1、- 1 -吉林省长春市十一高中 2017-2018 学年高一上学期期末考试数 学 试 题1.已知 集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选2.下列结论，正确的个数为（ ）（1）若 都是单位向量，则（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（3）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量（4）直角坐标平面上的 轴、 轴都是向量A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】若 ， 都是单位向量，则 ，故不正确；物理学中的作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量，因而它们是一对共线向量，故正确；方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量在一条直线上，是共线
2、向量，故正确；直角坐标平面上的 轴、 轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故错误；故选3.函数 的定义域为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 2 -由题意得到： ，解得故故选4.如图，点 是平行四边形 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】中，中，中，故选5.已知 ，则角 的终边所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】由 可知： 则的终边所在的象限为第四象限故选6.等腰三角形一个底角的正切值为 ，则这个三角形顶角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D-
3、3 -【解析】令底角为 ，则顶角为 ，则故选7.若方程 的实根在区间 上，则 （ ）A. B. C. 或 D. 【答案】C【解析】由题意知， ，则原方程为在同一直角坐标系中作出函数 与 的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间 上，一个在区间 上，所以 或故选8.已知函数 在 单调递减，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 ，- 4 -函数 是关于 的减函数，结合题意，得 是区间 上的增函数又 在 上 总成立，解得故实数 的取值范围是故选9.若当 时，函数 始终满足 ，则函数 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由函数
4、f(x) a|x|满足 0| f(x)|1，得 0 a1，当 x0 时， ylog a log ax.又因为 ylog a 为偶函数，图象关于 y 轴对称，所以选 B.10.已知函数 ，点 和 是其相邻的两个对称中心，且在区间 内单调递减，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意点 和 是其相邻的两个对称中心得 ,又因为在区间 内单调- 5 -递减，所以 ，则 ，当 时， =0，只有当 时符合题意，故选点睛：本题考查正切函数的对称性及单调性，首先要明确正切函数的对称中心是 又因为存在单调递减区间，故可以计算出 的值，结合函数自身特点代入点坐标，即可算出 的值。11.已知 是单
5、位圆上（圆心在坐标原点 ）任意一点，将射线 绕点 逆时针旋转 到交单位圆于点 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】设 ，则的最大值为故选12.记： .已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】即 ，函数关于 中心对称则 与 的交点应为偶数个，且关于 对称- 6 -则故选点睛：本题主要考查了函数图象的对称性及函数的奇偶性，考查函数的图象平移。学生的易错点是不明确本题要考查的知识点是什么，不知道怎么正确利用两个函数的对称性（中心对称） ，确定两个函数的交点是关于 对称，最后正确求和得出结论。13.已知幂函数
6、 的图象过点 ，则 _【答案】0【解析】幂函数 的图象过点，解得 ，14.已知 ， ，则 _.【答案】【解析】，15.设 是定义在 上的偶函数，且满足 ，当 时， ，则时， _.【答案】【解析】当 时，则当 时，- 7 -是定义在 上的偶函数，时，点睛：本题是道函数性质综合题目，结合函数的周期性、奇偶性求解函数的解析式，当遇到的形式时，能够得到函数的周期为 ，在本题的求解过程中先求出当时的解析式，再依据偶函数图象关于 轴对称即可求得结果。16.已知函数 ，若存在 ， ，使 成立，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】当 时，当 时，若 ，则 恒成立，满足条件，若 ，则 ，若存在 ， ，使 成
7、立，则即若 ，则 ，满足条件，综上所述，点睛：本题考查了分段函数的单调性，依据题意进行分类讨论参量的取值范围，若 ，若，若 三种情况，结合题意当满足 时成立即可求出参数范围。17.设 ， .求 的值；（2）求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析： 由题意，易求 ， ，利用两角差的正弦即可求得的值；- 8 -， ，又 ，从而求得 的值。解析：（1）因为 ,所以 ,又 ， ，所以，所以 .（2）因为 ，所以 ，又 所以 ，因为 ，所以 .18.已知函数（1）解关于 的不等式 ；（2）设函数 ，若 的图象关于 轴对称，求实数 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：
8、由题意得 ，然后解不等式即可(2) 图象关于 轴对称即为偶函数，即： 成立，从而求得结果解析：（1）因为 ，所以 ，即： ，所以，由题意， ，解得 ，所以解集为 .（2） ，由题意， 是偶函数，所以 ，有，即： 成立，所以，即： ，所以 ，所以 ， ，所以 .- 9 -19.某城市出租车的收费标准是：起步价 5 元（乘车不超过 3 千米） ；行驶 3 千米后，每千米车费 1.2 元；行驶 10 千米后，每千米车费 1.8 元（1）写出车费与路程的关系式； （2）一乘客计划行程 30 千米，为了节省支出，他设计了三种乘车方案：不换车：乘一辆出租车行 30 千米；分两段乘车：先乘一辆车行 15 千
9、米，换乘另一辆车再行 15 千米；分三段乘车：每乘 10 千米换一次车问哪一种方案最省钱？【答案】 （1） ；（2）方案最省钱.【解析】试题分析：（1）车费 f（x）与路程 x 的关系式为 f（x）= （2）30 公里不换车的车费为 1.8304.6=49.4（元） ；分别计算方案：行驶两个 15 公里的车费为（1.8154.6）2；方案：行三个 10 公里的车费为（1.210+1.4）3，半径即可得出试题解析：（1）解：设出租车行驶 千米的车费为 元，则即 （2）解：方案30 千米不换车的车费为：（元） ； 方案：行驶两个 15 千米的车费为：（元） ； 方案：行三个 10 千米的车费为：-
10、 10 -（元） 又所以方案最省钱.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆错误在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.20.已知 .求函数 的最小正周期，对称轴方程及单调递减区间；若函数 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，当 时，求函数 的最小值，并求取得最小值时的 的值.【答案】(1) ； ； .（2） ，此时 .【解析
11、】试题分析： 利用周期公式求出函数的最小正周期；利用正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，得出对称轴方程，再根据正弦函数的单调性可求得函数 的单调递减区间；按照题意得平移先求出函数解析式 ，然后由单调区间算最小值解析：.(1) 最小正周期是 ； ，对称轴方程为 ；因为,所以 ,即：减区间为.（2）由题意， ，因为 ，所以 ，所以- 11 -，所以 ，此时 ，所以 .21.已知函数 对一切实数 均有 成立，且 .求函数 的解析式；设 ,若不等式 （ 为常数）在 时恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析： 令 ，又 得到 ，令 ，求得 即可得到函数 的解析式；
12、先求出 ，则 ，换元，令 ，然后分离参数，求得最值解析：（1）令 ,所以 ,又 ,所以.令 ,所以 ,所以 ,即 .（2） ，所以，所以 ，令 ，所以 ，即 时， 恒成立，即恒成立，因为 ，所以 ，所以 ，即 .点睛：本题是一道有关抽象函数及其应用，函数恒成立问题，函数解析式的求解及常用方法，属于中档题。考查了学生处理此类抽象函数问题的方法，理解函数恒成立的条件，以及用特值法求函数关系式的能力，- 12 -22.如图，在半径为 ,圆心角为 的扇形金属材料中剪出一个长方形 ，并且 与 的平分线 平行，设 .（1）试将长方形 的面积 表示为 的函数；（2）若将长方形 弯曲，使 和 重合焊接制成圆柱
13、的侧面，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积（假设圆柱有上下底面） ；为了节省材料，想从 中直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面，请问是否可行？并说明理由.（参考公式：圆柱体积公式 .其中 是圆柱底面面积， 是圆柱的高；等边三角形内切圆半径 .其中 是边长）【答案】 （1） ；（2） ，直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面可行.【解析】试题分析： 由题意得出 ， ，则根据，即可得到答案；由（1） 取最大值，由圆柱底面面积 ,计算得 ，然后得,边长 ，内切圆半径 ，由圆柱底面半径, ，做出判定解析：（1）由题意 ，又，所以- 13 -所以 .（2）由（1） 取最大值时， ，所以 ，因为 ，设圆柱底面半径
14、为 ,所以 , ,所以圆柱底面面积 ,又 ,所以 ,因为 ,所以 .在等边 中,边长 ，内切圆半径 ,由圆柱底面半径 ,因为 ,所以直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面可行.23.已知函数 ，且函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 .求 的值；若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围 .【答案】 （1）故 ；（2） .【解析】试题分析： 化简） ，由题意， ，得出 ，进而确定出 ，确- 14 -定函数 的解析式，最后将 代入即可求得 的值先将 代入到函数 中，然后使得在区间 上单调递增必须要 ，进而可以确定 的取值范围。解析：（1） ，由题意， ，即 ，所以 ， .从而 ，故 .（2）因为 则当时， .由题意 ，所以， 同时成立，解得 的范围是 .点睛：本题考查了运用三角恒等变换或者是降幂公式等进行化简，先求出函数解析式，然后再求得函数值，而区间内的单调性，只有代入即可，从而算出参量的取值范围- 15 -
