1、12018-2019 学年安徽省安庆一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1. 已知集合 A=x|y= ， B=y|y=x2+1，则 A B=（ ）22A. B. 1,+) 2,+)C. D. (,02,+) 0,+)2. 已知集合 A=x|lg（ x-2）0， B=x|x2，全集 U=R，则（ UA） B=（ ）A. B. C. D. |11 ）A. B. C. D. 1 12872 8729. 已知 e 是自然对数的底数，函数 f（ x）= ex+x-2 的零点为 a，函数 g（ x）=ln x+x-2 的零点为 b，则下列不等式中成立的是（ ）A.
2、 B. C. D. 1 1 1 1210. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：万元）对年销售量 y（单位： t）的影响，对近 6 年的年宣传费 xi和年销售量yi（ i=1，2，6）进行整理，得数据如表所示：x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.001.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表数据，下列函数中，适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的拟合函数的是（ ）A. B. C. D. =0.5(+1) =3+1.5 =21 =211. 已知函数 f（ x）= ，若| f（ x）| ax，则 a 的取值范围是（ 2
3、+3,0(+1),0）A. B. C. D. (,0 (,1 3,0 3,112. 设定义域为 R 的函数 f（ x）= ，若关于 x 的方程 f2（ x）-5|1|1,02+4+4,0（2 m+1） f（ x）+ m2=0 有 7 个不同的实数解，则 m=（ ）A. B. C. 或 2 D. =6 =2 =6 =6二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）13. 函数 f（ x）=（ ） 的单调增区间是_12 2+214. 若方程 log2x=7-x 的根 x0（ n， n+1），则整数 n=_15. 已知函数 f（ x）=ln（ -x）+1， f（ a）=4，则 f（- a）=_1
4、+216. 定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x0 时， f（ x）= ，则关12,0,1)1|3|,1,+)于 x 的函数 F（ x）= f（ x）- a（0 a1， a 为常数）的所有零点之和为_三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知函数 f（ x）= ，32,1,23,(2,5（）画出 f（ x）的图象；（）写出 f（ x）的单调递增区间18. 已知函数 的定义域为集合 A，集合 B=（ a， a+1），且 BA()=1+1（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：函数 f（ x）是奇函数但不是偶函数319. 已知函数 f（ x）是定义在（0，+）上的减函数
5、，并且满足 f（ xy）= f（ x）+f（ y），(13)=1（1）求 f（1）的值；（2）如果 f（ x）+ f（2- x）2，求 x 的取值范围20. 已知函数 f（ x）=lg（ ax-bx）（ a1 b0）（）求 f（ x）的定义域；（）当 x（1，+）时， f（ x）的值域为（0，+），且 f（2）=lg2，求实数 a、 b 的值21. 已知集合 P=x R|x2-3x+b=0， Q=x R|（ x+1）（ x2+3x-4）=0（）若 b=4，存在集合 M 使得 PMQ；（）若 PQ，求 b 的取值范围22. 定义在（0，+）上的函数 f（ x）满足 f（2 x）= x2-2x（）
6、求函数 y=f（ x）的解析式；（）若关于 x 的方程 f（ x）= 在（1，4）上有实根，求实数 a 的取值范3+25围4答案和解析1.【答案】 B【解析】解：集合 A=x|y= =x|x2-2x0=x|x0 或 x2= （-，02，+），B=y|y=x2+1=y|y1=1，+）；则 AB=2，+）故选：B求定义域和值域得集合 A、B，再根据交集的定义计算 AB本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2.【答案】 B【解析】解：由 A 中的不等式变形得：lg（x-2）0=lg1，得到 x-21，即 x3， A=x|x3， 全集 U=R， UA=x|x3， B=x|x2， （ UA）B=x|2
7、x3 故选：B求出 A 中不等式的解集确定出 A，根据全集 U=R，求出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的交集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3.【答案】 C【解析】解：当 P=1 时，f（x）=2 x-2-x，定义域为 R 且 f（-x）=2 -x-2x=-f（x） f（x）为奇函数 2 x是 R 上的增函数，2 -x是 R 的减函数 f（x）=2 x-2-x为 R 上的增函数，故选项 C 正确； 当 P=1 时，f（x）=2 x+2-x，定义域为 R 且 f（-x）=2 -x+2x=f（x） f（x）为偶函数， 根据 12，f（1）f（2）则 f（
8、x）在 R 上的不是减函数； 根据-2-1，f（-2）f（-1）则 f（x）在 R 上的不是增函数； 故选项 B、D 不正确 故选：C根据函数奇偶性的定义可判定 f（x）的奇偶性，根据增函数减去减函数还是增函数可得结论本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及函数单调性的判定，同时考查了分析问题的能力，属于基础题4.【答案】 C【解析】解：a1，y=ax其底数大于 1，是增函数，y=log x，是减函数，故选：C结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果5本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力5.【答案】 A【解析】解：点（m，8）
9、在幂函数 f （x）=（m-1）x n的图象上，可得 m-1=1，即 m=2，2n=8，可得 n=3，则 f（x）=x 3，且 f（x）在 R 上递增，由 a=f（ ）， b=f （ln ），c=f（ ），0 1，ln 1，可得 acb，故选：A由幂函数的定义可得 m=2，n=3，f（x）=x 3，且 f（x）在 R 上递增，结合对数函数和幂函数的性质，即可得到 a，b，c 的大小关系本题考查幂函数的解析式和性质以及运用：比较大小，考查运算能力，属于中档题6.【答案】 C【解析】解：函数 f（x）= ，f（1+log 23）=f（2+log 23）= =4 =12故选：C推导出 f（1+log
10、 23）=f（2+log 23）= =2 ，由此能求出结果本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.【答案】 D【解析】解：若关于 x 的方程|2 x-1|=a 有两个不等实数根，则 y=|2x-1|的图象与 y=a 有两个交点，函数 y=|2x-1|的图象如下图所示：由图可得，当 a（0，1）时，函数 y=|2x-1|的图象与 y=a 有两个交点，故实数 a 的取值范围是（0，1），故选：D若关于 x 的方程|2 x-1|=a 有两个不等实数根，则函数 y=|2x-1|的图象与 y=a 有两个交点，画出函数 y=|2x-1|的图象，数形结合可得实数 a 的取
11、值范围6本题主要考查方程个数的判断，将方程转化为函数，利用函数图象的交点个数，即可判断方程根的个数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法8.【答案】 D【解析】解：f（x）是增函数， ，解得： a 2故选：D根据增函数的特点列不等式组解出 a 的范围本题考查了分段函数单调性的性质，属于中档题9.【答案】 A【解析】解：由 f（x）=e x+x-2=0 得 ex=2-x，由 g（x）=lnx+x-2=0 得 lnx=2-x，作出计算 y=ex，y=lnx，y=2-x 的图象如图：函数 f（x）=e x+x-2 的零点为 a，函数 g（x）=lnx+x-2 的零点为 b，y=e x与 y=2-x
12、的交点的横坐标为 a，y=lnx 与 y=2-x 交点的横坐标为 b，由图象知 a1b，故选：A根据函数与方程之间的关系转化为函数 y=ex与 y=2-x，y=lnx 与 y=2-x 交点的横坐标的大小问题，利用数形结合进行比较即可本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键10.【答案】 B【解析】解：根据表格的数据可得函数随着 x 的增长再增长，且增长速度越来越趋向于平缓，例如：当 x=1 时，y=log 31+1.5=1.5，y=2 =2，当 x=3 时，y=log 32+1.5=2.5，y=2 3.4，故适宜作为年销售量 y 关于年宣传费
13、 x 的拟合函数的是为对数函数故选：B观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数，代入验证，也较为符合本题考查了对应函数模型的应用问题，是基础题11.【答案】 C【解析】解：当 x0 时，根据 ln（x+1）0 恒成立，则此时 a0 当 x0 时，根据-x 2+3x 的取值为（-，0，|f（x）|=x 2-3xax， x=0 时 左边=右边，a 取任意值 x0 时，有 ax-3，即 a-3 综上可得，a 的取值为-3，0， 故选：C当 x0 时，根据 ln（x+1）0 恒成立，求得 a0当 x0 时，可得 x2-73xax，求得 a 的范围再把这两个 a 的取值范围取交集，可得答案本题主要考查绝对
14、值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题12.【答案】 B【解析】解：当 m=2 时，由 f2（x）-5f（x）+4=0 得 f（x）=1 或 f（x）=4，当 x0 时，f（x）=5 |x-1|-1，由 5|x-1|-1=1 得 x=1log52 均符合，由 5|x-1|-1=4 得 x=0，x=2 均符合，当 x0 时，f（x）=x 2+4x+4，由 x2+4x+4=1 得 x=-1，x=-3 均符合，由 x2+4x+4=4 得 x=0（舍），x=-4 符合，故 m=2 时，关于 x 的方程 f2（x）-（2m+1）f（x）+m 2=0 有 7 个不同的实数解，所以排除 A 和
15、 D；当 m=6 时，由 f2（x）-13f（x）+9=0 得 f（x）=4 或 f（x）=9，当 f（x）=4 时，已经解出 x=0，x=2，x=-4 均符合；当 f（x）=9 时，由 ，解得 x=1+log510，由 得 x=-5，故 m=6 时，原方程只有 5 个不同实根，不符合题意，故排除 C故选：B采用排除法：先验证 m=2 时解出方程有 7 个不同实根，符合，可以排除 A 和 D；再验证 m=6 时，解出方程有 5 个不同实根，不符合，可以排除 C本题采用排除法，考查了函数的零点与方程根的关系属中档题13.【答案】1，2【解析】解：函数 f（x）=（ ） 的单调增区间，即 y= 的
16、减区间，即 t=-x2+2x 在 t0 时的减区间再利用二次函数的性质可得 t=-x2+2x 在 t0 时的减区间 为1，2，故答案为：1，2由题意利用复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质可得，本题即求 t=-x2+2x在 t0 时的减区间，再利用二次函数的性质求得结果本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，属于中档题14.【答案】4【解析】解：由于 x0是方程 log2x=7-x 的根， 设 f（x）=log 2x+x-7，显然 f（x）是（0，+）上的增函数，x 0是连续 f（x）的零点 因为 f（4）=log 24+4-7=-10，f（5）=log 25+5-7=0
17、， 故 x0（4，5），则 n=4； 故答案为：4设函数 f（x）=log 2x+x-7，则 f（x）是（0，+）上的增函数，x 0是 f（x）的零点，由 f（4）f（5）0，可得 x0（4，5），从而可求出 k 的值本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题15.【答案】-2【解析】8解：函数 g（x）=ln（ -x）满足 g（-x）=ln（ +x）= =-ln（ -x）=-g（x），所以 g（x）是奇函数函数 f（x）=ln（ -x）+1，f（a）=4，可得 f（a）=4=ln（ -a）+1，可得 ln（ -a）=3，则 f（-a）=-ln（ -a）+1=-
18、3+1=-2故答案为：-2利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力16.【答案】-log 2（1+ a）（0 a1， a 为常数）【解析】解：定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x0 时，f（x）= ，画出图象：x（-1，0时，f（x）=-f（-x）=-（1-2 -x）=2 -x-1令 2-x-1=a，解得 x=-log2（1+a）则关于 x 的函数 F（x）=f（x）-a（0a1，a 为常数）的所有零点之和=-32+32-log2（1+a）=-log2（1+a）故答案为：-log 2（1+a）（0a1，a 为常数）利用指数函数、绝
19、对值函数及其奇函数的性质画出图象，利用对称性即可得出关于 x 的函数 F（x）=f（x）-a（0a1，a 为常数）的所有零点之和本题考查了指数函数、绝对值函数及其奇函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题917.【答案】 解：（）函数 f（ x）=32,1,23,(2,5的图象如右：（） f（ x）的单调递增区间为-1，0，2，5【解析】（）由分段函数的图象画法，即可得到； （）由图象可得 f（x）的单调递增区间本题考查分段函数的图象和单调区间的求法，考查数形结合思想方法，属于基础题18.【答案】解：（1）令 ，解得-1 x1，所以 A=（-1，1），1+1 0因为 BA，所以 ，1+
20、11解得-1 a0，即实数 a 的取值范围是-1，0；（2）证明：函数 f（ x）的定义域 A=（-1，1），定义域关于原点对称，f（- x）=ln =ln（ ） -1=-ln =-f（ x），11+ 1+1 1+1而 ， ，所以 ，(12)=3(12)=13 (12)(12)所以函数 f（ x）是奇函数但不是偶函数【解析】（1）由对数的真数大于 0，可得集合 A，再由集合的包含关系，可得 a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围； （2）求得 f（x）的定义域，计算 f（-x）与 f（x）比较，即可得到所求结论本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查
21、运算能力，属于基础题19.【答案】解：（1）令 x=y=1，则 f（1）= f（1）+ f（1）， f（1）=0（2） f（ ）= f（ ）= f（ ）+ f（ ）=2，19 1313 13 13 f（ x）+ f（2- x）2， f（2 x-x2） f（ ），19又 f（ x）是定义在（0，+）上的减函数，10 ， 02 022 19解得 1- x1+ 223 223【解析】（1）对题设条件中的恒等式进行赋值，可求出 f（1），（2）计算 f（ ）=2，利用题设条件将不等式化为 fx（2-x）f（ ），再利用函数 f（x）是定义在（0，+）上的减函数解不等式本题考查抽象函数及其应用，考查了根
22、据恒等式的形式以及要求的值灵活赋值求函数值的能力，以及利用函数的性质解不等式的能力，求解本题的关键是恰当赋值，求解第二问时恰当的变形是解题的关键，在根据单调性转化时要注意转化的造价，不要忘记定义域的限制条件20.【答案】解：（）由 ax-bx0，得 ax bx，即 ，() 1 a1 b0， ，则 x0 1 f（ x）的定义域为（0，+）；（）令 g（ x）= ax-bx， a1 b0， g（ x）在（ 0，+）上为增函数由当 x（1，+）时， f（ x）的值域为（0，+），可得 x（1，+）时， g（ x）1， g（1）=1，可得 a-b=1 ，又 f（2）=lg2， a2-b2=2 ，联立得
23、： a= ， b= 32 12【解析】（）由 ax-bx0，（a1b0）得 ，由此求得 f（x）的定义域；（）令 g（x）=a x-bx，可得 x（1，+）时，g（x）1由 g（1）=1，可得 a-b=1，又 f（2）=lg2，故 a2-b2=2 ，由求得 a、b 的值本题主要考查对数函数的定义域，复合函数的单调性规律，对数函数的图象和性质的综合应用，是中档题21.【答案】解：（1）集合 Q=x|（ x+1）（ x2+3x-4）=0= x|（ x+1）（ x+4）（ x-1）=0=-1，1，-4，当 b=4 时，集合 P=，再由 P MQ 可得， M 是 Q 的非空子集共有 23-1=7 个，
24、分别为-1、1、-4、-1，1、-1，4、1，4、-1，1，-4（2） PQ，对于方程 x2-3x+b=0，当 P=， =9-4 b0 时，有 b ，94=9-4 b0 时， P，方程 x2-3x+b=0 有实数根，且实数根是 -1，1，-4 中的数若-1 是方程 x2-3x+b=0 的实数根，则有 b=-4，此时 P=-1，4，不满足 PQ，故舍11去若 1 是方程 x2-3x+b=0 的实数根，则有 b=2，此时 P=1，2，不满足 PQ，故舍去若-4 是方程 x2-3x+b=0 的实数根，则有 b=2，此时 P=-1，4，不满足 PQ，故舍去综上可得，实数 b 的取值范围为（ ，+）94
25、【解析】（1）由于集合 Q=-1，1，-4，当 b=4 时，集合 P=，再由 PMQ 可得，M 是 Q 的非空子集，从而得到 M （2）当 P=，=9-4b0 时，有当 P，方程 x2-3x+b=0 有实数根，且实数根是-1，1，-4 中的数，把 x=-1，1，-4 代入检验，由此得到实数 b 的取值范围本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想注意检验 PQ，这是解题的易错点，属于中档题22.【答案】解：（）令 t=2x，则 x=log2t，由 f（2 x）= x2-2x 得 f（ t）=（log 2t） 2-2log2t，即 f（ x）=（log 2x） 2-2log2x， x0；（） f（ x）=（log 2x） 2-2log2x=（log 2x-1） 2-1= ，3+25由 x（1，4），可得 log2x（0，2），（log 2x-1） 2-1-1，0），即-1 0，3+25即为 0 且 a5 或 a - ，7+25 23解得- a- 72 23【解析】（）令 t=2x，则 x=log2t，代入函数 f（x），即可得到所求解析式； （）运用配方，求得函数 f（x）的值域，再由分式不等式的解法，可得所求范围本题考查函数的解析式的求法，以及函数方程的转化思想，考查二次函数的最值求法和二次不等式的解法，属于中档题
