1、4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点,一,二,思考辨析,一、圆锥曲线的共同特征(椭圆、双曲线、抛物线的第二定义) 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当01时,圆锥曲线是双曲线;当e=1时,圆锥曲线是抛物线.,【做一做1】 已知椭圆 (ab0)上一点P的横坐标为x0,求点P到两焦点F1,F2的距离.,解:设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点, 点P到右准线的距离为d.,同理可求得|PF1|=a+ex0.,一,二,思考辨析,二、直线与圆锥曲线的交点 在直角坐标系xOy中,给定两条曲线C1,C2,它们由如下方程确定: C1:f(x,y)=0,C2:g
2、(x,y)=0, 求曲线C1和C2的交点,即要求出这些交点的坐标. 设M(x0,y0)是曲线C1和C2的一个交点;因为点M在曲线C1上,所以它的坐标满足方程f(x,y)=0,因为点M在曲线C2上,所以它的坐标也满足方程g(x,y)=0.从而,曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组 . 反过来,该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标.,一,二,思考辨析,名师点拨两条曲线有交点的充要条件是由这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解.方程组有几个解,则两条曲线就有几个交点.,一,二,思考辨析,【做一做2】 求曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点.,
3、两曲线只有一个公共点(-1,0).,一,二,思考辨析,特别提醒1.判断直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系时,要注意讨论二次项系数为零的情况. 2.直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件. 3.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,(2)直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切. ( ) (3)双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大. ( ) (4)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线相切. ( ),探究一,探究二,探究三,一题多解,圆锥曲线的共同
4、特征 【例1】 已知定点A(-2, ),F是椭圆 =1的右焦点,在椭圆上求一点M,使|AM|+2|MF|取得最小值. 思维点拨:点A在椭圆内部,先将点M到焦点的距离转化为到相应准线的距离,再利用数形结合的思想方法求解.,探究一,探究二,探究三,一题多解,即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|, 当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得最小值,反思感悟若点M表示圆锥曲线上一点,F是圆锥曲线的一个焦点,则解决与 |MF|有关的问题,通常先将 |MF|转化为点M到同侧准线的距离,再利用数形结合思想求解.,探究一,探究二,探究三,一题多解,答案:椭圆,探究一,探究二,
5、探究三,一题多解,直线与圆锥曲线的位置关系 【例2】 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试讨论实数k的取值范围,使: (1)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (2)直线l与双曲线有两个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点. 思维点拨:在解决直线与双曲线位置关系时,对消元后的方程的二次项系数是否为零应分类讨论,且要结合判别式讨论.,探究一,探究二,探究三,一题多解,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 当1-k2=0,即k=1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)可化为2x=5,故此时方程(*)只有一个实数解; 当1-k20,即k1时, =(2k2)2
6、-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2),探究一,探究二,探究三,一题多解,综上所述,反思感悟在解决此类问题时,可结合图形,利用数形结合法来分析各种情况,以防漏解.,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练2求过P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.,解:当斜率不存在时,x=0. 当斜率存在时,设直线为y=kx+1,消去y,整理,得k2x2+2(k-1)x+1=0. 当k=0时,y=1; 当k0时,=0k= . 直线方程为x-2y+2=0. 直线方程有三条,分别为x=0,y=1,x-2y+2=0.,探究一,探究二,探究三,一题多解,弦长问题,思维点拨:由直线l1
7、方程的特点,知直线l1恰好过椭圆的两个顶点,即有a2+b2=8,把直线l2的方程代入椭圆方程,利用根与系数的关系和弦长公式求解.,探究一,探究二,探究三,一题多解,(b2+3a2)x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0. 设直线l2与椭圆交于点M(x1,y1),N(x2,y2). 由根与系数的关系,得,探究一,探究二,探究三,一题多解,化简,得a2=3b2. 联立,得a2=6,b2=2.,反思感悟首先设直线与圆锥曲线的交点M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN,后结合韦达定理进行求解,这种“设而不求”的思想要熟练掌握.,探究一,探究二,探究三,一题多解,解:设直线l方程y=2x+b,
8、探究一,探究二,探究三,一题多解,中点弦问题,分析一设出直线AB的方程,与椭圆的方程联立,利用韦达定理及中点坐标公式求解.,探究一,探究二,探究三,一题多解,解法一易知直线的斜率k存在. 设所求直线的方程为y-1=k(x-2),得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,故所求直线的方程为x+2y-4=0.,探究一,探究二,探究三,一题多解,分析二将两个交点坐标(x1,y1),(x2,y2)分别代入椭圆方程中,两式相减,构造出x1+x2,y1+y2(与中点坐标相关), (弦所在直线的斜率).从而获解
9、.,解法二设A(x1,y1),B(x2,y2). M(2,1)为AB的中点,x1+x2=4,y1+y2=2. 又A,B两点在椭圆上,故所求直线的方程为x+2y-4=0.,探究一,探究二,探究三,一题多解,分析三设出点A坐标,由中点坐标公式表示出另一个端点B的坐标,代入椭圆的方程. 解法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y), 由于AB的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y). A,B两点都在椭圆上,-,得x+2y-4=0. 显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.,探究一,探究二,探究三
10、,一题多解,反思感悟弦的中点问题常见的有求弦的中点的轨迹方程,求弦所在直线的方程,主要求解策略有: (1)韦达定理法:把中点弦所在的直线方程与曲线方程联立,消去x(或y)得到一个关于y(或x)的二元一次方程,设出两个交点坐标,但“设而不求”,而是利用韦达定理和中点坐标公式求解,此法为通法. (2)点差法:设出弦的两端点坐标,代入曲线方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系. (3)中点转移法:先设出弦的一个端点坐标,利用中点坐标公式得出另一个端点坐标,代入曲线方程作差可得.,探究一,探究二,探究三,一题多解,(1)求椭圆方程. (2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,且线段M
11、N中点的横坐标为- ,求直线l倾斜角的取值范围.,探究一,探究二,探究三,一题多解,1 2 3 4 5,解析:由已知可设P(x0,y0),M(-2,0),N(2,0),答案:A,1 2 3 4 5,( ) A.4a+4k2=1 B.4k2-a=1 C.a-4k2=1 D.a+4k2=1,直线与椭圆相切, =64k2-4(a+4k2)(4-4a)=0, 整理得4k2+a-1=0. 答案:D,1 2 3 4 5,解析:设此弦所在直线与椭圆的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),1 2 3 4 5,所以点M的轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆.,1 2 3 4 5,5.已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.,解:设弦AB的中点为M,并设A,B,M的坐标分别为,
