1、13.5 指数与指数函数最新考纲 考情考向分析1.了解指数幂的含义，掌握有理数指数幂的运算2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用3.了解指数函数的变化特征.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna (a0， m， nN *，且 n1)于是，在条nam件 a0， m， nN *，且 n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 n 1ma(a0， m， nN *，且 n1).0 的正分数指数幂等
2、于 0；0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质： aras ar s，( ar)s ars，( ab)r arbr，其中a0， b0， r， sQ.2指数函数的图象与性质y ax a1 00 时， y1；当 x0 时，012(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数概念方法微思考1.如图是指数函数(1) y ax，(2) y bx，(3) y cx，(4) y dx的图象，则 a， b， c， d 与 1 之间的大小关系为_提示 cd1ab02结合指数函数 y ax(a0， a1)的图象和性质说明 ax1(a0， a1)的解集跟 a 的取值有关提示 当 a1 时， ax1
3、 的解集为 x|x0；当 01 的解集为 x|x0，且 a1)的图象经过点 P ，则 f(1)_.(2，12)答案 2解析 由题意知 a2，所以 a ，12 22所以 f(x) x，所以 f( 1) 1 .(22) (22) 234P59A 组 T7已知 a135， b14， c342，则 a， b， c 的大小关系是_答案 cb1，又 c3420， a1)在1,2上的最大值比最小值大 ，则 a 的值为a2_答案 或12 32解析 当 01 时， a2 a ， a 或 a0(舍去)a2 32综上所述， a 或 .12 324题型一 指数幂的运算1若实数 a0，则下列等式成立的是( )A(2)
4、2 4 B2 a3 12a3C(2) 01 D411a答案 D解析 对于 A，(2) 2 ，故 A 错误；对于 B,2a3 ，故 B 错误；对于 C，(2)14 2a301，故 C 错误；对于 D，1a ，故 D 正确1a2计算：213270.810( 2) 1 0_.5答案 1679解析 原式 2 500 1(32) 12 105 25 25 2 10 10 201 .49 5 5 16793化简： 2311240.ab(a0， b0)_.答案 85解析 原式23210ab2 13 101 .854化简4232332 538aba_( a0)答案 a25解析 原式33111322111333
5、abab32 5116231153322.aaab a2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数题型二 指数函数的图象及应用例 1(1)函数 f(x)1e |x|的图象大致是( )答案 A解析 f(x)1e |x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，又 e|x|1， f(x)0.符合条件的图象只有 A.(2)已知函数 f(x)|2 x1|， af(c)f(b)，则下列结论中，一定
6、成立的是( )A a0C2 af(c)f(b)，结合图象知，00，0f(c)，12 a2c1，2 a2 c220，可知 b15”连接)答案 3 aa31解析 易知 3a0， 31，因此 3aa31.命题点 2 解简单的指数方程或不等式例 3(1)已知实数 a1，函数 f(x)Error!若 f(1 a) f(a1)，则 a 的值为_答案 12解析 当 a1 时，代入不成立故 a 的值为 .12(2)若偶函数 f(x)满足 f(x)2 x4( x0)，则不等式 f(x2)0 的解集为_答案 x|x4 或 x0，则 f(x) f( x)2 x4， f(x)Error!当 f(x2)0 时，有Err
7、or!或Error!解得 x4 或 x4 或 x0)，则 y t22 t 的单调增区间为1，)，令 2x1，得 x0，又y2 x在 R 上单调递增，所以函数 f(x)4 x2 x1 的单调增区间是0，)思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练 2(1)已知 f(x)2 x2 x， a1479， b15，则 f(a)， f(b)的大小关系是_答案 f(b)f(b)(2)函数 f(x)
8、x2 bx c 满足 f(x1) f(1 x)，且 f(0)3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是( )A f(bx) f(cx) B f(bx) f(cx)C f(bx)f(cx) D与 x 有关，不确定答案 A解析 f(x1) f(1 x)， f(x)关于 x1 对称，易知 b2， c3，当 x0 时， b0 c01， f(bx) f(cx)，当 x0 时，3 x2x1，又 f(x)在(1，)上单调递增， f(bx)1， b1， b0C00D01， a0， a1)满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是( )19A(，2 B2，)C2，) D(，2答案 B解析 由 f(1) ，
9、得 a2 ，19 19所以 a 或 a (舍去)，即 f(x) |2x4| .13 13 (13)由于 y|2 x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以 f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选 B.6已知函数 f(x)Error!的值域是8,1，则实数 a 的取值范围是( )A(，3 B3,0)C3，1 D3答案 B解析 当 0 x4 时， f(x)8,1，当 a xa”是“函数 f(x) x m 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数(13) 13a 能取的最大整数为_答案 1解析 f(0) m ，函数 f(x)的图象不过第三象限等价于 m 0，即23 23m ，
10、“ ma”是“ m ”的必要不充分条件， a0 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_答案 (0，12)解析 (数形结合法)当 01 时，解得 01 矛盾12综上， a 的取值范围是 .(0，12)1211已知函数 f(x)2431ax.(1)若 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是(0，)，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， f(x)2431x，令 g(x) x24 x3，由于 g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y t在 R 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在
11、(2，)上单调递(13)增，即函数 f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(，2)(2)令 h(x) ax24 x3，则 f(x) h(x)，(13)由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1，所以 1，解得 a1.12a 164a(3)由指数函数的性质可知，要使函数 f(x)的值域是(0，)，则需函数 h(x) ax24 x3 的值域为 R，因为二次函数的值域不可能为 R，所以 a0.12已知函数 g(x) ax22 ax1 b(a0)在区间2,3上有最小值 1 和最大值 4，设 f(x) .gxx(1)求 a， b 的值；(2)若不等式 f(2x) k2x0 在区间1
12、,1上有解，求实数 k 的取值范围解 (1) g(x) a(x1) 21 b a， a0， g(x)在区间2,3上是增函数，故Error! 解得Error!(2)由(1)知 g(x) x22 x1， f(x) x 2，1x f(2x) k2x0 可化为 1 22 k，(12x) 12x令 t ，则 k t22 t1，12x x1,1， t .12， 213记 h(t) t22 t1， t .12， 2 h(t)0,1， k h(t)max1，即 k 的取值范围是(，113(2016浙江)已知函数 f(x)满足： f(x)| x|且 f(x)2 x， xR.( )A若 f(a)| b|，则 a
13、b B若 f(a)2 b，则 a bC若 f(a)| b|，则 a b D若 f(a)2 b，则 a b答案 B解析 | x|Error!根据题意可取 f(x)Error!即 f(x)Error!下面利用特值法验证选项当 a1， b3 时可排除选项 A，当 a5， b2 时可排除选项 C，D.故选 B.14(2018浙江镇海中学模拟)已知函数 f(x) ax x b 的零点 x0( n， n1)( nZ)，其中常数 a， b 满足 2016a2017,2017 b2016，则 n 的值是( )A2B1C0D1答案 B解析 2016 a2017,2017 b2016，1 a2,0 b1，故函数 f(x)在 R 上为增函数，又 f(0)1 b0， f(1) 1 b11 b0，则函数 f(x)在区间(1,0)上有唯一的1a零点，故 n 的值是1，故选 B.15设 f(x)|2 x1 1|， af(c)，则 2a2 c_4.(选填“” “1，则由 f(a)f(c)，得 12 a1 2c1 1，即 2c1 2 a1 0， g(t)在(，1)上单调递增，即 g(t)g(1)0，则方程 3t12 t无解14当 t1 时，2 t2 t成立，由 f(a)1，得 a1，且 3a11，解得 a1； a1，且232a1，解得 a1.综上可得 a 的取值范围是 .23， )
