1、1第 2 讲 综合大题部分1(2018青岛模拟)已知函数 f(x) aex x a，e2.718 28是自然对数的底数(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 f(x)恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围解析：(1) f( x) aex1，当 a0 时， f( x) aex10 时，由 f( x) aex10，得 xln a，所以 x(，ln a)， f( x)0， f(x)在(ln a，)上单调递增(2)由题(1)知，当 a0 时，所以 f(x)在(，)上单调递减；又知 f(0)0，所以 f(x)仅有 1 个零点；当 0g(1)0， a 1 2a2所以 f(2ln a) 2ln a a
2、0，1a得 f(x)在(ln a，2ln a)上也有 1 个零点当 a1 时， f(x) f(0)0，所以 f(x)仅有 1 个零点，当 a1 时， f(0)0，所以 f(ln a)1，得 h( a)1 0，1a所以 h(a)h(1)0，所以 aln a， a0，得 f(x)在( a，ln a)上也有 1 个零点综上可知，若 f(x)恰有 2 个零点，则 a(0,1)(1，)2(2018高考北京卷)设函数 f(x) ax2(3 a1) x3 a2e x.(1)若曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线斜率为 0，求 a；2(2)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围解析：
3、(1)因为 f(x) ax2(3 a1) x3 a2e x，所以 f( x) ax2( a1) x1e x.f(2)(2 a1)e 2.由题设知 f(2)0，即(2 a1)e 20，解得 a .12(2)由(1)得 f( x) ax2( a1) x1e x( ax1)( x1)e x.若 a1，则当 x( ，1)时， f( x)0.所以 f(x)在 x1 处取得极小值若 a1，则当 x(0,1)时， ax1 x10.所以 1 不是 f(x)的极小值点综上可知， a 的取值范围是(1，)3(2018滨州月考)已知函数 f(x)ln x ax22 x a (a0)32(1)讨论函数 f(x)的单调
4、性；(2)当 a( ，0)时，设函数 f(x)的极大值点为 x0，求证： f(x0)0，解得 0 ，12所以函数 f(x)在区间( ，)上单调递减；12当 a 时， f( x)0，12函数 f(x)在区间(0，)上单调递增，无单调递减区间；3当 0，解得 x1 ， x2 ，1 1 2a2a 1 1 2a2a则 00，得 (x)0，解得 0 ，1 1 2a2a 1 1 2a2a所以函数 f(x)在区间(0， )，( ，)上单调递增；1 1 2a2a 1 1 2a2a由 f( x)0，解得 x10，1x 1 xx所以函数 h(x)在区间(0,1)上单调递增则 h(x)0，函数 g(x)在区间(0,1)上单调递增，所以 g(x)0，得 x2.所以函数 f(x)的单调增区间是(，1)，(2，)(2)由(1)知 f(x)极大值 f(1) 22 ， f(x)极小值 f(2)13 12 56 242 ，83 163由数形结合，可知要使函数 g(x) f(x)2 m3 有三个零点，则 2m3 ，解得 m .163 56 76 1312所以 m 的取值范围为( ， )76 13125
