1、1专题检测（十五） 圆锥曲线的方程与性质A 组“633”考点落实练一、选择题1(2018全国卷)已知椭圆 C： 1 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为( )x2a2 y24A. B.13 12C. D.22 223解析：选 C a242 28， a2 ， e .2ca 222 222一个焦点为( ，0)且与双曲线 1 有相同渐近线的双曲线方程是( )26y24 x29A. 1 B. 1y218 x28 x218 y28C. 1 D. 1x216 y210 y216 x210解析：选 B 设所求双曲线方程为 t(t0)，因为一个焦点为( ，0)，所以y24 x29 26|13t|26.又
2、焦点在 x 轴上，所以 t2，即双曲线方程为 1.x218 y283若抛物线 y24 x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2， O 为坐标原点，则 OFP 的面积为( )A. B112C. D232解析：选 B 设 P(x0， y0)，依题意可得| PF| x012，解得 x01，故 y 41，20解得 y02，不妨取 P(1,2)，则 OFP 的面积为 121.124(2018全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则点(4,0)x2a2 y2b2 2到 C 的渐近线的距离为( )A. B22C. D2322 22解析：选 D e ， 1.ca 1 b2a2 2 ba
3、双曲线的渐近线方程为 xy0.点(4,0)到 C 的渐近线的距离 d 2 .42 25已知双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线 l 与 C 的左、右y28两支分别交于 A， B 两点，且| AF1| BF1|，则| AB|( )A2 B32C4 D2 12解析：选 C 设双曲线的实半轴长为 a，依题意可得 a1，由双曲线的定义可得|AF2| AF1|2 a2，| BF1| BF2|2 a2，又| AF1| BF1|，故| AF2| BF2|4，又|AB| AF2| BF2|，故| AB|4.6(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C
4、 上的一点若PF1 PF2，且 PF2F160 ，则 C 的离心率为( )A1 B232 3C. D. 13 12 3解析：选 D 在 Rt PF1F2中， PF2F160 ，不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距| F1F2|2，则| PF2|1，| PF1| ，3由椭圆的定义可知，方程 1 中，x2a2 y2b22a1 ，2 c2，得 a ， c1，31 32所以离心率 e 1.ca 21 3 3二、填空题7已知双曲线 y21( a0)的渐近线方程为 y x，则其焦距为_x2a2 33解析：由渐近线方程 y x，可得 ，解得 a ，故 c 2，故33 1a 33 3 3 2 1焦距为 4.答案
5、：48设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为_3解析：设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2由题意可知，直线 l 过焦点，且垂直于 x 轴，将 x c 代入双曲线方程，解得y ，b2a则| AB| ，由| AB|22 a，2b2a则 b22 a2，所以双曲线的离心率 e .ca 1 b2a2 3答案： 39已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，准线为 x1，直线 l 与抛物线 C 交于 M， N 两点，若线段 MN 的中点为(1,1)，则直线 l 的方程为_解析
6、：依题意易得抛物线的方程为 y24 x，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，因为线段 MN 的中点为(1,1)，故 x1 x22， y1 y22，则 x1 x2，由Error!两式相减得y y 4( x1 x2)，所以 2，故直线 l 的方程为 y12( x1)，即21 2y1 y2x1 x2 4y1 y22x y10.答案：2 x y10三、解答题10(2018石家庄模拟)设 A， B 为曲线 C： y 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 2.x22(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，曲线 C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线
7、AB 的方程解：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， y1 ， y2 ， x1 x22，x212 x22故直线 AB 的斜率 k 1.y1 y2x1 x2 x1 x22(2)由 y ，得 y x.x22设 M(x3， y3)，由题设知 x31，于是 M .(1，12)设直线 AB 的方程为 y x m，故线段 AB 的中点为 N(1,1 m)，| MN| .|m12|将 y x m 代入 y ，得 x22 x2 m0.x22由 48 m0，得 m ， x1,21 .12 1 2m4从而| AB| |x1 x2|2 .2 2 1 2m由题设知| AB|2| MN|
8、，即 ，解得 m ，2 1 2m |m12| 72所以直线 AB 的方程为 y x .7211(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1,0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4
9、k2 4k2由题设知 8，解得 k1 或 k1(舍去)4k2 4k2因此 l 的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.12已知直线 x ky30 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点，且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8.(1)求椭圆 C 的标准方程(2)已知圆 O： x2 y21，直线 l： mx ny1，试证：
10、当点 P(m， n)在椭圆 C 上运动时，直线 l 与圆 O 恒相交，并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 l 的取值范围解：(1)设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2直线 x ky30 所经过的定点是(3,0)，即点 F(3,0)5因为椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8，所以 a38， a5，所以 b25 23 216，所以椭圆 C 的方程为 1.x225 y216(2)因为点 P(m， n)在椭圆 C 上，所以 1，即 n216 .m225 n216 16m225又原点到直线 l： mx ny1 的距离 d 0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A， B 两点，
11、D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点 (1)若 AB l，且 ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切解：(1) AB l，| AB|2 p.又| FD| p， S ABD p21. p1，故抛物线 C 的方程为 x22 y.(2)证明：设直线 AB 的方程为 y kx ，p2由Error! 消去 y 得， x22 kpx p20. x1 x22 kp， x1x2 p2.其中 A ， B .(x1，x212p) (x2， x22p) M ， N .(kp， k2pp2) (kp， p2)6 kA
12、N .x212p p2x1 kpx212p p2x1 x1 x22x21 p22px1 x22x21 x1x22px1 x22 x1p又 x22 py，即 y ， y .x22p xp抛物线 x22 py 在点 A 处的切线斜率 k .x1p直线 AN 与抛物线相切2(2018贵阳适应性考试)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，点 M 为短轴的上端点， 0，过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A， BMF1 MF2 两点，且| AB| .2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G， H
13、两点若 k1， k2分别为直线 MH， MG 的斜率，求 k1 k2的值解：(1)由 0，得 b c.MF1 MF2 因为过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A， B 两点，且| AB| ，所以 .2b2a 22又 a2 b2 c2，联立，解得 a22， b21，故椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)设直线 l 的方程为 y1 k(x2)，即 y kx2 k1，将 y kx2 k1 代入 y21，x22得(12 k2)x24 k(2k1) x8 k28 k0，由题设可知 16 k(k2)0，设 G(x1， y1)， H(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，4k 2k 1
14、1 2k2 8k2 8k1 2k2k1 k2 2 ky1 1x1 y2 1x2 kx1 2k 2x1 kx2 2k 2x2 2k 2 4k 2k 11 2k28k2 8k1 2k272 k(2 k1)1，所以 k1 k21.3(2019 届高三唐山五校联考)在直角坐标系 xOy 中，长为 1 的线段的两端点2C， D 分别在 x 轴， y 轴上滑动， .记点 P 的轨迹为曲线 E.CP 2 PD (1)求曲线 E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A， B 两点， ，当点 M 在曲OM OA OB 线 E 上时，求直线 l 的方程解：(1)设 C(m,0)， D(0
15、， n)， P(x， y)由 ，得( x m， y) ( x， n y)，CP 2 PD 2所以Error! 得Error!由| | 1，得 m2 n2( 1) 2，CD 2 2所以( 1) 2x2 y2( 1) 2，2 2 1 22 2整理，得曲线 E 的方程为 x2 1.y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 ，OM OA OB 知点 M 的坐标为( x1 x2， y1 y2)易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx1，代入曲线 E 的方程，得( k22)x22 kx10，则 x1 x2 ，2kk2 2所以 y1 y2 k(x1 x2)2 .4k2 2
16、由点 M 在曲线 E 上，知( x1 x2)2 1， y1 y2 22即 1，解得 k22.4k2 k2 2 2 8 k2 2 2此时直线 l 的方程为 y x1.24.如图，椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F，右顶点、上顶x2a2 y2b2点分别为点 A， B，且| AB| |BF|.52(1)求椭圆 C 的离心率；8(2)若点 M 在椭圆 C 的内部，过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点， M 为线(1617， 217)段 PQ 的中点，且 OP OQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程解：(1)由已知| AB| |BF|，52得 a，a2 b252即 4a24 b2
17、5 a2,4a24( a2 c2)5 a2，所以 e .ca 32(2)由(1)知 a24 b2，所以椭圆 C 的方程可化为 1.x24b2 y2b2设 P(x1， y1)，Q( x2， y2)，由 1， 1，x214b2 y21b2 x24b2 y2b2可得 0，x21 x24b2 y21 y2b2即 0， x1 x2 x1 x24b2 y1 y2 y1 y2b2即 (y1 y2)0，从而 kPQ 2， 3217 x1 x24 417 y1 y2x1 x2所以直线 l 的方程为 y 2 ，217 x ( 1617)即 2x y20.联立Error! 消去 y，得 17x232 x164 b20.则 32 21617( b24)0 b ，21717x1 x2 ， x1x2 .3217 16 4b217因为 OP OQ， 0，即 x1x2 y1y20，OP OQ x1x2(2 x12)(2 x22)0，5x1x24( x1 x2)40，从而 40，解得 b1，5 16 4b217 128179所以椭圆 C 的方程为 y21.x24综上，直线 l 的方程为 2x y20，椭圆 C 的方程为 y21.x24
