1、16.5 复 数最新考纲 考情考向分析1.了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念2.了解复数的加、减运算的几何意义3.理解复数代数形式的四则运算.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.1复数的有关概念(1)定义：形如 a bi(a， bR)的数叫做复数，其中 a 叫做复数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部(i 为虚数单位)(2)分类：满足条件( a， b 为实数)a
2、 bi 为实数 b0a bi 为虚数 b0复数的分类a bi 为纯虚数 a0 且 b0(3)复数相等： a bi c dia c 且 b d(a， b， c， dR)(4)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 a c， b d(a， b， c， dR)(5)模：向量 的模叫做复数 z a bi 的模，记作| a bi|或| z|，即| z| a bi|OZ (a， bR)a2 b22复数的几何意义复数 z a bi 与复平面内的点 Z(a， b)及平面向量 ( a， b)(a， bR)是一一对应关系OZ 3复数的运算(1)运算法则：设 z1 a bi， z2 c di， a， b， c，
3、dR.2(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即 ， .OZ OZ1 OZ2 Z1Z2 OZ2 OZ1 概念方法微思考1复数 a bi 的实部为 a，虚部为 b 吗？提示 不一定只有当 a， bR 时， a 才是实部， b 才是虚部2如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程 x2 x10 没有解( )(2)复数 z a bi(a， bR)中，虚部为 bi.( )(3
4、)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )(4)原点是实轴与虚轴的交点( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )题组二 教材改编2P106B 组 T2设 z 2i，则| z|等于( )1 i1 iA0B. C1D.12 2答案 C3解析 z 2i 2i 2ii，1 i1 i 1 i21 i1 i 2i2| z|1.故选 C.3P112A 组 T2在复平面内，向量 对应的复数是 2i，向量 对应的复数是13i，AB CB 则向量 对应的复数是( )CA A12iB12iC34iD34i答案 D解析 13i(2i)34i.CA CB B
5、A 4P116A 组 T2若复数 z( x21)( x1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( )A1B0C1D1 或 1答案 A解析 z 为纯虚数，Error! x1.题组三 易错自纠5设 a， bR，i 是虚数单位，则“ ab0”是“复数 a 为纯虚数”的( )biA充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 复数 a a bi 为纯虚数， a0 且 b0，即 a0 且 b0，“ ab0”是bi“复数 a 为纯虚数”的必要不充分条件故选 C.bi6若复数 z 满足 iz22i(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点所在的z象限是( )A第
6、一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 由题意， z 22i，2 2ii 2 2i ii i 22i，则 z 的共轭复数 对应的点在第二象限故选 B.z z7i 2014i 2015i 2016i 2017i 2018i 2019i 2020_.答案 i解析 原式i 2i 3i 4i 1i 2i 3i 4i.4题型一 复数的概念1(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)若复数 z 满足 iz32i(i 为虚数单位)，则复数 z 的虚部是( )A3 B3iC3 D3i答案 C解析 因为 z 23i，所以复数 z 的虚部是 3.故选 C. 3 2ii2复数 的共轭复数是( )2 i1
7、iA i B i32 12 32 12C. i D. i32 12 32 12答案 D解析 由复数 i，2 i1 i (2 i)1 i1 i1 i 3 i2 32 12所以共轭复数为 i，故选 D.32 123(2018杭州质检)设 aR，若(13i)(1 ai)R(i 是虚数单位)，则 a 等于( )A3 B3C. D13 13答案 B解析 由题意得，(13i)(1 ai)13 a(3 a)i 为实数，3 a0， a3，故选B.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解题型二 复数的运算命题点 1 复数的乘法运算例
8、 1(1)(2018全国)(1i)(2i)等于( )5A3i B3iC3i D3i答案 D解析 (1i)(2i)22iii 23i.(2)i 等于( )(2 3i)A32i B32iC32i D32i答案 D解析 i(23i)2i3i 232i，故选 D.命题点 2 复数的除法运算例 2(1)(2018全国) 等于( )1 2i1 2iA i B i45 35 45 35C i D i35 45 35 45答案 D解析 1 2i1 2i 1 2i21 2i1 2i 1 4 4i1 2i2 i. 3 4i5 35 45故选 D.(2)(2018浙江杭州地区四校联考)设 z 的共轭复数是 ，若 z
9、 4， z28i，则 等于( )z zzzAi BiC1 Di答案 D解析 由 z 4 可设 z2 bi(bR)，由 z28i，得 b2，所以 z 8， z zzz z28i，故选 D.22i28命题点 3 复数的综合运算例 3(1)(2018绍兴质检)在复平面内，复数 i 5的模为( )11 iA. B.10526C. D.5102答案 D解析 因为 i 5 i 5 ii i，所以该复数的模为11 i 1 i1 i1 i 12 12 12 32 ，故选 D.(12)2 ( 32)2 102(2)对于两个复数 1i， 1i，有下列四个结论： 1； i； 1； 2 20， | |其中正确结论的个
10、数为( )A1B2C3D4答案 C解析 对于两个复数 1i， 1i， (1i)(1i)2，故不正确； i，故正确； 1 i1 i 1 i1 i1 i1 i 2i2 1，故正确；| | | i| 2 2(1i) 2(1i) 212i112i10，故正确故选 C.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练 1(1)已知 aR，i 是虚数单位，若 z ai， z 4，则 a 为( )3 zA1 或1 B1C1 D不存在的实数答案 A解析 由题意得 ai，z 3故 z 3 a24 a1，故选 A.z(2)(2018浙江杭
11、州七校联考)已知复数 z2 ai(aR)，|(1i) z|3 ，则 a 的值是2( )A B.5 5C D.3 3答案 A解析 方法一 |(1i) z|(2 a)(2 a)i| 3 ，则 a ，故选 A. 2 a2 2 a2 2a2 8 2 57方法二 |(1i) z|1i| z| 3 ，则 a ，故选 A.2 22 a2 2 5题型三 复数的几何意义例 4(1)(2018浙江六校协作体联考)已知 是 z 的共轭复数，若复数 z 2，则 在复z1 2i2 i z平面内对应的点是( )A(2,1) B(2，1)C(2,1) D(2，1)答案 A解析 方法一 由 z 2 2 22i，得 2i，所以
12、 在1 2i2 i 1 2i2 i2 i2 i 5i5 z z复平面内对应的点为(2,1)，故选 A.方法二 由 z 2 2 22i，得 2i，所以 在复1 2i2 i 1 2ii2 ii 1 2ii 1 2i z z平面内对应的点为(2,1)，故选 A.(2)(2018浙江重点中学考试)已知复数 z 满足(2i) z3 ai(i 是虚数单位)若复数 z在复平面内对应的点在直线 y2 x4 上，则实数 a 的值为_答案 114解析 方法一 因为(2i) z3 ai，所以 z ，其在复平3 ai2 i2 i2 i 6 a 2a 3i5面内对应的点为 ，所以 4，解得 a .(6 a5 ， 2a
13、35 ) 2a 35 12 2a5 114方法二 因为复数 z 在复平面内对应的点在直线 y2 x4 上，不妨设 z t(2 t4)i(tR)，则(2i) t(2 t4)i2 t2 t4(3 t8)i3 ai，所以Error!解得 a.114思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可跟踪训练 2(1)已知复数 z (i 是虚数单位)，则 z 的共轭复数 对应的点在( )5i3 4i zA第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限答案 A8解析 z i，5i3 4i 5i(3 4i)(3 4i)(
14、3 4i) 45 35 i，则 z 的共轭复数 对应的点在第四象限故选 A.z45 35 z(2)已知复数 z112i， z21i， z332i，它们所对应的点分别为 A， B， C， O 为坐标原点，若 x y ，则 x y 的值是_OC OA OB 答案 5解析 由已知得 A(1,2)， B(1，1)， C(3，2)， x y ，OC OA OB (3，2) x(1,2) y(1，1)( x y,2x y)，Error! 解得Error!故 x y5.1(2018湖州模拟)已知 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为( )1 i1 2iiA1BiC1Di答案 C解析 由题意知， z 3i，故
15、复数 z 的虚部为 1. 1 3ii2(2018浙江高考研究联盟联考)复数 的模是( )3 4iiA4B5C7D25答案 B解析 |43i| 5.|3 4ii | 16 93(2018浙江金华名校统练)设复数 z 满足 2i，则 z 等于( )1 z1 zA i B i35 45 35 45C. i D. i35 45 35 45答案 A9解析 由 2i，得 1 z2i(2i) z，所以 z i，故选1 z1 z 1 2i1 2i 1 2i21 2i1 2i 35 45A.4(2018温州测试)若复数 z1， z2在复平面内关于虚轴对称，且 z11i(i 为虚数单位)，则 等于( )z1z2A
16、iBiC2iD2i答案 A解析 依题意得， z21i，所以 i.故选 A.z1z2 1 i 1 i 1 i2 1 i1 i 2i 25已知 i 为虚数单位， aR，若 为纯虚数，则 a 等于( )i 2a iA. B C2D212 12答案 B解析 由题意知 i 2a i (i 2)(a i)(a i)(a i) 2a 1 a 2ia2 1 i，又由 为纯虚数， 2a 1a2 1 a 2a2 1 i 2a i所以2 a10 且 a20，解得 a ，故选 B.126(2018浙江七彩阳光联盟联考)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 1i，则41 zz 等于( )zA4B5C6D8答案 B解析
17、 由 1i，得 z 112i，所以 12i，则 z (12i)(12i)41 z 41 i z z5，故选 B.7已知复数 z 满足 z21216i，则 z 的模为( )A20B12C2 D25 3答案 C解析 设 z a bi， a， bR，则由 z21216i，得 a2 b22 abi1216i，则Error! 解得Error!或Error!即| z| 2 .故选 C.a2 b2 16 4 58已知集合 M1， m,3( m25 m6)i， N1,3，若 M N3，则实数 m 的值为10_答案 3 或 6解析 M N3，3 M 且1 M， m1,3( m25 m6)i3 或 m3， m25
18、 m60 且 m1 或 m3，解得 m6 或 m3，经检验符合题意9(2019嘉兴测试)若复数 z43i，其中 i 是虚数单位，则|z|_， z2_.答案 5 724i解析 | z|43i| 5， z2(43i) 2724i.42 3210若复数 z 满足(3i) z2i(i 为虚数单位)，则 z_；| z|_.答案 i 12 12 22解析 由题意可知 z i，所以| z| 2 i3 i 2 i3 i 3 i3 i 6 5i i29 i2 12 12 (12)2 ( 12)2.2211(2018浙江十校联盟考试)复数 z (i 为虚数单位)的虚部为_，其共轭复2i1 i数在复平面内对应的点位
19、于第_象限答案 1 四解析 因为 z 1i，所以 z 的虚部为 1， 1i，故复数 z 的共轭2i1 i 2i1 i1 i1 i z复数在复平面内对应的点位于第四象限12(2018浙江重点中学考前热身联考)若 a 为实数， 3i，且 z1 i，则17 ai4 5i a11a_，| z|_.答案 11 2解析 由题意得 17 ai(45i)(3i)1711i，所以 a11.故 z1i，| z| .12 12 213(2018台州模拟)已知复数 z 的共轭复数 满足( i)(1i)13i(i 为虚数单位)，z z则 z 在复平面内对应的点位于第_象限，| z|_.答案 三 1011解析 由( i)
20、(1i)13i，得 i i 13i，所以z z1 3i1 i 1 3i1 i1 i1 iz13i，所以 z 在复平面内对应的点为(1，3)，位于第三象限，| z| . 12 32 1014(2017浙江)已知 a， bR，( a bi)234i(i 是虚数单位)，则a2 b2_， ab_.答案 5 2解析 ( a bi)2 a2 b22 abi.由( a bi)234i.得Error!解得 a24， b21.所以 a2 b25， ab2.15已知复数 z bi(bR)， 是实数，i 是虚数单位z 21 i(1)求复数 z；(2)若复数( m z)2所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围解
21、 (1)因为 z bi(bR)，所以 z 21 i bi 21 i bi 21 i1 i1 i i.b 2 b 2i2 b 22 b 22又因为 是实数，所以 0，z 21 i b 22所以 b2，即 z2i.(2)因为 z2i， mR，所以( m z)2( m2i) 2 m24 mi4i 2( m24)4 mi，又因为复数( m z)2所表示的点在第一象限，所以Error! 解得 mb，则 ai bi；若 aR，则( a1)i 是纯虚数；若 zi，则 z31 在复平面内对应的点位于第一象限其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)13答案 解析 由复数的概念及性质知，错误；错误；若 a1，则 a10，不满足纯虚数的条件，错误；z31(i) 31i1，正确20复数 z1， z2满足 z1 m(4 m2)i， z22cos ( 4sin )i(m， ， R)，并且z1 z2，求 的取值范围解 由复数相等的充要条件可得Error!化简得 44cos 2 4sin ，由此可得 4cos 2 4sin 44(1sin 2 )4sin 44sin 2 4sin 4 21，(sin 12)因为 sin 1,1，所以 4sin2 4sin 1,8所以 的取值范围是1,8
