1、1高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题第 1课时 范围、最值问题题型一 范围问题例 1 (2018浙江)如图，已知点 P是 y轴左侧(不含 y轴)一点，抛物线 C： y24 x上存在不同的两点 A， B满足 PA， PB的中点均在 C上.(1)设 AB中点为 M，证明： PM垂直于 y轴；(2)若 P是半椭圆 x2 1( x0)上的动点，求 PAB面积的取值范围.y24(1)证明 设 P(x0， y0)， A ， B .(14y21， y1) (14y2， y2)因为 PA， PB的中点在抛物线上，所以 y1， y2为方程 24 ，(y y02 ) 14y2 x02即 y22 y0y8 x0
2、y 0 的两个不同的实根.20所以 y1 y22 y0，所以 PM垂直于 y轴.(2)解 由(1)可知Error!所以| PM| (y y ) x0 y 3 x0，18 21 2 3420|y1 y2|2 .2y20 4x0所以 PAB的面积S PAB |PM|y1 y2| (y 4 x0)32.12 324 20因为 x 1(1 x00)，20y204所以 y 4 x04 x 4 x044，5，20 20所以 PAB面积的取值范围是 .62，15104 2思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已
3、知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练 1 (2018杭州质检)已知椭圆 C： 1，直线 l： y kx m(m0)，设直线x23 y22l与椭圆 C交于 A， B两点.(1)若| m| ，求实数 k的取值范围；3(2)若 直 线 OA， AB， OB的 斜 率 成 等 比 数 列 (其 中 O为 坐 标 原 点 )， 求 OAB的 面 积
4、 的 取 值 范 围 .解 (1)联立方程 1 和 y kx m，x23 y22得(23 k2)x26 kmx3 m260，所以 (6 km)24(23 k2)(3m26)0，所以 m2 ，所以 23 k23，3即 k2 ，解得 k 或 kb0)，从椭圆的一个x2a2 y2b2焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，再经椭圆反射后回到起点.光线经过的路径为正三角形，且该三角形的周长为 12.(1)求椭圆的方程；5(2)过 A(0， b)且互相垂直的直线分别与椭圆交于另外两点 B， C，记它们的横坐标分别为xB， xC，求 xBxC的最小值以及 xBxC最小时 ABC的面积.解 (1)不妨设光
5、线从焦点 F1( c， 0)出发到达椭圆上的点 M，反射后经过另一个焦点F2(c， 0)到达椭圆上的点 N.由于光线经过的路径为正三角形 F1MN，则| F1M| F1N|，所以 MN F1F2， F1F2为 F1MN的中线.由椭圆的定义得 4a12， a3.又| F1F2|2 c 42 ，32 3所以 c ， b2 a2 c26，3所以椭圆的方程为 1.x29 y26(2)由(1)得 A(0， ).显然直线 AB， AC的斜率均存在且不为 0.6设直线 AB的方程为 y kx (k0)，6代入 1，得(23 k2)x26 kx0，x29 y26 6所以 xB ，同理求得 xC ，66k2 3
6、k2 66k2k2 3所以 xBxC 66k2 3k2 66k2k2 3 216k22 3k22k2 3 216k26k4 13k2 6 2166k2 13 6k2 ，2166(k2 1k2) 13 21625当且仅当 k21 时等号成立.所以当 k21 时， xBxC取得最小值 .21625当 k21 时，| AB| ，| AC| ，66|k|1 k22 3k2 66|k| 1 ( 1k)22k2 3S ABC |AB|AC| .12 108|k|1 k22 3k22k2 3 2162561.已知 P(x0， y0)是椭圆 C： y21 上的一点， F1， F2是 C的两个焦点，若 0， b
7、0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1且x2a2 y2b2垂直于 x轴的直线与该双曲线的左支交于 A， B两点， AF2， BF2分别交 y轴于 P， Q两点.若 PQF2的周长为 16，则 的最大值为( )ba 1A. B. C. D.43 34 53 45答案 A解析 如图(1)，由已知条件得 ABF2的周长为 32，因为|AF2|2 a| AF1|，| BF2|2 a| BF1|，| AF1| BF1| ，所以 4a 32， a8，b2a 4b2a b2a可整理为( a4) 2 b216.设 k ，则 k表示为( a， b)与(1，0)连线的斜率，作出图ba 1形，如图(2)，易
8、知 kmax .故选 A.435.设 O为坐标原点， P是以 F为焦点的抛物线 y22 px(p0)上任意一点， M是线段 PF上的点，且| PM|2| MF|，则直线 OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.122 23 33答案 A解析 由题意可得 F ，设 P (y00)，(p2， 0) (y202p， y0)则 ( ) ，OM OF FM OF 13FP OF 13OP OF 13OP 23OF (y206p p3， y03)可得 k .y03y206p p3 1y02p py0 12y02ppy0 228当且仅当 时取得等号，故选 A.y02p py06.(2018浙江省杭州
9、市七校联考)已知 M， N为双曲线 y21 上关于坐标原点 O对称的x24两点， P为双曲线上异于 M， N的点，若直线 PM的斜率的取值范围是 ，则直线 PN的斜12， 2率的取值范围是( )A. B.(18， 12) 12， 18C. D. 18， 12 12， 18 18， 12答案 C解析 设 M(x0， y0)， N( x0， y0)， P(m， n)(m x0)，则 kPM ， kPN .因为n y0m x0 n y0m x0点 P， M， N均在双曲线 y21 上，所以 n21， y 1，两式相减得x24 m24 x204 20m x0m x04(n y0)(n y0)0，化简得
10、 ，即 kPMkPN ，又 kPM2，n y0m x0 n y0m x0 14 14 12即 2，解得 kPN ，故选 C.12 14kPN 18 127.椭圆 C： y21( a1)的离心率为 ， F1， F2是 C的两个焦点，过 F1的直线 l与 C交于x2a2 32A， B两点，则| AF2| BF2|的最大值为_.答案 7解析 因为椭圆 C的离心率为 ，所以 ，32 a2 1a 32解得 a2，由椭圆定义得| AF2| BF2| AB|4 a8，即| AF2| BF2|8| AB|，而由焦点弦性质，知当 AB x轴时，| AB|取得最小值 2 1，b2a因此| AF2| BF2|的最大
11、值为 817.8.已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，点 P在双曲线的右支上，如果x2a2 y2b2|PF1| t|PF2|(t(1，3)，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是_.答案 (0， 3解析 由双曲线的定义及题意可得9Error! 解得Error!又| PF1| PF2|2 c，| PF1| PF2| 2 c，2att 1 2at 1整理得 e 1 ，ca t 1t 1 2t 110，可设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 .6m3m2 4 93m2 4可知 1FPQSA |F1F2|y1 y2| 12 ，
12、12 y1 y22 4y1y2 m2 13m2 42又 ，当且仅当 m0 时取等号，m2 13m2 42 19m2 1 1m2 1 6 116故 1FPQS3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长 l4 a8，则内切圆半径 r 18FPQS (当 m0 时，取等号)，其面积最大值为 .34 91610.已知斜率为 k的直线与椭圆 1 交于 A， B两点，弦 AB的中垂线交 x轴于点x24 y23P(x0， 0)，则 x0的取值范围是_.答案 (12， 12)解析 设直线的方程为 y kx m，联立Error!化简得(34 k2)x28 kmx4 m2120，所以
13、 64 k2m24(34 k2)(4m212)0，所以 4k2 m230.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，10由题意得Error!所以 y1 y2 kx1 m kx2 m k(x1 x2)2 m2 m ，8k2m3 4k2 6m3 4k2所以 ， ，x1 x22 4km3 4k2 y1 y22 3m3 4k2所以线段 AB的中点坐标为 ，( 4km3 4k2， 3m3 4k2)当 k0 时，弦 AB的中垂线为 y轴，此时 x00，当 k0 时，线段 AB的垂直平分线方程为y ，3m3 4k2 1k(x 4km3 4k2)把点 P(x0， 0)代入上面的方程得x0(34 k2) k
14、m.所以 m ，代入 4k2 m230.x03 4k2k整理得 x 0)，204k4 3k216k4 24k2 9x 0)，焦点为 F，直线 l交抛物线 C于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点， D(x0， y0)为线段 AB的中点，且|AF| BF|12 x0.(1)求抛物线 C的方程；(2)若 x1x2 y1y21，求 的最小值.x0|AB|解 (1)由题意知| AF| BF| x1 x2 p， x1 x22 x0，且| AF| BF|12 x0， p1，抛物线 C的方程为 y22 x.11(2)设直线 l的方程为 x my b，代入抛物线方程，得 y22 my2 b0， 4
15、m28 b0， y1 y22 m， y1y22 b. x1x2 y1y21，即 y1y21，y21y24 y1y22，即 b1，则 m取任意实数时， 0恒成立.| AB| |y1 y2|1 m2 1 m2 y1 y22 4y1y22 ，1 m2 m2 2x0 (y1 y2)22 y1y2 m21，x1 x22 y21 y24 14 ，x0|AB| m2 12m2 1m2 2令 t m21， t1，)，则 ，x0|AB| t2tt 1 121 1t 24 的最小值为 .x0|AB| 2412.已知椭圆 C： 1( ab0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 b.x2a2 y2b2 33(1)求
16、椭圆 C的离心率；(2)若点 M 在椭圆 C上，不过原点 O的直线 l与椭圆 C相交于 A， B两点，与直线 OM(3，32)相交于点 N，且 N是线段 AB的中点，求 OAB面积的最大值.解 (1)由题意，得 a c b，则( a c)2 b2，33 13结合 b2 a2 c2，得( a c)2 (a2 c2)，13即 2c23 ac a20，亦即 2e23 e10，结合 00.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .8km3 4k2 4m2 123 4k2因为 y1 y2 k(x1 x2)2 m ，6m3 4k2所以线段 AB的中点 N的坐标为 ，(4
17、km3 4k2， 3m3 4k2)因为点 N在直线 y x上，12所以 2 ，4km3 4k2 3m3 4k2解得 k .32所以 48(12 m2)0，解得2 0， b0)的右顶点为 A，与 x轴平行的直线交 于 B， C两x2a2 y2b2点，记 BAC ，若 的离心率为 ，则( )2A. B. (0，2) 2C. D. (34， ) 34答案 B解析 e ， c a， b2 c2 a2 a2，ca 2 2双曲线方程可变形为 x2 y2 a2.设 B(x0， y0)，由对称性可知 C( x0， y0)，点 B(x0， y0)在双曲线上， x y a2. A(a， 0)， ( x0 a， y
18、0)， ( x0 a， y0)，20 20 AB AC ( x0 a)( x0 a) y a2 x y 0，AB AC 20 20 20 ，即 .故选 B.AB AC 214.若点 O和点 F分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，x29 y28则 的最小值为_.OP FP 答案 6解析 点 P为椭圆 1 上的任意一点，x29 y28设 P(x， y)(3 x3，2 y2 )，2 2由题意得左焦点 F(1，0)， ( x， y)， ( x1， y)，OP FP x(x1) y2 x2 xOP FP 72 8x29 2 .19 (x 92) 2343 x3， x ，32 92
19、152 2 ， 2 ，94 (x 92) 2254 14 19(x 92) 254146 2 12，19 (x 92) 234即 6 12.故最小值为 6.OP FP 15.如图，由抛物线 y212 x与圆 E：( x3) 2 y216 的实线部分构成图形 ，过点 P(3，0)的直线始终与图形 中的抛物线部分及圆部分有交点，则| AB|的取值范围为( )A.4，5B.7，8C.6，7D.5，6答案 B解析 由题意可知抛物线 y212 x的焦点为 F(3，0)，圆( x3) 2 y216 的圆心为 E(3，0)，因此点 P， F， E三点重合，所以| PA|4，设 B(x0， y0)，则由抛物线
20、的定义可知|PB| x03，由Error!得( x3) 212 x16，整理得 x26 x70，解得x11， x27(舍去)，设圆 E与抛物线交于 C， D两点，所以 xC xD1，因此 0 x01，又| AB| AP| BP|4 x03 x07，所以| AB| x077，8，故选 B.16.(2018嘉兴测试)已知 F1， F2为椭圆与双曲线的公共焦点， P是它们的一个公共点，且 F1PF245，求该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值.解 不妨设| PF1| PF2|2 a1，| PF1| PF2|2 a2，其中 a1， a2分别为椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长，则| PF1| a1 a2，| PF2| a1 a2，由余弦定理得(2 )a (2 )a 4 c2(c为半焦距)，2 21 2 2设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1， e2，则 4.2 2e21 2 2e2又 4 2 ，2 2e21 2 2e2 2 22 2e21e2 22e1e2即 e1e2 ，22当 e1 ， e2 时，等号成立，2 22 2 22所以椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为 .2215
