1、1柳州铁一中学、南宁三中高二上学期联考理科数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列 的公差为 2，且 ，则 （ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】C【解析】由等差数列的通项公式可知： ，结合题意可得： ，求解关于实数 n 的方程可得： .本题选择 C 选项.点睛：(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1
2、和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法2.已知集合 ， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. (3,+) (1,3) 3,+) (1,3【答案】A【解析】试题分析：因为 又 ,所以 ，选 A.A=xR|x22x33考点：集合包含关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 p 则 q”、 “若 q 则 p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件2等价法：利用 pq 与非 q非 p，q p 与非 p非 q，p q 与非 q非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用
3、等价法3集合法：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A 是 B 的充2要条件3.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）(0,+)A. B. C. D. y=x3 y=ln|x| y=sin(2x) y=x21【答案】D【解析】因为 ，根据偶函数的定义知， 不是偶函数， 是偶函数，在区间(x)3x3 y=x3 y=ln|x|上是增函数， 是偶函数，在区间 上不是单调函数 ，(0,+) y=sin(2x)=cosx (0,+)是偶函数，且在区间 上是增函数，故选 D. y=x21 (0,+)4.向量 满足 ，则与 的夹角为（ ）a,b |a|
4、=3,|b|=2,(ab)(a+2b)=2 bA. B. C. D. 23 3 56 6【答案】A【解析】由题意结合向量的运算法则可得：(ab)(a+2b)=a22b2+ab=924+ab=1+ab据此有： ，1+ab=2,ab=3设两向量的夹角为，则： ，cos=ab|a|b|=332=12,=23即与 的夹角为 .b23本题选择 A 选项.5.以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）甲组 乙组9 0 9x 2 1 5 y 87 4 2 43已知甲组数据的中位数为 ,乙组数据的平均数为 ,则 的值分别为（ ）15 16.8x,yA. 2，5 B. 5，5 C
5、. 5，8 D. 8，8【答案】C【解析】因为甲组数据的中位数为 ，所以 ，因为乙组数据的平均数为 ，所以由15 x=5 16.8得 ，故选 C.9+15+10+y+18+245 =16.8y=86.已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为( ) P(8m , 6sin30o) cos=45 mA. B. C. D. 12 12 32 32【答案】A【解析】因为角 的终边过点 ，所以 ， ，解得 ， P(8m , 6sin30o) r= 64m2+9 cos=8mr =45 m=12故选 A.7.已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 5，则 的面积为( )y2=4x P F PFOA. 1 B.
6、 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为 ,准线方程为 ，因为抛物线 上的一点 P 到焦点的距F(1,0) x=1 y2=4x离为 5，由抛物线定义可知，点 P 到准线 的距离是 5.x=1则点 P 到 x 轴的距离是 4，所以 的面积为 ，故选 B. PFO1214=28.已知实数 满足 ，如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（ ）x,y y1y2x1x+ym z=xy 2 mA. 4 B. 2 C. 0 D. 1【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：4由目标函数 ，得 ，如图所示，当直线 过点 B 时，最小，把 B z=xy y=xz y=xz （m1,
7、1)代入 ，解得 ，故选 C.z=xy=m11=2 m=0点睛：线性规划问题，涉及到可行域中有参数问题，综合性要求较高解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题中显然直线越上移越小，结合可行域显然最小值在 B 点取得，从而求出 m9.已知 ，若 ，则直线 的倾斜角为（ ）f(x)=asinxbcosx f(4x)=f(4+x) axby+c=0A. B. C. D. 4 3 23 34【答案】D【解析】试题分析： 关于 对称, 直线f(4x)=f(4+x),f(x) x=4 f(0)=f(2),即 a=b,的斜率 ,其倾斜角为 ,故选 D.axby+c=0 k=a
8、b=1 34考点：1.三角函数的对称性；2.直线的斜率与倾斜角.10.某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的体积是（ ）A. B. C. D. 43 83 4 85【答案】A【解析】由三视图知该几何体为棱锥 ,其中 平面 ABCD,SABD SC此三棱锥的体积 .故选 A . V=1312222=4311.已知点 分别为椭圆 与双曲线 的公共焦点， 分别是 和 的离心率，若 是F1,F2 C1 C2 e1,e2 C1 C2 P和 在第一象限内交点， ,则 的值可能在下列哪个区间（ ）C1 C2 F1PF2=2 1e
9、1+1e2A. B. C. D. (1,2) (2,3) (3,4) (4,5)【答案】A【解析】设 ，如图：|F1P|=m,|F2P|=n则 ，可得： ，即 ，由重要不等式m+n=2a1,mn=2a2,m2+n2=4c2 a12+a22=2c2 1e12+1e22=2知 ，所以 ，故选 A. (1e1+1e2)22(1e12+1e22) 1e1+1e2y01xy+ 4x+2y=1 x+yA. B. C. D. 4+323 6+523 6+423 9+423【答案】D【解析】实数 满足 ，且 ，则x,y xy01xy+ 4x+2y=16x+y=13(xy)+23(x+2y)=13(xy)+2(
10、x+2y)(1xy+ 4x+2y)=，当且仅当 ，即 时等号成13(9+2(x+2y)xy +4(xy)x+2y)13(9+2 8)=9+423 2(x+2y)xy =4(xy)x+2y x=4,y=1立. 故选 D.点睛：本题是均值不等式的灵活运用问题，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到，x+y=13(xy)+23(x+2y)所以把条件构造为 ，从而解决问题.x+y=13(xy)+2(x+2y)(1xy+ 4x+2y)二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分只填结果）13.曲线 在点 处的切
11、线方程为_.y=5ex+3 (0,2)【答案】 或 .y=5x2 5x+y+2=0【解析】试题分析： ， ，故所求的切线的斜率为 ，y=5ex+3 y=5ex k=5e0=5故所求的切线的方程为 ，即 或 .y(2)=5x y=5x2 5x+y+2=0考点：本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于中等题.【此处有视频，请去附件查看】14.设正四面体的棱长为 ，则它的外接球的体积为_.2【答案】32【解析】正四面体补成为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正四面体的棱长为 ，即正方体面上的对角线长为 ，所以正方体棱长为 1，对角线长为 2 2 3，所以球的体积为： ,
12、故填 .43R3=43(32)3=32 3215.直线 与双曲线 交于 两点，则 的中点坐标为_.y=2x1x28y24=1 A,B AB【答案】 (47,17)【解析】【分析】7设 ，中点 ，分别将两个点代入双曲线作差化简可得 ，与已A(x1,y1),B(x2,y2) M（x0,y0) k=12x0y0知直线 联立，即可得解.y0=2x0-1【详解】设 ，中点 ， 则 ，两式相减，化简得：A(x1,y1),B(x2,y2) M（x0,y0)x28-y124=1，x228-y224=1，又中点在直线上，所以 ，k=y2-y1x2-x1=48x1+x2y2+y1=12x0y0=2 y0=2x0-
13、1联立解得： ，x0=47,y0=17故答案为： .（47，17）【点睛】直线与圆锥曲线相交时，如果涉及相交线段的中点及直线的斜率，可考虑运用点差法求解，点差法就是把交点坐标代入圆锥曲线方程，两方程作差，变形处理后即可得到直线斜率与线段中点的关系式.16.已知椭圆方程为 ，M 是椭圆上一动点， 和 是左、右两焦点，由x2a2+y2b2=1(ab0) F1 F2向 的外角平分线作垂线，垂足为 N，则 N 点的轨迹方程为 _.F2 F1MF2【答案】 x2+y2=a2【解析】如图所示，设 交 于点 P，由已知可得： ,F2N F1M MNF2PF2MN=PMN,点 为线段 的中点.MP=F2M N
14、 F2P连接 ，则 为 的中位线， ， ，ON ON F1F2P ON=12PF1 PF1=F1M+F2M=2a，即 N 点的轨迹方程为ON=a x2+y2=a2三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知数列 是递增的等比数列，且an a1+a4=9,a2a3=8.8（）求数列 的通项公式；an（）设 为数列 的前 n 项和， ，求数列 的前 n 项和 Sn an bn=an+1SnSn+1 bn Tn【答案】 （） （）an=2n1 2n+122n+11【解析】试题分析：（1）设等比数列 的公比为 q， ，根据已知由等比数列的性质可得an
15、，联立解方程再由数列 为递增数列可得 则通项公式可得a1(1+q3)=9,a12q3=8 an a1=1q=2 （2）根据等比数列的求和公式，有 所以 ，裂项求和即sn=12n12=2n1 bn=an+1snsn+1= 2n(2n1)(2n+11)可试题解析：（1）设等比数列 的公比为 q，所以有an a1+a4=a1(1+q3)=9,a2a3=a12q3=8联立两式可得 或者 又因为数列 为递增数列，所以 q1，所以a1=1q=2 a1=8q=12 an a1=1q=2 数列 的通项公式为an an=2n1（2）根据等比数列的求和公式，有 sn=12n12=2n1所以 bn=an+1snsn
16、+1= 2n(2n1)(2n+11)= 12n1 12n+11所以 Tn=113+1317+.+ 12n1 12n+11=1 12n+11=2n+122n+11考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和【此处有视频，请去附件查看】18.在 中，角 的对边分别为 ，已知向量 ， ，ABC A,B,C a,b,c m=(cosB,2cos2C21) n=(c,b2a)且 .mn=0（1）求角 的大小；C（2）若点 为 上一点，且满足 ，求 的面积.D AB AD=DB,|CD|= 7,c=23 ABC【答案】 （1） ；（2）3 23【解析】试题分析：（1）根据数量积的定义得 ，由正弦定理得ccos
17、B+(b-2a)cosC=09，即可求出；（2）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定sinA-2sinAcosC=0理和三角形的面积公式即可求出.试题解析：（1）由 ，得 ，mn=0 ccosB+(b-2a)cosC=0由正弦定理可得 ， ，sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0 sinA-2sinAcosC=0 ， ， ，sinA0 cosC=12 C(0,) C=3（2） ， ，AD=DB CD-CA=CB-CD,2CD=CA+CB又 ，两边平方： |CD|= 7,c=23 4|CD|2=b2+a2+2abcosC=b2+a2+ab=28 ，由可得c2=a2+b2-
18、2abcosC=a2+b2-ab=12 ab=8 .SABC=12absinC=23点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19.某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100(1)求图中 a 的值;(2)根据频率分布直方图,估计这
19、 100 名学生期中考试数学成绩的平均分;10(3)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率 .【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析.【解析】试题分析：（1）由频率分布图中小矩形面积和为 1，能求出 a 的值（2）由频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表即可估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分（）现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生，则第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人，由此利用对立事件概率计
20、算公式能求出从中随机抽取 2 名，第 4 组的至少有一位同学入选的概率试题解析：（1）由题意得 10a+0.0110+0.0210+0.0310+0.03510=1，所以a=0.005（2）由直方图分数在50，60的频率为 0.05，60，70的频率为 0.35，70，80的频率为 0.30，80，90的频率为 0.20，90，100的频率为 0.10，所以这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：550.05+650.35+750.30+850.20+950.10=74.5（3）由直方图，得：第 3 组人数为 0.3100=30。第 4 组人数为 0.2100=20 人，第 5
21、组人数为 0.1100=10 人所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组分别为：第 3 组： 人，第 4 组： 人，第 5 组： =1 人所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人设第 3 组的 3 位同学为 A1，A 2，A 3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B 2，第 5 组的 1 位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下：（A 1，A 2） ， （A 1，A 3） ， （B 1，B 2） ， （A 2，A 3） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ，11（A 3，B 1） ， （
22、A 3，B 2） ， （A 1，C 1） ， （A 2，C 1） ， （A 3，C 1） ， （B 1，C 1） ， （B 2，C 1） ，其中恰有 1 人的分数不低于 90（分）的情形有：（A 1，C 1） ， （A 2，C 1） ， （A 3，C 1） ， （B 1，C 1） ，（B 2，C 1） ，共 5 种所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 515=1320.已知直线 与双曲线 有两个不同的交点，求双曲线离心率的范围.xy=1x2a2y2=1(a0)【答案】 (62, 2)( 2,+)【解析】试题分析：直线方程与双曲线方程联立，消去 并整理得关于 的方程，因为有
23、两个不同交y x点，利用判别式确定的范围，即可求出离心率的范围. 试题解析：联立 消去 得 ，由于直线与双曲线有两个不同的交点，则 且 ，解得 或 ， 21.如图，在四棱锥 中，PABCD/ ， ， ， ，平面 平面 ，AD BC ABAD ABPA BC=2AB=2AD=4BE PAB ABCD（）求证：平面 平面 ；PED PAC（）若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求二面角 的平面角的余弦PE PAC55 APCD值【答案】 （）见解析（）155【解析】12试题分析：（1）证明面面垂直的基本思路，是在其中一个面内，找一条直线垂直于另一个平面内两条相交直线，本题只需证明 EDPA，ED
24、AC 即可；（2）重点是找二面角的平面角，即在两个面内分别找垂直于交线的直线，然后构造三角形求解。当然，利用空间向量也是解决本题的好办法。试题解析：法一（1）取 中点 ，连接 ，则 ，AD F BFFD/_BE四边形 是平行四边形， /FBED FB ED直角 和直角 中，BAF CBABAAF=CBBA=2直角 直角 ，易知BAF CBA BFAC EDAC平面 平面 ，平面 平面PAB ABCD PAB ABCD=ABABPA 平面PA ABCD ，PAED PAAC=A 平面 .ED PAC平面 平面 .PED PAC（2）设 交 于 ，连接 ，则 是直线 与平面 所成的角.设ED AC
25、 G PG EPG PE PAC BE=1由 ，知 ，AGD CGEDGGE=ADEC=23 AB=AD=2 ，EG=35DE=355 DG=255 ，PE=3 AE= 5 ,PA= PE2AE2=2作 于 ，由 ，知 平面 ，GHPC H PCDE PC HDG ，PCDG 是二面角 的平面角.GHD APCD ，PCA GCH ，而PAGH=PCGC GC= CE2EG2=655 GH=PAGCPC =30513 ，tanGHD=63 ，cosGHD=155即二面角 的平面角的余弦值为 .APCD155法二：（1）平面 平面 ，PAB ABCD平面 平面 ，PAB ABCD=AB ABPA
26、 平面PA ABCD又 ，故可如图建立空间直角坐标系ABAD oxyz由已知 ， ， ， （ ）D(0, 2, 0) E(2, 1, 0) C(2, 4, 0) P(0, 0, ) 0 ， ，AC=(2, 4, 0) AP=(0, 0, ) DE=(2, 1, 0) ， ，DEAC=44+0=0 DEAP=0 ， ，DEAC DEAP 平面ED PAC平面 平面PED PAC（2）由（1） ，平面 的一个法向量是 ，PAC DE=(2, 1, 0) PE=(2, 1, )设直线 与平面 所成的角为，PE PAC ，sin= |cos | = |4155+2| =55 =2 0 ，即=2 P(0
27、, 0, 2)设平面 的一个法向量为 ， ，PCD n =(x0, y0, z0) DC=(2, 2, 0) DP=(0, 2, 2)由 ， n DC n DP ，令 ，则 2x0+2y0=02y0+2z0=0 x0=1 n =(1, 1, 1)14 ，cos =2+135=155显然二面角 的平面角是锐角，APCD二面角 的平面角的余弦值为APCD155考点：空间几何体，线面位置关系22. （本小题满分 12 分）设椭圆 的离心率， 右焦点到直线 的距离e=12为坐标原点O（）求椭圆 的方程；C（II）过点 作两条互相垂直的射线，与椭圆 分别交于 两点，证明：点 到直线 的O C A,B O AB距离为定值，并求弦 长度的最小值AB【答案】 （）（）【解析】解：（I）由由右焦点到直线 的距离为得： 解得所以椭圆 C 的方程为 4 分（II）设 ，直线 AB 的方程为15与椭圆 联立消去 y 得即整理得 所以 O 到直线 AB 的距离8 分，当且仅当 OA=OB 时取“=”号。由即弦 AB 的长度的最小值是 13 分
