1、115.1 & 1.5.2 曲边梯形的面积 定积分对应学生用书 P24曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线 x1， x2， y0 和函数 f(x) x2所围成的图形，问题 1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？ 提示：不能问题 2：若把区间1,2分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解问题 3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确1曲边梯形的面积将已知区间 a， b等分成 n 个小区间，当分
2、点非常多( n 很大)时，可以认为 f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点 xi对应的函数值 f(xi)作为小矩形一边的长于是，可用 f(xi) x 来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式 f(x1) x f(x2) x f(xn) x 表示了曲边梯形面积的近似值2求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为： 分 割 以 直 代 曲 作 和 逼 近定积分2设函数 f(x)在区间 a， b上有定义，将区间 a， b等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x ，在每个小区间上取一点，依次为 x1， x2， xi， xn，作和( xb an )S
3、n f(x1) x f(x2) x f(xi) x f(xn) x.如果当 x0(亦即 n)时， Sn S(常数)，那么称常数 S 为函数 f(x)在区间a， b上的定积分记为 S f(x)dx. ba其中， f(x)称为被积函数， a， b称为积分区间， a 称为积分下限， b 称为积分上限定积分的几何意义问题 1：试利用定积分的定义计算 xdx 的值10提示：将区间0,1等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ，第 i 个小区间i 1n ， in的面积为 Si f ，(in) 1n in 1n所以 Sn Si (123 n)ni 1ni 1in 1n 1n2 ，1n2 n(n 1)2
4、12 12n当 n时， Sn ，所以 xdx .12 10 12问题 2：直线 x0， x1， y0 和函数 f(x) x 围成的图形的面积是多少？提示：如图， S 11 .12 12问题 3：以上两个问题的结果一样吗？提示：一样问题 4：以上问题说明了什么道理？提示：定积分 f(x)dx(f(x)0)的值等于直线 x a， x b，( a b)， y0 和曲线bay f(x)所围成的面积3一般地，定积分 f(x)dx 的几何意义是，在区间 a， b上曲线与 x 轴所围图形面积的ba代数和(即 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积)1 “分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲” ，例子中以“
5、矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确当 n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积” 2定积分 f(x)dx 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分ba区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如 x2dx t2dt.baba对 应 学 生 用 书 P26利用定积分的定义求曲边梯形的面积例 1 求由直线 x1， x2 和 y0 及曲线 y x3围成的图形的面积思路点拨 依据求曲边梯形面积的步骤求解精解详析 (1)分割如图，把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，用分点 ， ， 把n 1n n 2n n (n 1)n区间1,2等分成 n 个小
6、区间： ， ， ，1，n 1n n 1n ， n 2n n i 1n ， n in ，每个小区间的长度为 x ，n (n 1)n ， 2 n in n i 1n 1n过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1， S2， Sn.(2)以直代曲取各小区间的左端点 i，用 为一边长，以小区间长 x 为其邻边长的小矩形3i1n面积近似代替第 i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为 Si x 3 (i1,2,3， n)3i (n i 1n ) 1n4(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和
7、就是曲边梯形 ABCD 的面积 S 的近似值，即 S Si 3 .ni 1ni 1(n i 1n )1n(4)逼近当分割无限变细，即 x0 时，和式的值 S.因为 3 (n i1) 3ni 1(n i 1n )1n 1n4ni 1 (n1) 33( n1) 2i3( n1) i2 i31n4ni 1 n(n1) 33( n1) 2 3( n1) (n1)(2 n1) n2(n1) 2，1n4 n(n 1)2 n6 14当 n时，S 3 1 1 .ni 1(n i 1n )1n 32 14 154一点通 四 边 形 面 积 的 求 解(1)规则四边形：利用四边形的面积公式(2)曲边梯形思想：以直
8、代曲；步骤：分割以直代曲作和逼近；关键：以直代曲；结果：分割越细，面积越精确1已知汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t) t22 t(单位：km/h)，求它在 1 t2 这段时间行驶的路程是多少？解：将时间区间1,2等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ，1i 1n ， 1 in在第 i 个时间段的路程近似为 Si v t ， i1,2， ， n.(1in) (1 in)2 2(1 in) 1n所以 Sn Si (n1) 2( n2) 2( n3)ni 1ni 1 (1 in)2 2(1 in) 1n 1n32(2 n)25(n1)( n2)2 n2n2 1n32n(2n 1
9、)(4n 1)6 n(n 1)(2n 1)6 2n2 n(n 1 2n)2 3 ，13(2 1n)(4 1n) 16(1 1n)(2 1n) 1nn时， 3 S.13(2 1n)(4 1n) 16(1 1n)(2 1n) 1n则当 n时， 13(2 1n)(4 1n) 16(1 1n)3 .(21n) 1n 23由此可知， S .23所以这段时间行驶的路程为 km.23利用定积分的几何意义求定积分例 2 利用定积分的几何意义，求：(1) dx；3 39 x2(2) (2x1)d x.30思路点拨 f(x)dx 的几何意义：介于 x a， x b 之间， x 轴上、下相应曲边平面ba图形面积的代
10、数和精解详析 (1)在平面上 y 表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上9 x2半圆(如图(1)所示)其面积为 S 3 2 .12 92由定积分的几何意义知 dx .3 39 x2 92(2)在平面上， f(x)2 x1 为一条直线(2x1)d x 表示直线 f(x)2 x1， x0， x3 围成的直角梯形 OABC 的面积(如图(2)所30示)其面积为 S (17)312.126根据定积分的几何意义知 (2x1)d x12.30一点通 (1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：由三条直线 x a、 x b(a0)，求实数 a 的值a0解：由定积分的几何意义知：xdx aa1( a0)，a0 12则有 a .27计算定积分 (3x6)d x.50解：如图，计算可得 A 的面积为 ， B 的面积为 6，从而 (3x6)272 50dx 6 .272 152118利用定积分的几何意义求： dx.10 1 x2解：被积函数为 y ，其表示的曲线为以原点为圆心，1 为半径的四分之一圆，1 x2由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面积，所以 dx 12 . 101 x2 4 4
