1、- 1 -哈尔滨市第六中学 2019 届高三上学期期末考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间120 分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第卷（选择题）一
2、、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，则 中的元素的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】：集合 M 与集合 N 表示的集合都是点集，所以可以把两个方程联立，通过求方程的判别式来判定交点的个数【详解】：联立方程组 所以 判别式 ，所以 的解集只有一个故选 B【点睛】：本题考查了两个集合的交点个数问题，主要注意两个集合都为点集，所以交集的个数也就是两个方程的解的个数，因此可以通过方程思想来解，属于简单题2.“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件- 2
3、-C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由纯虚数的概念可得： ，即 m2 或 m2，又“ m2”是“ m2 或 m2”的充分不必要条件，即可得解【详解】 “复数 z m24+ mi 为纯虚数”的充要条件为： ，即 m2 或 m2，又“ m2”是“ m2 或 m2”的充分不必要条件，即“ m2”是“复数 z m24+ mi 为纯虚数”的充分不必要条件，故选： A【点睛】本题考查了复数的概念及充分、必要条件，属于简单题3.我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何 ”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头
4、部 1 尺，重 4斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ）A. 6 斤 B. 7 斤 C. 8 斤 D. 9 斤【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知 ，求 的值.由等差数列的性质可知： ，则 ，即中间三尺共重 斤.本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.- 3 -4.若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A. 2 B. 4 C. 18 D.
5、 36【答案】C【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程 ，利用题设垂直，求得 ，即可得到双曲线的实轴长详解：由双曲线的方程 ，可得一条渐近线的方程为 ，所以 ，解得 ，所以双曲线的实轴长为 ，故选 C点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力5.袋中有大小完全相同的 2 个白球和 3 个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件 ， “摸得的两球同色”为事件 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】= ,选 C.6.已知平面向量 的夹角为 且 ，在 中， ， ， 为中点，则
6、 ( )A. B. C. 6 D. 12【答案】A【解析】【分析】运用平行四边形法则和向量模长的计算可得结果【详解】根据题意得， （ ） 3 2 2 ，- 4 - 2（2 2 ） 24 28 4 248 42248+1612， 2 ，故选： A【点睛】本题考查平行四边形法则，向量模长的运算，属于基础题7.如图，半径为 的圆 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为 ，这四个小圆都与圆 内切，且相邻两小圆外切，则在圆 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，易知 四点在以 为圆心， 为半径的圆上，连接 .设这四个小圆的半径为 ，则 ， .因为圆
7、O 内的这四个小圆都与圆 内切，且相邻两小圆外切，所以 ，所以 ，即 ，解得 ，故所求事件的概率为 .故选 D.8.已知将函数 向右平移 个单位长度后,所得图象关于 轴对称，且 ,则当 取最小值时，函数 的解析式为( )- 5 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律，三角函数的图象的对称性，可得 k， kZ， ，求得 的值，可得函数 f（ x）的解析式【详解】将函数 向右平移 个单位长度后，可得 ycos（ x）的图象，根据所得图象关于 y 轴对称，可得 k， kZ再根据 ，可得 cos ， ， k，12 k+3，则当 3 取最小值时，函数 f（ x）的解
8、析式为 f（ x）cos（3 x ） ，故选： C【点睛】本题主要考查函数 y Asin（ x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题9.在正方体 中， 分别为棱 的中点，用过点 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )A. B. - 6 -C. D. 【答案】C【解析】取 的中点 连 ，则 为过点 ， ， 的平面与正方体的面 的交线延长 ，交 的延长线与点 ，连 ，交 于 ，则 为过点 ， ， 的平面与正方体的面的交线同理，延长 ，交 的延长线于 ，连 ，交 于点 ，则 为过点 ， ， 的平面与正方体的面 的交线所以过点 ， ， 的平面截正方体所得的截面为图中
9、的六边形 故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项 C 所示选 C 10.若函数 的图象在 处的切线与圆 相切，则 的最大值是（ ）A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】先利用导数求出函数 y f（ x）的图象在 x0 处的切线方程，利用该直线与圆相切，得出a2+b21，然后再利用基本不等式可求出 a+b 的最大值【详解】函数 f（ x）求导得 ， ， ，所以，函数 的图象在 x0 处的切线方程为 ，即- 7 -bx+ay+10，该直线与圆 x2+y21 相切，则有 ，化简得 a2+b21，由基本不等式可得（ a+b） 2 a2+b2+2ab2（ a2+b2）2，
10、所以， ，当且仅当 a b 时等号成立，所以， a+b 的最大值为 故选： B【点睛】本题考查圆的切线方程，解决本题的关键在于转化直线与圆相切的问题，考查计算能力与转化能力，属于中档题11.已知数列 为正项的递增等比数列， ，记数列 的前 n 项和为 ，则使不等式 2018 成立的最大正整数 n 的值为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】设正项的递增等比数列 an的公比为 q1，由 a1+a582， a2a481 a1a5，联立解得a1， a5解得 q可得 an利用等比数列的求和公式可得数列 的前 n 项和为 Tn代入不等式 ，即可得出结果【详解】设正项的递增
11、等比数列 an的公比为 q1， a1+a582， a2a481 a1a5，联立解得 a11， a581 q481，解得 q3 an3 n1 数列 的前 n 项和为 Tn22 2 3（1 ） - 8 -则不等式 化为：2018 1，即 3n20183 6729，3 72187使不等式 成立的最大正整数的值为 6故选： B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数 在定义域 上单调递增，且对于任意 ，方程有且只有一个实数解，则函数 在区间 上的所有零点的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】数 在定义域 上单调递增
12、，且对于任意 ，方程 有且只有一个实数解，则 是连续函数,可得 ,画出 与 的图象,图象交点横坐标就是函数 的零点,由图知, 在区间 （ ）上的所有零点的和为,故选 B.- 9 -【方法点睛】本题主要考查函数零点与图象交点之间的关系及分段函数的解析式及图象，属于难题.函数零点个数的三种判断方法:(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间 a， b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个
13、数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点第卷（非选择题）二、填空题13. 的展开式中， 的系数为_.【答案】160【解析】展开式的通项为： ，令 ，所以系数为：故答案为：16014.若实数 x,y 满足不等式组 ，则 的最大值为_.【答案】log 210【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】由 u x2 y+6 得 y x 3，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）- 10 -平移直线 y x 3，由图象可知当直线过点 A 时，直线的截距最小，此时 z 最大，由 ，得 A（4，0） ，代入目标函数 u x2 y+6，得 z1
14、0，目标函数 u x2 y+6 的最大值是 10，则 zlog 2（ x2 y+6）的最大值为：log 210故答案为：log 210【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题15.由 1，2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且 4 不在第四位，则这样的六位数共有_个.【答案】120【解析】试题分析：先排 3 个偶数，从左到右有 4 个空，如排 1,2,3 个空，由于 4 不在第四位，共有种，若排 1，2,4 个空，共有 ，若排 1,3,4 则 4 不会在第四位，共有 种，若排 2,3,
15、4 个空，则 4 不会在第四位，共有 ，因此共有 24+24+36+36=120 种，故答案为 120 种.考点：排列组合的综合应用.16.如图，直三棱柱 中, ， ， ，外接球的球心为 ，点 是侧棱 上的一个动点.有下列判断：- 11 - 直线 与直线 是异面直线； 一定不垂直 ； 三棱锥 的体积为定值； 的最小值为 .其中正确的序号序号是_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断；利用线面垂直的判定与性质判断；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断；设 BE x，列出 AE+EC1关于 x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断【详解】如图，直线 AC 经过平面 BCC
16、1B1内的点 C，而直线 C1E 在平面 BCC1B1内不过 C，直线 AC 与直线 C1E 是异面直线，故正确；当 E 与 B 重合时， AB1 A1B，而 C1B1 A1B， A1B平面 AB1C1，则 A1E 垂直 AC1，故错误；由题意知，直三棱柱 ABC A1B1C1的外接球的球心为 O 是 AC1 与 A1C 的交点，则 AA1O 的面积为定值，由 BB1平面 AA1C1C， E 到平面 AA1O 的距离为定值，三棱锥 E AA1O 的体积为定值，故正确；设 BE x，则 B1E2 x， AE+EC1 由其几何意义，即平面内动点（ x，1）与两定点（0，0） ， （2，0）距离和的
17、最小值知，其最小值为 2 ，故正确- 12 -故答案为：【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题三、解答题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.在 中,角 的对边分别为 , 边上的中线 ,且满足 .(1)求 的大小；(2)若 ，求 的周长的取值范围【答案】(1) ;(2) 周长的取值范围是 .【解析】试题分析:在 , 中分别利用余弦定理 ,写出 的表达式,化简后可求得 的值,代入已知条件可化简得到 的余弦值 ,进而求得角的大小.(2)利用正弦定理将边转化为角的形式,即 ,根据 可求得周长的取值范围.试题解析:（1）在 中，由余弦定理得： ， 在
18、 中，由余弦定理得： ， 因为 ，所以 ，+得： ， 即 ， 代入已知条件 ，得 ，即 ， ，又 ，所以 .（2）在 中由正弦定理得 ，又 ，所以 ， ， ， 为锐角三角形，- 13 - ， 周长的取值范围为 18.如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 分别是棱 上的动点，且.（1）求证： ；（2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求二面角 的正切值【答案】 （1）见证明；（2） 【解析】【分析】设 AE BF x以 D 为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标（1）通过计算 ，证明 A1F C1E（2）判断当 S BEF取得最大值时，三棱锥 B1 BEF 的体积取得最大值求出平面 B1EF 的
19、法向量，底面 ABCD 的法向量，设二面角 B1 EF B 的平面角为 ，利用空间向量的数量积求出，然后求解二面角 B1 EF B 的正切值【详解】设 AE BF x以 D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标： D（0，0，0） ，A（2，0，0） ， B（2，2，0） ， C（0，2，0） ， D1（0，0，2） ， A1（2，0，2） ， B1（2，2，2） ，C1（0，2，2） ， E（2， x，0） ， F（2 x，2，0） （1）因为 ， ，- 14 -所以 所以 A1F C1E（2）因为 ，所以当 S BEF取得最大值时，三棱锥 B1 BEF 的体积取得最大值因为 ，所以当 x1
20、 时，即 E， F 分别是棱 AB， BC 的中点时，三棱锥 B1 BEF 的体积取得最大值，此时 E， F 坐标分别为 E（2，1，0） ， F（1，2，0） 设平面 B1EF 的法向量为 ，则 得取 a2， b2， c1，得 显然底面 ABCD 的法向量为 设二面角 B1 EF B 的平面角为 ，由题意知 为锐角因为 ，所以 ，于是 所以 ，即二面角 B1 EF B 的正切值为 【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，直线与直线的垂直，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19.2011 年，国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 14 日设为“国际数学节” ，其来源是中国古代数学
21、家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的“数学嘉年华”活动中,设计了如下的有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，则分别获得 5 个、10 个、20 个学豆的奖励游戏还规定：当选手闯过一关后，可以选择带- 15 -走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为 ，选手选择继续闯关的概率均为 ，且各关之间闯关成功与否互不影响（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）设该选手所得学豆总数为 ，求 的分布列及数学期望【答案】 （1） ；（2） .【解析
22、】试题分析：（1）设“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件 ,“第一关闯关成功“第二关闯关失败”为事件 ,“前两关闯关成功第二关闯关失败”为事件 , 互斥, 由此能求出第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）由题意 的可能取值为 分别求出相应的概率, 由此能求出 的分布列和 .试题解析：（1）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件 ， “第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件 ， “前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件 ，则 互斥，（2） 所有可能的取值为，所以 的分布列为：- 16 -考点：1、独立事件同时发生的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.20.已知直线 与圆 相交的弦长
23、等于椭圆 的焦距长（1）求椭圆 的方程；（2）已知 为原点，椭圆 与抛物线 交于 两点，点 为椭圆 上一动点，若直线 与 轴分别交于 两点，求证： 为定值【答案】 （1） （2）见解析【解析】【试题分析】 （1）利用圆心到直线的距离计算出直线与圆相交的弦长，得到 .利用求得 ，得到椭圆方程.（2）设出 三个点的坐标，利用点斜式写出直线的方程，令 求得 两点的坐标，代入 并利用 两点在椭圆上进行化简.【试题解析】解：（1）由题意知，圆心 到直线 的距离为 ，圆的半径为 ，直线与圆相交的弦长为 ，则 ， ， 又 ， ，椭圆 的方程 （2）证明：由条件可知， ， 两点关于 轴对称，设 ， ，则 ，由
24、题可知， ， ，所以 ， 又直线 的方程为 ，令 得点 的横坐标 ，同理可得 点的横坐标 ，- 17 -所以，即 为定值【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆相交所得弦长求法，考查点斜式方程和点与圆锥曲线的位置关系.由于题目涉及直线和圆相交所得弦长，故先利用点到直线距离公式，利用直角三角形求得弦长即 .由于 两点是由直线交 轴而得，故利用点斜式写出直线方程，然后令 求出坐标.21.已知函数（1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；（2）当 时，证明： 【答案】 （1） .（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由 ，得 恒成立，令 .求出 的最小值，即可得到 的取值范围
25、； 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和.只需证明 即可.试题解析：（1）由 ，得 .整理，得 恒成立，即 .令 .则 .函数 在 上单调递减，在 上单调递增.函数 的最小值为 . ，即 . 的取值范围是 .- 18 -（2） 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和.只需证明 即可.由（1） ，当 时，有 ，即 .令 ，即得 . .现证明 ，即 . 现证明 .构造函数 ，则 .函数 在 上是增函数，即 .当 时，有 ，即 成立.令 ，则 式成立.综上，得 .对数列 ， ， 分别求前 项和，得.22.选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程是 （ 是参数， ） ，直线 的参数方程是
26、 （ 是参数） ，曲线 与直线 有一个公共点在 轴上，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 的极坐标方程；- 19 -（2）若点 ， ， 在曲线 上，求 的值【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）消去直线 l 的参数 t 得普通方程，令 y0，得 x 的值，即求得直线与 x 轴的交点；消去曲线 C 的参数即得 C 的普通方程，再把上面求得的点代入此方程即可求出 a 的值；（2）把点 A、 B、 C 的极坐标化为直角坐标，代入曲线 C 的方程，可得 ，即 ，同理得出其它，代入即可得出答案【详解】 （）直线 l 的参数方程是 （ t 为参数） ，消去参数 t 得 x
27、+y2，令y0，得 x2曲线 C 的参数方程是 （ 为参数， a0） ，消去参数 得 ，把点（2，0）代入上述方程得 a2曲线 C 普通方程为 （）点 在曲线 C 上，即 A（ 1cos， 1sin） ， 在曲线 C 上，= = - 20 -= 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标的问题，考查了极坐标的应用，熟练进行恒等变形是解题的关键，属于中档题23.选修 45：不等式选讲已知函数 .（1）若 的解集为 ，求实数 的值；（2）当 且 时，解关于 的不等式 【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数 a，m 的值（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集试题解析：（1）因为 ， ， ， （2） 等价于 ，当 ， ， ，所以舍去；当 ， ， ，成立；当 ， 成立所以，原不等式解集是 - 21 -
