1、- 1 -第 1 节 曲线运动一、 曲线运动的位移1建立坐标系：研究物体在平面内做曲线运动时，需要建立平面直角坐标系。2位移的分解：如图所示，物体从 O 点运动到 A 点，位移大小为 l，与 x 轴夹角为 ，则在 x 方向的分位移为 xA lcos ，在 y 方向的分位移为 yA lsin_ 。二、曲线运动的速度1速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。2运动的性质：做曲线运动的质点的速度方向时刻发生变化，即速度时刻发生变化，因此曲线运动一定是变速运动。3速度的描述(1)用两个互相垂直的方向的分矢量表示速度，这两个分矢量叫做分速度。(2)速度的分解：如图所示，物体沿曲线运
2、动到 A 点，速度大小为 v，与 x 轴夹角为 ，则在 x 方向的分速度为 vx vcos_ ，在 y 方向的分速度为 vy vsin 。1做曲线运动的物体在某点的速度方向沿曲线在该点的切线方向。2曲线运动的速度方向在不断变化，因此曲线运动一定是变速运动。3当物体所受合力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动。4做曲线运动的物体所受合力的方向指向曲线弯曲的内侧。5研究曲线运动的基本方法：运动的合成与分解。- 2 -三、 运动描述的实例1蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为 vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为 vx。从蜡块开始运动的时刻计时，在时刻 t，蜡块的位置 P 可以用它的
3、 x、 y 两个坐标表示 x vxt， y vyt。2蜡块的速度： v ，方向满足 tan 。vx2 vy2vyvx3蜡块的运动轨迹： y x，是一条过原点的直线。vyvx四、物体做曲线运动的条件1动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。2运动学角度：当物体的加速度方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。1自主思考判一判(1)曲线运动的速度方向可能不变。()(2)曲线运动的速度大小和方向一定同时改变。()(3)曲线运动一定是变速运动。()(4)物体做曲线运动时，合力一定是变力。()(5)物体做曲线运动时，合力一定不为零。()(6)物体做曲线运
4、动时，加速度一定不为零。()2.合作探究议一议(1)花样滑冰以美妙绝伦的舞姿深受人们喜爱，某花样滑冰运动员正在冰面上进行精彩表演，为了描述她的位置及位置变化，应建立何种坐标系？- 3 -提示：花样滑冰运动员在冰面上做曲线运动，应建立平面直角坐标系。(2)广场上，喷泉射出的水柱在空中划出一道道美丽的弧线，令人赏心悦目。那么，斜射出水流的速度大小和方向是如何变化的呢？提示：水流速度的大小先减小后增大，方向先斜向上然后逐渐变为斜向下。曲线运动的性质1曲线运动的位置和位移描述：无法用直线坐标系描述曲线运动的位置和位移，而是采用平面直角坐标系。一般先确定 x 轴、 y 轴上的坐标变化，再利用矢量合成的方
5、法求出总的位移。2曲线运动的速度：曲线运动的速度方向与该时刻运动轨迹曲线上相应点的切线方向相同，速度的方向时刻在发生变化。3曲线运动的性质：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因其矢量性，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动。4运动的五种类型：轨迹特点 加速度特点 运动性质加速度为零 匀速直线运动加速度不变 匀变速直线运动直线加速度变化 非匀变速直线运动加速度不变 匀变速曲线运动曲线加速度变化 非匀变速曲线运动1.如图 516 所示的曲线为某同学抛出的铅球的运动轨迹(铅球视为质点)， A、 B、 C 为- 4 -曲线上的三点，关于铅球在 B 点的速度方向
6、，说法正确的是( )图 516A为 AB 的方向 B为 BD 的方向C为 BC 的方向 D为 BE 的方向解析：选 B 物体做曲线运动的速度方向为运动轨迹上经过该点的切线方向，如题图中铅球实际沿 ABC 方向运动，故它在 B 点的速度方向应为切线 BD 的方向，B 正确。2做曲线运动的物体，在运动的过程中一定变化的物理量是( )A速率 B速度C加速度 D加速度的大小解析：选 B 既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，而速率可以不变；加速度可以是不变的，加速度不变，加速度的大小也不变，所以曲线运动一定是变速运动，速度一定是改变的。故 A、C、D 错误，B 正确。3关于运动的性质，以下说法中
7、正确的是( )A曲线运动一定是变速运动B变速运动一定是曲线运动C曲线运动一定是变加速运动D加速度不变的运动一定是直线运动解析：选 A 做曲线运动的物体速度方向时刻变化，所以曲线运动一定是变速运动，A正确。变速运动可能是速度的方向在变化，也可能是速度的大小在变化，所以不一定是曲线运动，B 错误。曲线运动可能是变加速曲线运动，也可能是匀变速曲线运动，C 错误。加速度不变的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，D 错误。对曲线运动条件的理解1物体做曲线运动的条件(1)动力学条件：合力与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件，这包含三个层次的内容。初速度不为零；合力不为零；合力与速度方向
8、不共线。(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。2物体的运动与合力的关系- 5 -(1)合外力方向与物体的速度方向在同一条直线上时，物体做加速直线运动或减速直线运动。(2)合外力方向与物体的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。3两个重要推论(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，物体做曲线运动，速率越来越大；合外力方向与速度方向夹角为直角时，物体做曲线运动，速率不变；合外力方向与速度方向夹角为钝角时，物体做曲线运动，速率越来越小。(2)物体的运动轨迹与合外力有关，物体运动时其轨迹总偏向合外力所指的一侧，或者说合外力总指向运动轨迹的凹侧。典例 如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹
9、示意图，已知在 B 点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )A D 点的速率比 C 点的速率大B A 点的加速度与速度的夹角小于 90C A 点的加速度比 D 点的加速度大D从 A 到 D 加速度与速度的夹角先增大后减小解析 质点做匀变速曲线运动，合力的大小方向均不变，加速度不变，故 C 错误；由B 点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与 B 点切线垂直且向下，故质点由 C 到 D 过程，合力方向与速度方向夹角小于 90，速率增大，A 正确； A 点的加速度方向与过 A 的切线，即速度方向夹角大于 90，B 错误；从 A 到 D 加速度与速度的夹角一直变小，D 错误。答案 A力和
10、运动轨迹关系的两点提醒(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。1如图所示的质点运动轨迹中，可能的是( )- 6 -解析：选 D 物体做直线运动，所以受力的方向与速度的方向一定在同一条直线上，故A 错误；物体所受合力的方向与速度的方向在同一条直线上，则物体做直线运动，故 B 错误；若物体做曲线运动合外力方向应指向曲线弯曲的方向，故 C 错误，D 正确。2.小钢球以初速度 v0在光滑水平面上运动，受到磁铁的侧向作用而沿如图所示的曲线运动到 D 点，由此可知( )A
11、磁铁在 A 处，靠近小钢球的一定是 N 极B磁铁在 B 处，靠近小钢球的一定是 S 极C磁铁在 C 处，靠近小钢球的一定是 N 极D磁铁在 B 处，靠近小钢球的可以是磁铁的任意一端解析：选 D 由小钢球的运动轨迹知小钢球受力方向指向凹侧，即磁铁应在其凹侧，即B 位置，磁铁的两极都可以吸引钢球，因此不能判断磁铁的极性。故 D 正确。3下列说法中正确的是( )A做曲线运动的物体，合外力一定为零B做曲线运动的物体，合外力一定是变化的C做曲线运动的物体，合外力方向与速度方向不在同一直线上D做曲线运动的物体，合外力方向与速度方向在同一直线上解析：选 C 物体做曲线运动的条件是物体所受合外力方向和速度方向
12、不在同一直线上，合力一定不为零，故 A、D 错误，C 正确；物体在恒力作用下可能做曲线运动，只要恒力方向与初速度方向不在同一条直线，故 B 错误。运动的合成与分解1合运动与分运动(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。2合运动与分运动的四个特性- 7 -等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动独立性 各分运动之间互不相干
13、，彼此独立，互不影响3运动的合成与分解(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解。(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的内容是位移、速度、加速度的合成与分解，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。典例如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为 v0，绳某时刻与水平方向夹角为 ，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度 vx为( )A小船做变速运动， vxv0cos B小船做变速运动， vx v0cos C小船做匀速直线运动， vxv0cos D小船做匀速直线运动， vx v0cos 思路点拨 (1)小船的速度沿绳方向的分速度与人拉绳
14、的速度大小相等。(2)根据小船的速度表达式判断小船运动性质。解析 小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度 vx可以产生两个效果：一是使绳子 OP 段缩短；二是使 OP 段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度 vx应分解为沿 OP 绳指向 O 的分速度 v0和垂直 OP 的分速度 v1，由运动的分解可求得 vx ， 角逐渐变大，v0cos 可得 vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且 vx 。v0cos 答案 A“关联”速度的分解规律- 8 -(1)分解依据：物体的实际运动就是合运动。由于绳、杆不可伸长，所以绳、杆两端所连物体的速度沿着绳、杆方向的分速度大小相同。(2)分解方法：将物体
15、的实际速度分解为垂直于绳、杆或沿绳、杆的两个分量。(3)常见的速度分解模型。1关于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是( )A合运动的速度一定大于两个分运动的速度B合运动的速度一定大于一个分运动的速度C合运动的方向就是物体实际运动的方向D由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小解析：选 C 合速度的大小可以大于分速度的大小，也可以小于分速度的大小，还可以等于分速度的大小，故 A、B 均错；仅知道两个分速度的大小，无法画出平行四边形，也就不能求出合速度的大小，故 D 错，只有 C 正确。2多选如图所示，做匀速直线运动的小车 A 通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为
16、 vB、 vA，则( )A vA vBB vA vBC绳的拉力等于 B 的重力- 9 -D绳的拉力大于 B 的重力解析：选 AD 小车 A 向左运动的过程中，小车的速度是合速度， 可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB vAcos ，则 vB vA，小车向左运动的过程中 角减小， vB增大，B 做向上的加速运动，故绳的拉力大于 B 的重力。故 A、D 正确。3如图所示，套在竖直细杆上的环 A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物 B 相连。由于 B 的质量较大，故在释放 B 后， A 将沿杆上升。当 A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度 vA0，若这时 B
17、的速度为 vB，则( )A vB0 B vB0C vB vA D vBvA解析：选 B 对于 A，它的速度如图中标出的 vA，这个速度看成是A 的合速度，其分速度分别是 v1、 vB，其中 vB的大小等于 B 的速度的大小(同一根绳子，大小相同)，当 A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时， vA与 vB垂直，故 vB0。小船渡河问题典例 小船要横渡一条 200 m 宽的河，水流速度为 3 m/s，船在静水中的航速是 5 m/s，求：(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 370.6)思路点拨 求
18、解小船渡河问题应理清以下问题(1)水流速度不会帮助小船渡河；(2)船头的方向就是小船自身速度的方向；(3)小船实际运动的方向由合速度方向决定。解析 (1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，- 10 -小船做匀速运动，故渡河时间 t s40 s，小船沿河流方向的位移 x v 水dv船 2005t340 m120 m，即小船经过 40 s，在正对岸下游 120 m 处靠岸。(2)要使小船到达河的正对岸，则 v 水 、 v 船 的合运动 v 合 应垂直于河岸，如图所示，则 v合 4 m/s，经历时间 t s 50 s。又 cos v船 2 v水 2dv合 2004 0.
19、6v水v船 35即船头指向与岸的上游所成角度为 53。答案 (1)40 s 正对岸下游 120 m 处 (2)船头指向与岸的上游成 53角 50 s小船渡河的两类问题、三种情景最短时间当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间 tmindv船如果 v 船 v 水 ，当船头方向与上游夹角 满足 v 船 cos v 水 时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽 d最短位移如果 v 船 v 水 ，当船头方向(即 v 船 方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于dv水v船1.某人从码头坐船到河正对岸的码头，此时河水流速较大，航行时他发现艄公为了将他送到正对岸，船头并不垂直于河岸，而是略朝向上游
20、，请问艄公这样做的主要目的是什么( )A为了多绕点路看风景 B为了节省体力C为了节省时间 D为了船的路程最小解析：选 D 渡河过程中，船参与两个分运动，沿着船头的运动和随着河水的流动；艄公为了将他送到正对岸，船头并不正对河对岸，而是略朝向上游，则合速度垂直河岸，是最短位移渡江，不是最小时间渡河，故 D 正确，A、C 错误；由于不是最短时间渡河，故不是节省体力，故 B 错误。2一轮船以一定的速度垂直河流向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是( )A水速越大，路程越长，时间越长- 11 -B水速越大，路程越短，时间越短C水速越大，路程和时间都不变D水速
21、越大，路程越长，时间不变解析：选 D 轮船渡河的运动是两个分运动的合成：假设河水不流动，轮船在静止的河水中垂直对岸行驶；假设船不运行，而河水流动，则船随河水一起向下漂动。这两个分运动具有独立性，因而河水流速增大不影响船到达对岸的时间，但在相同的时间里，沿水流方向移动的位移要增大，因而选项 D 正确。3(多选)若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。现假设河的宽度为 120 m。河中心水的流速大小为 4 m/s，船在静水中的速度大小为 3 m/s，要使船以最短时间渡河，则( )A船渡河的最短时间是 24 sB在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C船在河水中航
22、行的轨迹是一条直线D船在河水中的最大速度为 5 m/s解析：选 BD 当船头的指向(即船相对于静水的航行方向)始终垂直于河岸时，渡河时间最短，且 tmin s40 s，A 错误，B 正确；因河水的流速随距岸边距离的变化而变化，1203则小船的实际航速、航向都在变化，航向变化引起船的运动轨迹不在一条直线上，C 错误；船在静水中的速度一定，则水流速度最大时，船速最大，由运动的合成可知，D 正确。1质点在一平面内沿曲线由 P 运动到 Q，如果用 v、 a、 F 分别表示质点在运动过程中的速度、加速度和受到的合外力，下图中可能正确的是( )解析：选 D 物体做曲线运动，物体的速度的方向是沿着轨迹的切线
23、方向，所以 A 错误；物体受到的合力应该指向运动轨迹的弯曲的内侧，并且合力的方向和加速度的方向是相同的，所以加速度的方向也是指向运动轨迹的弯曲的内侧，由此可以判断 B、C 错误，D 正确。2关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是( )A物体的速度方向一定不断改变- 12 -B物体的速度大小一定不断改变C物体的加速度方向一定不断改变D物体的加速度大小一定不断改变解析：选 A 对于曲线运动来说，速度方向始终沿着轨迹某点的切线方向，其方向一定会发生变化，而大小则有可能不变，故选项 A 正确，B 错误；曲线运动的加速度有可能不变，即有可能做匀变速曲线运动，故选项 C、D 错误。3河宽 420 m，船
24、在静水中速度为 4 m/s，水流速度是 3 m/s，则船过河的最短时间是( )A140 s B100 s C84 s D105 s解析：选 D 船参与了两个分运动，沿船头指向的分运动和沿水流方向的分运动，渡河时间等于沿船头指向分运动的时间，当船头与河岸垂直时，沿船头方向的分运动的位移最小，故渡河时间最短，因而有： t s105 s，故 D 正确。dv船 42044多选下列说法中正确的是( )A物体受到的合外力方向与速度方向相同时，物体做加速直线运动B物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做曲线运动C物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做减速直线运动D物体受到的合外力方向与速度方向
25、相反时，物体做减速直线运动解析：选 ABD 当物体的运动方向与所受合外力方向在一条直线上时，物体做直线运动，运动方向与合外力方向相同时物体做加速直线运动，运动方向与合外力方向相反时物体做减速直线运动，选项 A、D 正确。物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，可将合外力沿曲线的切线方向和垂直切线方向分解，切线方向的分力与速度的方向相同，使速度增大，垂直切线方向的分力改变速度的方向，使物体做曲线运动，选项 C 错误，B 正确。5设空中的雨滴从静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是( )A风速越大，雨滴下落的时间越长B雨滴下落时间与风速无关C风速越大，雨滴着地时的速度越小D雨滴着地
26、速度与风速无关解析：选 B 将雨滴的运动沿水平方向和竖直方向正交分解，水平方向随风一起飘动，竖直方向同时向下落。由于水平方向的分运动对竖直分运动无影响，故落地时间与风速无关，故 A 错误，B 正确；两分运动的速度合成可得到合速度，故风速越大，落地时合速度越大，故 C、D 错误。6.如图所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为 时，船的速率为( )- 13 -A vsin B.vsin C vcos D.vcos 解析：选 C 人行走的速度沿绳方向的分速度大小即为船的速率，由此可知，船的速率为 v vcos 。7
27、在电视台举办的娱乐节目中，参赛人员站在一个以较大角速度匀速旋转的水平大平台边缘，向平台圆心处的球筐内投入篮球。已知参赛人员相对平台静止，忽略空气阻力，则下列各俯视图中，篮球最可能进入球筐的是(图中箭头表示投篮方向)( )解析：选 A 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿篮筐方向，球就会被投入篮筐，故 A 正确，B、C、D 错误。8多选如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，若使三角板沿刻度尺向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断，其中正确的有( )A笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线B笔尖留下的痕
28、迹是一条抛物线C在运动过程中，笔尖的速度方向始终保持不变D在运动过程中，笔尖的加速度方向始终保持不变解析：选 BD 笔尖实际参与的是水平向右的匀速直线运动和向上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动，合运动是类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，A 错，B 对；笔尖做曲线运动，在运动过程中，笔尖的速度方向不断变化，C 错；笔尖的加速度方向始终向上，D 对。9有一个质量为 4 kg 的质点在 xy 平面内运动，在 x 方向的速度图像和 y 方向的位移- 14 -图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )A质点做匀变速直线运动B质点所受的合外力大小为 22 NC2 s 时质点的速度大小为 6 m/sD
29、0 时刻质点的速度大小为 5 m/s解析：选 D 质点做匀变速曲线运动，故 A 错误；由题图知质点的加速度 a v t 6 32m/s21.5 m/s2，根据牛顿第二定律： F ma41.5 N 6 N，B 错误；由题图知，2 s 末在x 方向上速度为 6 m/s，在 y 方向上做初速度为 m/s4 m/s 的匀速运动，根据运动的合成，82则质点在 2 s 末速度的大小为 v m/s2 m/s，故 C 错误；由题图知，在 x 方向62 42 13上初速度为 3 m/s，在 y 方向上做初速度为 m/s4 m/s 的匀速运动，根据运动的合成，则82质点的初速度的大小为 v m/s5 m/s，故
30、D 正确。32 4210.一人带一猴在表演杂技，如图所示，直杆 AB 长 h8 m，猴子在直杆上由 A 向 B 匀速向上爬，同时人用肩顶着直杆水平匀速移动。已知在 5 s 内，猴子由 A 运动到 B，而人也由甲位置运动到了乙位置。已知 s6 m，求：(1)猴子相对地面的位移大小；(2)猴子相对地面的速度大小。解析：(1)猴子对地面的位移 AB为猴子相对于人的位移 AB 与人相对地面的位移 AA的矢量和，所以 AB m10 m。 AB 2 AA 2 h2 s2 82 62(2)猴子相对于地面的速度 v m/s2 m/s。ABt 105答案：(1)10 m (2)2 m/s11飞机在航行时，它的航
31、线方向要严格地从东到西，如果飞机的速度是 160 km/h，风从南面吹来，风的速度为 80 km/h，那么：- 15 -(1)飞机应朝哪个方向飞行？(2)如果所测地区长达 80 km，飞机飞过所测地区所需时间是多少？3解析：(1)根据平行四边形定则可确定飞机的航向，如图所示，有 sin ， 30，即西偏南 30。v1v2 80160 12(2)飞机的合速度 v v2cos 3080 km/h3所需时间 t 1 h。xv答案：(1)西偏南 30 (2)1 h12船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离 d 的变化关系如图乙所示，求：(1)小船渡河的最短时间？(2)小船以最短时间渡河的位移？解析：(1)由图像可知， v 船 3 m/s，河宽 d300 m，船头正对对岸则渡河时间最短，故 tmin 100 s。dv船(2)当小船船头正对对岸行驶时， d v 船 t，故 v 水 先随时间线性增大，后线性减小，垂直河岸分位移 x1 d300 m，沿河岸方向分位移 x22 200 m，(v水2tmin2 )总位移 x100 m。13答案：(1)100 s (2)100 m13- 16 -
