1、1吉林省长春外国语学校 2019 届高三数学上学期期末考试试题 理本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须 用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷
2、一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合 ，以下正确的是（ ）22,AyxRBxyxRA. B. C. D. BAB2.设复数 1z， 2在复平面内的对应点关于实轴对称， 1iz，则 12z（ ）A B C 1i D3.已知命题 ，则命题 的否定（ ）3,68pxx： pA B1： 31,68xx：C D3000,xx： 0001：4.在等比数列 中，已知 ，则 的值 为（ ）na57124,8a5aA B C D124165.已知 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）abRab2A B C D2ab1alg()0ab1(
3、)2ab6.已知向量 , ,x，若 与 共线,则实数 x的值是（ ）A. -2 B. 2 C.-4 D. 47.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）A. B. C. D. 56728.执行如图的程序框图，则输出的 值为（ ）SA. 1 B. C. D. 03219.521x展开式中，含 2x项的系数为（ ）A 30 B 7 C 90 D 15010.等差数列 的公差为 ，关于 的不等式 的解集为 ，则使数列nadx210dxa,9的前项和 最大的正整数的值是（ ）nSA4 B5 C6 D711.记不等式组 表示的平面区域为 ，点 的坐标为 .有下面四个命题：2 0xyP,
4、xy： ， 的最小值为 6； ： ， ；1pPxy2p2405： ， 的最大值为 6； ： ， .3 4P25xy其中的真命题是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，1p41p22p33p412.已知函数 ，函数 有 4 个零点，则实数ln,0 xeffFxfax3的取值范围是（ ）aA. B. C. D. 0,e10,e,e1,e）第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13.已知 3a， 2b，若 ab，则 a与 b的夹角是_14.已知随机变量 1,N，若 (3)0.2P，则 1P_15.用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是
5、_16.在四面体 ABCD中，若 3， 2ACBD， 5C，则四面体 的外接球的表面积为_三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（12 分）已知向量 sin,1ax， 13cos,2bx，函数 2fxb（1）求函数 f的单调递增区间；（2）已知 ,ac分别为 ABC内角 ,的对边，其中 A为锐角， 3,1ac，且fA，求 的面积 S.18. (12 分)如图，四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD， AD BC， AB AD AC3，PA BC4， M 为线段 AD 上一点， AM2 MD， N 为 PC 的中点（1）证明 MN平面 P
6、AB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.419. (12 分) 已知数列 的前 项和 满足 )2(1NnSn， ，且 .nanS 1a（1）求数列的通项公式 ；（2）记 ， 为 的前 项和，求使 成立的 的最小值.1nabTnbnT20. (12 分)某学校在学校内招募了 名男志愿者和 名女志愿者.将这 名志愿者的身121830高编成如下茎叶图(单位: ),若身高在 以上(包括 )定义为“高个子”,身cm75c75cm高在 以下( 不包括 )定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼175c75仪小姐”.（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 人,
7、再从这 人中选5人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?2（2）若从所有“高个子”中选 名志愿者,用 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的3X人数,试写出 的分布列,并求 的数学期望.X21. (12 分)已知函数 （ a 为常数）.2ln1fxax（1） 当 时，求函数 的单调区间； 1a（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围.0,xfx522.(10 分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线xoy1Ccos1inxtyt的直角坐标方程为 .以平面直角坐标系的原点 为极点, 轴非负半轴2C22()4Ox为极轴建立直角坐标系,射线 的极坐标方程为 l(0)
8、（1）求曲线 1， 2的极坐标方程；（2）设点 分别为射线 l与曲线上 1C， 2除原点之外的交点，求 的最大值.,AB AB6高三数学理科答案参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B C D D B B D B B C B二、填空题13. 14. 15. 16. 5106或 ， 二 者 选 一 0.86三、解答题 2217. sin13sinco21cos31in 6fxababxxxx AA（ ）函数 f(x)的单调递增区间是 ,()63kkz（2） ，因为 ，sin21fA 50,2,6A所以 ，又 ，则 ，,6322cosabb从而1si
9、n2SbcA18. (1)证明 由已知得 AM AD2.23取 BP 的中点 T，连接 AT， TN，由 N 为 PC 中点知 TN BC，TN BC2.又 AD BC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是12MN AT.因为 AT平面 PAB， MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)解 取 BC 的中点 E，连接 AE.由 AB AC 得 AE BC，7从而 AE AD， AE .AB2 BE2AB2 (BC2)2 5以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.AE 由题意知， P(0,0,4)， M(0,2,0)， C
10、( ，2,0)， N ， (0,2，4)， 5 (52， 1， 2) PM PN ， .(52， 1， 2) AN ( 52， 1， 2)设 n( x， y， z)为平面 PMN 的法向量，则Error!即 Error!可取 n(0,2,1)于是|cos n， | .AN |nAN |n|AN | 8525设 AN 与平面 PMN 所成的角为 ，则 sin ，8525直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 .852519.（1）由已知有 ， 数列 为等差数列，1nSnS且 ， ，即 ， 1aS2n当 时， ，2n 1)(21nn又 也满足上式， ；1a（2）由（1）知，)12()12(n
11、nbn， 513( Tn由 有 ，有 ，所以 ， 的最小值为 5. n242n6)(25n20.（1）根据茎叶图，有高个子 12 人，非高个子 18 人，所以利用分层抽样的方法抽取的高个子的认识为 抽取的非高个子人数为 设至少有一人是高个子5=30人 ， 18=30人 ，为事件 A，则 ,即至少有一人是高个子的概率为 .21357()0Cp 710（2）依题意知,“女高个子”的人数为人,随机变量 X的所有可能取值为 ,23.83812405CPX, 124835CPX,48312, 4312.随机变量 X的分布列是:0 1 2 3P45851数学期望 0123EX.21.（1）函数定义域 ，当
12、 时， ，求导得， 1a2-ln1fxx，令 得 ，令 得 ，2xf0f2-x0f2或 函数的单调增区间为 ，单调减区间为 和 ， 21， ，（2）当 时， 恒成立，令 ，0x， fx2ln1gxfxax问题转换为 时， ， ma0g，2112xgxa当 时， ， 在 上单调递增，00ggx0，此时 无最大值，故 不合题意xa ，此时 在 上单调递增，此时无最大值. a当 时 ， x，此时 无最大值，故 不合题意gx0当 时 ，当 时，令 解得， ，0ax121ax，当 时， ，1220a9而 在 上单调递增，在 上单调递减，gx20， 2x，故 不合题意ma=0g10a当 时， ，122ax而此时 在 上单调递减，g0，符合题意max综上可知，实数 a的取值范围是 12，22.（1）曲线 的参数方程为 ( 为参数),消去参数 t, ,即1Ccosinxty22(1)xy， 曲线 的极坐标方程为 ，由曲线 的方程20xy12siC.得 ，所以曲线 的极坐标方程为 2()4240x4sin（2）联立得， ，得 ， sin(sin,)AsinOA联立得， ，得 ，4i(4i,)B4iB， 时， 由最大值，最大值为 2.2snABO0,2A
