1、1阶段质量检测(三) 空间向量与立体几何考试时间：120 分钟 试卷总分：160 分二题 号 一15 16 17 18 19 20总 分得 分一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分将答案填在题中的横线上)1已知 a(3,2,5)， b(1， x，1)，且 ab2，则 x的值是_2设 A、 B、 C、 D是空间不共面的四点，且满足 AB C0，AD0， 0，则 BCD的形状是_3已知直线 l与平面 垂直，直线的一个方向向量为 u(1,3， z)，向量v(3，2,1)与平面 平行，则 z_.4已知空间三点 A(0,2,3)， B(2,1,6)， C(1，1,5)若| a| ，且
2、a分别与3AB， C垂直，则向量 a为 _5已知 A(1,5，2)， B(2,4,1)， C(x,3， y2)，且 A、 B、 C三点共线，则实数x， y的值分别为_、_.6已知向量 p关于基底 a， b， c的坐标为(3,2，1)，则 p关于基底2 a， b， c12的坐标是_7已知直线 l1， l2的方向向量分别为 a， b，且 a(1,2，2)， b(2,3， m)，若l1 l2，则实数 m的值为_8已知 a(cos ，1，sin )， b(sin ，1，cos )，则向量 a b与 a b的夹角是_9已知向量 a(cos ，sin ，1)， b( ，1,2)，则|2 a b|的最大值是
3、3_10平面 的法向量为 u(1，2，1)，平面 的法向量为 v(2,4,2)，则不重合的平面 与平面 的位置关系为_11已知直角 ABC中， C90， B30， AB4， D为 AB的中点，沿中线将ACD折起使得 AB ，则二面角 A CD B的大小为_13212如图，在空间四边形 ABCD中， AC和 BD为对角线， G为 ABC的重心， E是 BD上一点， BE3 ED，若以 AB， C， D为基底，则 E_.13正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为_14已知 O (1,2,3)， (2,1,2)， OP(1,1,2)，点 Q在直线 OP上运动，
4、则当 Q 取得最小值时，点 Q的坐标为_二、解答题(本大题共 6小题，共 90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14分)如图，已知 ABCD A B C D是平行六面体(1)化简 A BC，并在图中标出其结果；12 23(2)设 M是 BD的中点， N是侧面 BCC B对角线 BC上的 分点，设34N D ，试求 、 、 的值16(本小题满分 14分)已知空间三点 A(2,0,2)， B(1，1,2)， C(3,0,4)，设a AB， b C.(1)求 a和 b的夹角 的余弦值；(2)若向量 ka b与 ka2 b互相垂直，求 k的值317.(本小题满分 14分)如图
5、所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱) ABC A1B1C1中， AC BC， D是 AB的中点， AC BC BB1.(1)求证： BC1 AB1；(2)求证： BC1平面 CA1D.18(本小题满分 16分)正 ABC的边长为 4， CD是 AB边上的高， E， F分别是 AC和BC边的中点，现将 ABC沿 CD翻折成直二面角 A DC B.(1)试判断直线 AB与平面 DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角 E DF C的余弦值；(3)在线段 BC上是否存在一点 P，使 AP DE？如果存在，求出 的值；如果不存在，BPBC请说明理由19(北京高考)(本小题满分 16分)如图
6、 1，在 Rt ABC中， C90，BC3， AC6， D、 E分别为 AC、 AB上的点，且 DE BC， DE2，将 ADE沿 DE折起到A1DE的位置，使 A1C CD，如图 2.4(1)求证： A1C平面 BCDE；(2)若 M是 A1D的中点，求 CM与平面 A1BE所成角的大小；(3)线段 BC上是否存在点 P，使平面 A1DP与平面 A1BE垂直？说明理由20(山东高考)(本小题满分 16分)如图所示，在三棱锥 P ABQ中， PB平面ABQ， BA BP BQ， D， C， E， F分别是 AQ， BQ， AP， BP的中点， AQ2 BD， PD与 EQ交于点G， PC与 F
7、Q交于点 H，连接 GH.(1)求证： AB GH；(2)求二面角 D GH E的余弦值答 案1解析： ab32 x52， x5.答案：52.解析： BCD中， BC D( A B)( D A) B20， B为锐角，同理， C， D均为锐角， BCD为锐角三角形答案：锐角三角形3解析：平面 的法向量 u(1,3， z)， v与平面 平行， uv ， uv133(2) z10， z3.5答案：34解析：设 a( x， y， z)， AB(2，1,3)， AC(1，3,2)则Error! 解得 a(1,1,1)或(1，1，1)答案：(1,1,1)或(1，1，1)5解析：若 A、 B、 C三点共线，
8、则， 也共线(1，1,3) ，( x2，1， y1)， 1 . x3， y2.1x 2 3y 1答案：3 26解析：由已知得 p3 a2 b c，则 p (2a)(2)( b)(2) .32 (12c)故 p关于基底 的坐标为 .2a， b，12c (32， 2， 2)答案： (32， 2， 2)7解析： l1 l2， a b. ab1(2)23(2) m42 m0. m2.答案：28解析：( a b)(a b) a2 b2(cos 2 sin 2 1)(sin 2 1cos 2 )0，( a b)( a b)答案：909解析：因为 2a b(2cos ，2sin 1,0)，3所以|2 a b
9、| 2cos 3 2 2sin 1 2 4.8 8sin 3答案：410解析： v2(1，2，1)2 u， v u， .答案：平行11解析：如图，取 CD中点 E，在平面 BCD内过 B点作 BF CD，交 CD延长线于 F.6据题意知 AE CD，AE BF ， EF2， AB .3 13且 EA， FB为二面角的平面角，由 2( )2得1333423cos AE， FB ，cos， ，12 EA， FB120.即所求的二面角为 120.答案：12012解析： G A D E AM D B (A C)23 14 13 AD B C B C .14 14 13 13 112 13 34答案：
10、112 13 3413解析：以 D为原点，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为 1， D(0,0,0)， B1(1,1,1)， B(1,1,0)，则 1(0,0,1) B1D平面 ACD1，(1,1,1)为平面 ACD1的法向量设 BB1与平面 ACD1所成的角为 ，则 sin ，|1| | 13 33cos .63答案：6314解析： Q在 OP上，可设 Q(x， x,2x)，则 A (1 x,2 x,32 x)，B(2 x,1 x,22 x) 6x216 x10 ， x 时， QA 最小，这时 Q .43 (43， 43， 83)7答案： (43， 43， 83)15解：(1)取 DD的
11、中点 G，过点 G作 DC的平行线 GH，使 GH DC，连接 AH，23则 AH BC A.12 23如图所示(2) MN D 12 34 (AB ) ( A D)12 34 .12 14 34 ， ， .12 14 3416解： a AB(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b C(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ，ab|a|b| 1 0 025 1010 a与 b的夹角 的余弦值为 .1010(2)ka b( k， k,0)(1,0,2)( k1， k,2)，ka2 b( k， k,0)(2,0,4)( k2， k，4)，( k1， k,2)(k2， k，4)
12、( k1)( k2) k280.即 2k2 k100， k 或 k2.5217证明： 如图所示，以 C1点为原点，建立空间直角坐标系，设AC BC BB12，则 A(2,0,2)， B(0,2,2)， C(0,0,2)， A1(2,0,0)，B1(0,2,0)， C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于 1(0，2，2)， 1(2,2，2)， A0440，8即 1BC A，故 BC1 AB1.(2)取 A1C的中点 E，连结 DE.由于 E(1,0,1)， D(0,1,1) ，又 1B(0，2，2)， 1，且 ED与 BC1不共线，12 ED BC1，又 ED平面 CA1D， BC1平面
13、 CA1D， BC1平面 CA1D.18解：(1)在 ABC中，由 E， F分别是 AC， BC中点，得 EF AB，又 AB平面 DEF， EF平面 DEF， AB平面 DEF.(2)以点 D为坐标原点，以直线 DB、 DC、 DA分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)， B(2,0,0)， C(0,2 ，0)， E(0， ， 1)， F(1， ，0)，3 3 3F(1， ， 0)， E(0， ，1)， DA(0,0,2)3 3平面 CDF的法向量为 DA(0,0,2)，设平面 EDF的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!取 n(3
14、， ，3)，3cos DA， n ，n| |n| 217所以二面角 E DF C的余弦值为 .217(3)存在设 P(s， t,0)，则 APDE t20，3 t ，233又 B (s2 ， t,0)，( s,2 t,0)，3 P C，( s2)(2 t) st，3 s t2 .3 39把 t 代入上式得 s ， BP C，233 43 13在线段 BC上存在点 P，使 AP DE.此时 .BPBC 1319解：(1)证明：因为 AC BC， DE BC，所以 DE AC.所以 ED A1D， DE CD，所以 DE平面 A1DC.所以 DE A1C.又因为 A1C CD，且 CD DE D，
15、所以 A1C平面 BCDE.(2)如图，以 C为坐标原点，CB、 CD、 CA1为 x、 y、 z轴，建立空间直角坐标系 C xyz，则 A1(0,0,2 )， D(0,2,0)，3M(0,1， )， B(3,0,0)，3E(2,2,0)设平面 A1BE的法向量为 n( x， y， z)，则 n 10， n E0.又 3 ，0，2 ， BE(1,2,0)，3所以Error!令 y1，则 x2， z .所以 n(2,1， )3 3设 CM与平面 A1BE所成的角为 .因为 CM(0,1， )3所以 sin |cos n， C| | .n|n| 484 22所以 CM与平面 A1BE所成角的大小为
16、 .4(3)线段 BC上不存在点 P，使平面 A1DP与平面 A1BE垂直，理由如下：假设这样的点 P存在，设其坐标为( p,0,0)，其中 p0,3设平面 A1DP的法向量为 m( x， y， z)，则m D0， m P0.又 10 ，2，2 ， D( p，2,0)，310所以Error!令 x2，则 y p， z .所以 m(2， p， )p3 p3平面 A1DP平面 A1BE，当且仅当 mn0，即 4 p p0.解得 p2，与 p0,3矛盾所以线段 BC上不存在点 P，使平面 A1DP与平面 A1BE垂直20解：(1)证明：因为 D， C， E， F分别是 AQ， BQ， AP， BP的
17、中点，所以EF AB， DC AB.所以 EF DC.又 EF平面 PCD， DC平面 PCD，所以 EF平面 PCD.又 EF平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCD GH，所以 EF GH.又 EF AB，所以 AB GH.(2)在 ABQ中， AQ2 BD， AD DQ，所以 ABQ90.又 PB平面 ABQ，所以 BA， BQ， BP两两垂直以 B为坐标原点，分别以 BA， BQ， BP所在直线为 x轴， y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 BA BQ BP2，则 E(1,0,1)， F(0,0,1)， Q(0,2,0)， D(1,1,0)， C(0,1,0)， P(0,0,2)所以(1,2，1)，(0,2，1)，DP(1， 1，2)， CP(0，1,2)设平面 EFQ的一个法向量为 m( x1， y1， z1)，由 mEQ0， mF0，得Error!取 y11，得 m(0,1,2)设平面 PDC的一个法向量为 n( x2， y2， z2)，由 nDP0 ， nC0，得Error!取 z21，得 n(0,2,1)，所以 cos m， n .mn|m|n| 45因为二面角 D GH E为钝角，11所以二面角 D GH E的余弦值为 .45
