1、1圆的证明与计算专题1.如图，A，P，B，C 是圆上的四个点，APCCPB60，AP，CB 的延长线相交于点 D.(1)求证：ABC 是等边三角形；(2)若PAC90，AB2 ，求 PD 的长32.如图，OA，OD 是O 半径，过 A 作O 的切线，交AOD 的平分线于点 C，连接 CD，延长 AO 交O 于点 E，交 CD的延长线于点 B.(1)求证：直线 CD 是O 的切线；(2)如果 D 点是 BC 的中点，O 的半径为 3 cm，求 的长度(结果保留 )DE 3.如图，点 D 是等边三角形 ABC 的外接圆上一点，M 是 BD 上一点，且满足 DMDC，点 E 是 AC 与 BD 的交
2、点(1)求证：CMAD；(2)如果 AD1，CM2.求线段 BD 的长及BCE 的面积4.如图，ABC 内接于O，BD 为O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线交于点 E，且AEBC.(1)求证：BE 是O 的切线；(2)已知 CGEB，且 CG 与 BD、BA 分别相交于点 F、G，若 BGBA48，FG ，DF2BF；求 AH 的值225.如图，AB 为ABC 外接圆O 的直径，点 P 是线段 CA 延长线上一点，点 E 在圆上且满足 PE2PAPC，连接CE，AE，OE，OE 交 CA 于点 D.(1)求证：PAEPEC；(2)求证：PE 为O 的切线
3、；(3)若B30，AP AC，求证：DODP.126.如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的O 与 AD,AC 分别交于点 E,F，且ACBDCE.(1)判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若 tanACB ，BC2，求O 的半径227.如图，以ABC 的边 AB 为直径的O 交边 BC 于点 E，过点 E 作O 的切线交 AC 于点 D，且 EDAC.(1)试判断ABC 的形状，并说明理由；(2)如图，若线段 AB、DE 的延长线交于点 F，C75，CD2 ，求O 的半径和 BF 的长338.如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线
4、 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF.(1)求CDE 的度数；(2)求证：DF 是O 的切线；(3)若 AC2 DE，求 tanABD 的值59.如图，在 RtABC 与 RtOCD 中，ACBDCO90，O 为 AB 的中点(1)求证：BACD；(2)已知点 E 在 AB 上，且 BC2ABBE.(i)若 tanACD ，BC10，求 CE 的长；34(ii)试判定 CD 与以 A 为圆心，AE 为半径的A 的位置关系，并说明理由4参考答案1. (1)证明：由题意可得：BPCBAC，APCABC，APCCP
5、B60，ABCBAC60，ABC 是等边三角形(2)解：PAC90，PC 是圆的直径，PBC90，PBD90，ABC 是等边三角形，ABBC2 ，CPB60，PB 2，APC60，DPB18060323tan606060，PD2PB4.2. (1)证明：CA 切O 于点 A，CAO90.OC 平分AOD，AOCDOC，在AOC 和DOC 中，AOCDOC(SAS)，CDOCAO90，OD 是O 的半径，CD 是O 的切线(2)解：由(1)知：ODBC，又D 是 BC 的中点，OD 是 BC 的垂直平分线，OCOB，BODDOCCOA 18060，13DOE60， 的长度为 3 .DE 6018
6、03. (1)证明：ABC 是等边三角形，BACACB60，BDCBAC60，ADBACB60，ADC120，DMDC，DMC 是等边三角形，MCD60，MCDADC180，CMAD. (2)解：BCAC，ADCBMC120，CBMCAD，ADCBMC，ADMB1，BDBMMDADCM123，CMAD，CADACM，ADEEMC，ADECME， ，S ADE SEMC ，S CMD 2 ，S EMC SCMD ，S EDC SADCM AEEC DEEM 12 14 12 3 3 23 233 13CDM ，S ADE SEMC ，S ADC S ADE S DCE ，S BCE S BMC
7、S MCE S ADC S CME 33 14 36 36 33 32 32 23 .37634. 解：(1)连接 DC，DB 是O 的直径，DCB90，DDBC90，DA，EBCA.DEBC，EBCDBC90，即DBE90，BE 是O 的切线(2)CGEB，BCGEBC，ABCG，又CBGABC，ABCCBG， ，即BCBG ABBCBC2BGAB48，BC4 ，CGEB，CFBD，CFBDCB90，又CBFDBC，Rt3BFCRtBCD， ，BC 2BFBD48，又DF2BF，BDDFBF3BF，BF4，在 RtBCF 中，CFBFBC BCBD4 ，CGCFFG5 ，在 RtBFG 中，
8、BC2 BF2 2 2BG 3 ，BA 8 ，AG5 ，CGAG，AACGBCG，CFHCFB90，BF2 FG2 248BG 2 2CHFCBF，CHCB4 ，ABCCBG，BCGA，ABC3CBG， ，AC 4 ，AHACCH 4 .ACCG BCBG BCCGBG 3 5232 2033 2033 3 8335. (1)解：PE 2PAPC， ，PP，PAEPEC. (2)证明：PAEPAPE PEPCPEC，PEAPCE，OAOE，OEAOAE，AB 是O 的直径，ACB90，5OAEECA90，PEOPEAOEAPCEOAE90，OE 为O 半径，PE 是O 的切线(3)证明：过点
9、O 作 OHCP 于点 H，AB 是O 的直径，B30，BC AC，O 是 ABACtan30AC33 3的中点，OH BC AC，PE 2PAPC，AP AC，PE 2 AC( ACAC) AC AC AC2，12 32 12 12 12 12 32 34PE AC，OHPE，OHAPED90，HDOEDP，HDOEDP，DODP.326. 解：(1)直线 CE 与O 相切证明如下：连接 OE，OAEAEO，四边形 ABCD 是矩形，BCAD，ACBDAC, 又ACBDCE，DACAEODCE，DCEDEC90，AEODEC90，OEC90，OE 是O 的半径，直线 CE 与O 相切(2)t
10、anACB ，BC2，ABBCtanACB ，AC ，又ABBC 22 2 AB2 BC2 6ACBDCE，tanDCE ，DEDCtanDCEAB tanDCE 1，在 RtCDE 中，CE22 2 22 ，设O 的半径为 r，在 RtCOE 中，CO 2OE 2CE 2，即( r) 2r 23，解得 r .O 的半CD2 DE2 3 664径为 .647. 解：(1)ABC 为等腰三角形，理由如下：如解图，连接 OE，在O 中，OEOB，OEBB，图DE 是O 的切线，OED90，EDAC，ADE90OED，OEAC 且BECE BC，OEBC，BC，ACAB，ABC 为等腰三角形(2)如
11、图，过点 B 作12BHDF，ACDF，BHAC，EBHC，由(1)知CDEBHE90，BECE，CDEBHE(AAS)，CDBH2 ，HBF180OBEEBH180757530，3图F903060，在 RtBFH 中，BF ，设 OEx，在 RtOEF 中，sin60 BHsin6043 63 OEOF，解得 x2，故O 的半径为 2，BF 的长为 .xx BF 43 638. (1)解：对角线 AC 为O 直径，ADC90，CDE90.(2)证明：连接 OD，AC 为O 的直径，6CEAC，ADCCDE90，ACF90，又在 RtCDE 中，点 F 为斜边 CE 的中点，DFFC，CDFD
12、CF，又ODOC，ODCOCD，ODFODCCDFOCDDCFACE90，OD 为O 半径，DF 是O 的切线(3)解：由圆周角定理可得，ABDACD，由题意知，ADCCDE90，CADECD，ADCCDE， ，CD 2ADDE，AC2 DE，设 DEa，ADb，AC2 a，CD ，在 RtACD 中，ADCD CDDE 5 5 ab由勾股定理可得：AD2CD 2AC 2，即 b2( )2(2 a)2，上式两边同时除以 a2，整理后得到：( )2 200，解得 4 或ab 5ba ba ba5(舍去)tanABDtanACD 2.ba ADCD bab ba9. (1)证明：点 O 为直角三角
13、形斜边 AB 上的中点，OCOB，BBCO，ACBDCO90，即ACOBCOACOACD90，BCOACDBACD.(2)解：(i)BC 2ABBE，即 ，又BCBA BEBCBB，BCABEC，BECBCA90，tanACD ，又由(1)知BACD，tanB ，34 34即 ，设 CE3x，EB4x，在 RtBCE 中，CE 2EB 2BC 2，(3x) 2(4x)CEEB 34210 2，x2，CE3x6.(ii)CD 与A 相切，理由如下：过 A 作 AFDC，ACB90，ACEBCE90，BEC90，BBCE90，BACE，又BACD，ACEACD.又AFDC，AEEC，AEAF，又AE 为O 半径，F 为 CD 上一点，CD 与A 相切
