1、- 1 -圆内接正多边形一课一练基础闯关题组一 圆内接正多边形的概念及计算1.(2017红桥模拟)如图,正六边形螺帽的边长是 2cm,这个扳手的开口 a 的值应是 ( )A.2 cm B. cm C. cm D.1 cm3 3233【解析】选 A.连接 AC,过 B 作 BDAC 于 D.AB=BC,ABC 是等腰三角形,AD=CD,此多边形为正六边形,ABC= =120,18046ABD= =60,BAD=30,1202AD=ABcos 30=2 = ,a=2 cm.32 3 32.(2017沈阳中考)正六边形 ABCDEF 内接于O,正六边形的周长是 12,则O 的半径是 ( )世纪金榜导
2、学号 18574140A. B.2 C.2 D.23 2 3【解析】选 B.连接 OB,OC,多边形 ABCDEF 是正六边形,BOC=60,OB=OC,OBC 是等边三角形,OB=BC,- 2 -正六边形的周长是 12,BC=2,O 的半径是 2.3.(2017达州中考)以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是 世纪金榜导学号 18574141( )A. B. C. D.22 32 2 3【解析】选 A.如图 1,OC=2,OD=2sin30=1;如图 2,OB=2,OE=2sin45= ;2如图 3,OA=2,OD=2cos30= ,3则
3、该三角形的三边分别为:1, , ,2 31 2+( )2=( )2,该三角形是直角三角形,2 3该三角形的面积是 1 = .12 2 22题组二 正多边形的作法及应用1.如图所示,菱形花坛 ABCD 的边长为 6m,B=60,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长(粗线部分)为 ( )A.12 m B.20m C.22m D.24m3【解析】选 B.如图,边长为 6,所以 AF=GF=BG=2,可得正六边形的边长为 2,又正六边形有一个公共边 OE,所以可得两个正六边形的周长为 62+62-4=20,- 3 -种花部分的图形周长为 20m.2.割圆术是我国古代数学家刘徽创
4、造的一种求周长和面积的方法:随着圆内接正多边形边数的增加,它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.试用这个方法解决问题:如图,的内接多边形周长为 3,O 的外切多边形周长为 3.4,则下列各数中与此圆的周长最接近的是 世纪金榜导学号 18574142( )A. B. C. D.6 8 10 17【解析】选 C.圆外切多边形的周长大于圆周长,圆内接多边形的周长小于圆周长.圆的内接多边形周长为3,外切多边形周长为 3.4,所以圆周长在 3 与 3.4 之间.3 2=9,3.42=11.56, 圆的周长 ,9 11.56只有 C
5、 选项满足条件.3.粉笔是校园中最常见的必备品.现有一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为 50 支.如图是它的横截面(矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为 12mm,由此估算矩形 ABCD 的周长约为_mm.【解题指南】把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的问题计算即可.【解析】作 BMCD,CMBM于点 M.粉笔的半径是 6mm.则边长是 6mm.MBC=60,BM=BCcos60=612=3(mm),- 4 -CM=BCsin60=6 =3 (mm).32 3则题干图中,AB=CD=113 =33 (mm).3 3AD=BC=56+512+3=93(mm).则周长是:233 +
6、293=(66 +186)mm.3 3答案:(66 +186)34.(2017岳阳中考)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为圆内接正多边形边数无限增加时,周长就越接近圆周长,由此求得了圆周率 的近似值.设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 L,圆的直径为d.如图所示,当 n=6 时, = =3,那么当 n=12 时, =_.(结果精确到 0.01,参考数据:L62 Lsin15=cos750.259) 世纪金榜导学号 18574143【解析】如图所示,因为 n=12,则AOB=30,AOC=15.在直角三角形 AOC 中,sin15= = 0.259,所以 AC0.259r,A
7、AAB=2AC=0.518r,L=12AB=6.216r,所以 = =3.1083.11.L6.2162答案:3.115.在学习圆与正多边形时,马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:(1)如图,作直径 AD.(2)作半径 OD 的垂直平分线,交O 于 B,C 两点.(3)连接 AB,AC,那么ABC 为所求的三角形.- 5 -请你判断两位同学的作法是否正确,如果正确,请你按照两位同学设计的画法,画出ABC,然后给出ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由.【解析】两位同学的作法正确.连接 BO,CO,BC 垂直平分 OD,直角OEB 中,cosBOE= = ,O12B
8、OE=60.由垂径定理得COE=BOE=60,由于 AD 为直径,AOB=AOC=120,AB=BC=CA,即ABC 为等边三角形.(2017徐州模拟)如图,正六边形 ABCDEF 的周长是 12,求这个正六边形的面积. 世纪金榜导学号18574144【解析】连接正六边形的中心 O 和两个顶点 D,E,得到ODE,正六边形的周长是 12,- 6 -正六边形的边长是 2,DOE=360 =60,OD=OE,16ODE=OED=(180-60)2=60,则ODE 为正三角形,OD=OE=DE=2,S ODE = DEOEsin 60= 22 = .12 12 32 3正六边形的面积为 6 =6 .
9、3 3【母题变式】变式一(变换条件)已知一个正六边形的面积是 12 cm2,求这个正六边形的边长.3【解析】如图,连接正六边形的中心 O 和两个顶点 D,E,得到ODE,DOE=360 =60,OD=OE,16ODE=OED=(180-60)2=60,则ODE 为正三角形,OD=OE=DE,设 DE=x,S ODE = DEOEsin 60= x2,12 12 32正六边形的面积为 12 ,36 x2=12 .12 32 3x=2 (负值舍去).2正六边形的边长是 2 .2- 7 -变式二(变换条件、结论)正方形的边长为 6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为_.【解析】正方形的边长为 6,AB=3,又AOB=45,OB=3,AO= =3 .32+32 2答案:3 ,32
