件有 5 种，分别为 a1， a2， x1， x2， x1， x3， x2， x3，y1， y2，所以事件 的概率 P( ) ，L L5218所以 P(L)1 P( )1 ，L521 1621即取出的两件样品是不同等级的概率为 .1621
