1、- 1 -2018-2019 学年度高三上学期期末考试理科数学一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解方程组 ，得 故 选 D2.若双曲线 的一个焦点为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为双曲线 的一个焦点为 ，所以 ，故选 B.3.已知 且 则向量 在 方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 与 的夹角为，向量 在 方向上的投影为故选- 2 -4.已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列，则数列
2、 的前 项和为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前 n项和公式可得 Sn【详解】设等差数列 an的公差为 d， a12，且 a1， a2， a5成等比数列 a1a5，即（2+ d） 22（2+4 d） ，解得 d0 或 4 an2，或 an2+4（ n1）4 n2当 d0 时，数列 an的前 n项和为：2 n；当 d4 时，则数列 an的前 n项和为：2 n 2n2故选： C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.函数 的图像大致
3、为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先求出函数的定义域，结合函数图象进行排除，再利用特殊值的符号得到答案详解：令 ，- 3 -得 或 ，故排除选项 A、D，由 ，故排除选项 C，故选 B点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力6. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线
4、可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以 A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故 B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故 D错；故选项 C正确.点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.7.阿波罗尼斯(约公元前 262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且 )的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 间的距离为 2,动点 满足 当 不共线时， 面积的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，以经过 的直线为 轴
5、，线段 的垂直平分线为 轴，建立- 4 -直角坐标系；则： 设，两边平方并整理得： ， 面积的最大值是 选 A8.设函数 则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得 f（ x）为奇函数且在 R上为增函数，则有 f（12 x）+ f（ x）0 f（12 x） f（ x） f（12 x） f（ x） 12 x x，解可得 x的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，函数 f（ x）2 x2 x，则 f（ x）2 x2 x（2 x2 x） f（ x） ， f（ x）为奇函数，又由 f（ x）2 x2 x，其导数为 f（ x）（2 x+2 x） ln20
6、，则函数 f（ x）在 R上为增函数，则 f（12 x）+ f（ x）0 f（12 x） f（ x） f（12 x） f（ x）12 x x，解可得： x1，即不等式的解集为（，1） ；故选： A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析 f（ x）的单调性以及奇偶性，属于基础题9.在 中，点 满足 ，当 点在线段 （不包含端点）上移动时，若，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】- 5 -【分析】根据题意画出图形，利用 、 表示出 ，再利用 表示出 ，求出 与 ，然后利用对勾函数的单调性求 的取值范围【详解】如图所示， ABC中， ， （ ） ，又点
7、E在线段 AD（不含端点）上移动，设 k ，0 k1， ，又 ， ， 在（0，1）上单调递减， 的取值范围为（ ，+） ，故选： C【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是中档题10.已知函数 的图象的一个对称中心为 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A- 6 -【解析】当 时， ，当 时， 或 ， ，两式相减，得 或 ， ，即 或 ， ，又因为 ，所以 的最小值为 故选 .解法 2：直接令 ，得 ，解得 故选 .11.在底面是边长为 2的正方形的四棱锥 中，点 在底面的射影 为正方形 的中心，异面直线 与 所成角的正切值为 2，若四棱锥
8、的内切球半径为 ，外接球的半径为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】易知 P ABCD为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通过方程解得，求解过程不难【详解】如图， E， F为 AB， CD的中点，由题意， P ABCD为正四棱锥，底边长为 2， BC AD， PBC即为 PB与 AD所成角，可得斜高为 2， PEF为正三角形，正四棱锥 P ABCD的内切球半径即为 PEF的内切圆半径，可得 r ，设 O为外接球球心，- 7 -在 Rt OHA中， ，解得 R ， ，故选： B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确
9、定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 12.设数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过 的最大整数，则（ ）A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021【答案】C【解析】【分析】an+22 an+1+an2，可得 an+2 an+1（ an+1 an）2， a2 a14利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出【详解】 an+22 an+1+an2， an+2 an+1（ an+1
10、an）2，a2 a14 an+1 an是等差数列，首项为 4，公差为 2 an+1 an4+2（ n1）2 n+2 n2 时， an（ an an1 ）+（ an1 an2 ）+（ a2 a1）+ a1- 8 -2 n+2（ n1）+22+2 n（ n+1） 1 2+20182020故选： C【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.已知 满足不等式 ，则 的最大值为_【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=x+2y得 y= x+ z，平移直线
11、 y= x+ z由图象可知当直线 y= x+ z经过点 A时，直线 y= x+ z的截距最大，此时 z最大，由 ，即 ，即 A（0，1） ，此时 z=0+2=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形- 9 -结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.四棱锥的三视图如图所示（单位： ） ，则该四棱锥的体积是_ 【答案】12【解析】【分析】首先还原几何体，根据图中数据计算几
12、何体体积【详解】由三视图得到几何体如图：体积为 12；故答案为：12【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.15.设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点， 是线段 上的点，且 ，则直线 斜率的最大值为 _- 10 -【答案】【解析】由题意可得 F（ ，0） ，设 P（ ，y 0） ，显然当 y00，k OM0；当 y00，k OM0要求 kOM的最大值，设 y00，则 可得当且仅当 y02=2p2，取得等号故答案为： .点睛：本题主要
13、考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.16.已知函数 ，若 有两个零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】f（ x）有两个零点方程 x2lnx a有两个正实根令 g（ x） x2lnx， g（ x）2 xlnx+x2 x（2 lnx+1） ，研究函数的单调性与极值即可.【详解】 x0，函数 ，若 f（ x）有两个零点方程 x2lnx a有两个正实根- 11 -令 g（ x） x2lnx， g（ x）2 x
14、lnx+x2 x（2 lnx+1） ，令 g（ x）0，可得 x ， g（ x）在（0， ）递减，在（ ，+）递增，函数 g（ x）的大致图象如下：g（ ） ，由图象可得： a （ ）实数 a的取值范围是（ ） 故答案为： 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17
15、. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .（1）求角 的值；（2）若 的面积为 ，且 ，求 外接圆的面积.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出 sinB2sin BcosA，结合 sinB0，可得 cosA ，- 12 -由范围 A（0，） ，可求 A （2）利用三角形的面积公式可求 bc12，由余弦定理可得 a的值，设三角形的外接圆半径为 R，由正弦定理可得 R，进而根据圆的面积公式求解即可【详解】 （1） .由正弦定理得 ， ，又 ，（2）由（1）知 ，由余弦定理 ，又 ， ，又 ，又 ， ， .【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差
16、公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.已知数列 满足 .（1）证明：数列 是等比数列；（2）令 ，数列 的前 项和为 ，求 .【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义即可得证；（2）求得 bn n（ an+1） n2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和【详解】 （1）由 得： ， ，- 13 -从而由 得 ， 是以 2为首项，2 为公比的等比数列（2）由（1）得 ， ， ，.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档
17、题19.如图，在直角三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， ，.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 ；（3）若直线 和平面 所成角的正弦值等于 ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，取 AB的中点 M，连接 MF，利用三角形中位线定理及其培训说不定判定定理可得四边形 MFC1E是平行四边形，于是 C1F EM，再利用线面平行的判定定理即可判断出结论;（2）由直三棱柱 ABC A1B1C1，可得 BB1底面 ABC， BB1 AB，再利用线面垂直的判定定理面- 14 -面垂直的判定定理即可证明结论;（3）由（2）可知： AB
18、BC可建立如图所示的空间直角坐标系求出平面 ABE和平面 CBE的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】 （1）证明：如图所示，取 AB的中点 M，连接 MF，则 MF AC，又 EC1 AC， EC1 MF，四边形 MFC1E是平行四边形， C1F EM，又 C1F平面 ABE；EM平面 ABE； C1F平面 ABE（2）证明：由直三棱柱 ABC A1B1C1， BB1底面 ABC， BB1 AB，又 C1F AB， BB1与 C1F相交， AB平面 ABE，又 AB平面 ABE，平面 ABE平面 B1BCC1；（3）解：由（2）可知： AB BC因此可建立如图所示的空间直角坐标系 F（0
19、，1，0） ，设 C1（0，2， t） （ t0） ，（0，1， t） 由题意可取平面 ACC1A1的法向量为 （1，1，0） 直线 C1F和平面 ACC1A1所成角的正弦值等于 ， |cos | ，解得 t2 E（1，1，2） ， A（2，0，0） ， C（0，2，0） ， （2，0，0） ， （1，1，2） ，（0，2，0） 设平面 ABE的法向量为 （ x， y， z） ，则 0，可得： x0， x+y+2z0，取 y2，可得： （0，2，1） - 15 -同理可得平面 CBE的法向量为 （2，0，1） cos 二面角 A BE C的余弦值为 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是
20、：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知椭圆 经过点 ，长轴长是短轴长的 2倍.（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 经过点 且与椭圆 相交于 ， 两点（异于点 ） ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据经过点 M（0，1） ，长轴长是短轴长的 2倍，可得 b1， a2，得出椭圆方程；（2）设直线 AB斜率为 k，
21、联立方程组，根据根与系数的关系计算 k1+k2化简【详解】 （1）椭圆 经过点 ， .又 ， .- 16 -椭圆 的标准方程为： .（2）若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时直线与椭圆相切，不符合题意.设直线 的方程为 ，即 .联立 ，得 .设 ， ，则. 为定值，且定值为 1.【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21.已知函数 ，记 在点 处的切线为 .（1）当 时，求证：函数 的图像（除切点外）均为切线 的下方；（2）当 时，求 的最小值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（
22、1）求得 f（ x）的导数，考虑极值点以及函数的凹凸性，即可得证；（2）讨论 a0， a0， a1， a1，0 a1 时，函数 h（ x） f（ x）2 lnx的导数和单调性，最值，即可得到所求 g（ x）的最小值【详解】 （1）设切线方程为- 17 -记 .， ， ，,在 上单调递减.， ， 在 上单调递增， ， 在 上单调递减. ，即 ，当且仅当 时取“ ”.故命题成立（2） .设 ， ，1)当 时， ，则 在 上单调递减，且 . ， 在 上单调递增.2)当 时， ，设 ， ， 有两根 ， ， ，不妨令 ， ，即 ， 在 上单调递减， ，即 ， 在 上单调递增，当 ，即 ， ， 在 上单调
23、递增.， ； 当 ，即 时， ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，- 18 -，存在 使得 ， .综上可得 .【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于难题22.在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数） ，在以 为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 . （1）写出曲线 和 的普通方程；（2）若曲线 上有一动点 ，曲线 上有一动点 ，求 的最小值.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）曲线 C1 的参数方程消去参数，能求出曲线 C1的普通方程；由曲线 能求出曲线 C2的普通方程；（2）设
24、M（2cos ） ，则| MN|的最小值是 M到直线 C2的距离 d的最小值，由此能求出|MN|的最小值【详解】 （1） ，.（2）设 ，结合图形可知： 最小值即为点 到直线 的距离的最小值. 到直线 的距离 ，- 19 -当 时， 最小，即 .【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查直角坐标方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23.已知 函数(1)当 时,求不等式 的解集；(2)当 的最小值为 3时,求 的最小值.【答案】 （1） ；（2）3【解析】【分析】（1）通过讨论 x的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为 a+b+c3，然后用基本不等式可得【详解】 （1） ， 或 或 ，解得 .（2） ，.当且仅当 时取得最小值 3.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想- 20 -
