1、- 1 -吉林省高中 2019 届高三数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。【详解】由题意，根据复数的运算 ，故选 A。【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力.2.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合 ，利用一次不等式的解法化简集合
2、，由并集的定义可得结果.【详解】因为集合 ，所以 ，故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合.3. （ ）A. B. C. D. 【答案】C- 2 -【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式结合诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选 C.【点睛】本题主要考查诱导公式、特殊角的三角函数以及二倍角的余弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.4.双曲线 的左焦点为 ，且 的离心率为 ，则 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】
3、C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，以及 ，求得 的值，即可得到答案。【详解】由题意，可得 ，又由 ， ，又 ，故 的方程为 ，故选 C。【点睛】本题考查双曲线的方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.曲线 在点 处的切线 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】求出导函数，令 可得切线斜率，由点斜式可得切线方程，求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果.- 3 -【详解】因为 ，所以 ，所以在点 处的切线斜率 ，切线 的方程为 ，即 ，在 ， 轴上的
4、截距分别为 和-5，所以 与坐标轴围成的三角形面积 ,故选 A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ） ；（2）由点斜式求得切线方程 .6.设 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. 3 B. -3 C. -6 D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出 表示的可行域，如图，由 可得 ，将 变形为
5、，平移直线 ，由图可知当直 经过点 时，- 4 -直线在 轴上的截距最小，取得最小值 ，故选 B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.函数 的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。【详解】由题意，因为 ， 不是偶函数，从而
6、排除 ， .又由 （或方程 无解） ，从而排除 ，故选 .【点睛】本题考查函数的图像的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和特殊点的函数值，利用排除法求解是解答的关键，着重考查推理论证能力以及数形结合的数学思想.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 5 -由三视图可知，该几何体由半个圆柱与一个棱柱组成，根据三视图中数据，求出每个表面的面积，求和即可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆柱与一个棱柱组成，棱柱的长宽高分别为 6、1、1.5，圆柱的底面半径为 3，高为 1.5，几何体的直观图如图所示，其表面积为 ,故选
7、 D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为 3，圆中弓形面积为（ 为弦长， 为半径长与圆心到弦的距离之差） .”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长 ， ，质点 随机投入此圆中
8、，则质点 落在该弓形内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用圆中弓形面积为 ,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径 ，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.【详解】由圆中弓形面积为 可知：弓形的面积 .设圆的半径为 ，则 ，解得 ，所以圆的面积 ，- 6 -所以质点落在弓形内的概率为 ,故选 C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型
9、还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10.已知在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，且 ，则面积的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 ，利用余弦定理可得 ，再由余弦定理结合基本不等式求得 ，根据三角形面积公式可得结果.【详解】因为所以 ，故 ，由余弦定理，得 所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，当且仅当 时取等号, 面积的最大值是 ,故选 C.【点睛】本题主要考查余弦定理、基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形
10、式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.- 7 -11.设 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 ， 可得 ，利用换底公式化 为以 2 为底的对数，利用对数的运算法则化简即可得结果.【详解】由 ， 可得 ，则 ,故选 A.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及换底公式的应用，意在考查对基本运算法则的掌握与应用，属于中档题.12.已知函数 的图像经过点 和 .若函数在区间 上有唯一零点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
11、【分析】由图象经过点 和 可得 ，结合 ，可得 ，由可得 ，令 ， 在区间 上有唯一零点，等价于在 上有唯一解， 的图象 时有一个交点，利用数形结合可得结果.【详解】函数 的图象经过点 和 .所以 ， ，得 ，- 8 -故 ，因为 ， ，所以 .由 ，得 ，因为 ，故 ，所以 ，从而当 时， ，令 ，在区间 上有唯一零点，等价于 在 上有唯一解，的图象 时有一个交点，故由正弦函数图象可得 或 ，解得 ,故选 D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数的解析式，函数零点与方程的根的关系，属于难题.求三角函数的解析式时，利用最值求出 ,先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出
12、，正确求 是解题的关键.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ，则 _【答案】 或【解析】【分析】由题意，利用向量的夹角公式，得 ，进而求解向量的夹角，得到答案。【详解】由题意，利用向量的夹角公式，得 ，- 9 -又由 ， .【点睛】本题考查平面向量的夹角，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算求解能力.14.在空间直角坐标系 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】先求出 ， ，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】因为 ， ， ，所以 ， ，异面直线 与 所成
13、角的余弦值为 .，故答案为 .【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算、异面直线所成的角以及空间向量夹角余弦公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.15.已知体育器材室有 4 个篮球、2 个足球和 1 个排球，某班上体育课要从中选 4 个球，规定每种球至少选 1 个，则不同的选法共有_ （请用数字作答）【答案】16【解析】【分析】分取 2 个篮球与 2 个足球两种情况讨论，分别利用组合知识与分步计数乘法原理求出两种情况的不同的选法，然后求和即可.【详解】选 1 个排球、1 个足球、2 个篮球有 种选法；选 1 个排球、2 个足球、1 个篮球有 种选法，一共有 16 种选法
14、,故答案为 16.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是- 10 -分步” 、 “是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.16.已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 为钝角（其中 为坐标原点） ，则直线 斜率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】直线与椭圆方程联立，由判别式求得 且 ，再根据 为钝角，即，利用韦达定理列
15、关于 的不等式，综合 可得结果.【详解】设直线 ,代入 ，得 ，因为直线 与 交于不同的两点 ， ，所以 ，解得 且 .设 ， ，则 ， ，因为 为钝角，所以 ，解得 ， .故答案为 .【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及平面向量数量积公式的应用，属于难题. 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、- 11 -化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
16、（一）必考题：60 分17.在递增的等比数列 中， ，且 .（1）求 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）设公比为 ，由 ，得 ，结合数列的增减性可得公比 ，从而可得 ，进而可得结果；（2）由（1）得 ，利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得结果.【详解】 （1）设公比为 ，由 ，得 ，化简得 ，解得 或 ，因为等比数列 是递增的，所以 ， ，所以 .（2）由（1）得 ，所以 ，则 ，所以 .【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列求和公式，以及利用“分组求和法”求数列前 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前 项和
17、常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数- 12 -列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18.2018 年是中国改革开放的第 40 周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的 100 名市民进行调查，将他们的年龄分成 6 段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在 内的人员中按分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人进行座谈，用 表示年龄在 内的人数，求 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方
18、法从该地抽取 20 名市民进行调查，其中有名市民的年龄在 的概率为 .当 最大时，求 的值.【答案】 （1）分布列见解析； ；（2）7.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在 内的人数，可得 的可能取值为 0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望；（2）设年龄在 内的人数为 ，则，设 ,可得若 ，则 ， ；若 ，则， ，从而可得结果.【详解】 （1）按分层抽样的方法抽取的 8 人中，年龄在 内的人数为 人，年龄在 内的人数为 人，年龄在 内的人数为 人.所以 的可能取值为 0，1，2，- 13 -所以
19、 ，所以 的分布列为0 1 2.（2）设在抽取的 20 名市民中，年龄在 内的人数为 ， 服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在 内的频率为 ，所以 ，所以 .设 ，若 ，则 ， ；若 ，则 ， .所以当 时， 最大，即当 最大时， .【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，在直三棱柱 中， ， ，
20、 ， ， 为 的中点.- 14 -（1）证明： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，由矩形的性质，结合三角形中位线定理可得 ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）先证明 ，分别以 ， ， 为 轴、 轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】 （1）连接 交 于点 ，连接 ，因为四边形 是矩形，所以点 是 的中点，又点 为 的中点，所以 是 的中位线，所以 .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由
21、， ， ，可得 ，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，- 15 -则有 ， ， ， ，所以 ， ， ，设直线 与平面 所成角为 ，平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，所以 .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量法，属于中档题. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.在直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点.（1）若 ，求 ；（2）若点 的坐标为 ，且 ，证明：
22、 .【答案】 （1） （2）见解析 【解析】【分析】（1）由 得 ， 利用韦达定理可得 .即 ，由弦长公式可得结果；（2）设线段 的中点为 ，利用韦达定理求出， ，由 ，得 ，利用导数研究函数的单调性，结合零点存定理可得结果.- 16 -【详解】 （1）设 ， ，由 得 ，则 ， ，从而 .故 ， ， .（2）设线段 的中点为 ， ， ， . ， ，则 ，即 .设 ，则 是增函数， ，且 ， ，故 .【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，利用导数研究函数的单调性、斜率公式、零点存在定理、弦长公式的应用，属于综合题. 求曲线的弦长方法：（1）利用弦长公式；（2）利用 ；（3）如果交点坐标可
23、以求出，利用两点间距离公式求解即可.21.已知函数 ， .（1）当 时，求 的最小值；（2）当 时，若存在 ，使得对任意的 ，都有 恒成立，求的取值范围.【答案】 （1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）求出 ，分三种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间，根据单调性；（2）存在- 17 -，使得对任意的 都有 恒成立，等价于 ，分别利用导数研究函数的单调性，并求出 的最小值，解不等式即可得结果.【详解】 （1）因为 的定义域为 ， .当 时，因为 ， ，所以 在 上为增函数，；当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数，；当
24、时， 在 上为减函数， .（2）当 时，若存在 ，使得对任意的 都有 恒成立，则 .由（1）知，当 时， .因为 ，令 ，则 ，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，所以 在 上单调递增.所以 ，则 ，解得 ，又 ， ，所以 ，即实数 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值，以及转化思想与分类讨论思想的应用，属于综合题. 分类讨论思想的常见类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.（二）选
25、考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第- 18 -一题计分.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 ， 的直角坐标方程；（2）判断曲线 ， 是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不想交，请说明理由【答案】 （1） ； （2）【解析】【分析】（1）由题意，消去参数，即可得到曲线 的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到曲线 的直角坐标方程；（2）由（1） ，将 代入曲线 ，求得 ， ，在由曲线 ， 两交点间的距离公式，即可求解
26、。【详解】 （1）将 ，消去参数，得曲线 的直角坐标方程为 ，将 展开整理，得 ，因为 ， ，所以曲线 的直角坐标方程为 .（2）由（1）知曲线 是过定点 的直线，因为点 在曲线 的内部，所以曲线 与曲线 相交.将 代入 并整理，得 ，设曲线 ， 的两交点为 ， ，则 ， ，故曲线 ， 两交点间的距离 .【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及弦长公式的应用，其中解答中熟记互化公式，合理消去参数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。- 19 -23.已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）设 ， ，且 的最小值为 .若 ，求 的最小值.
27、【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）当 时， ，原不等式可化为 ，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得， 的最小值为 ，所以 ，由 ，得 ，利用基本不等式即可求解其最小值。【详解】 （1）当 时， ，原不等式可化为 ，当 时，不等式 可化为 ，解得 ，此时 ；当 时，不等式可化为 ，解得 ，此时 ；当 时，不等式可化为 ，解得 ，此时 ，综上，原不等式的解集为 .（2）由题意得， ，因为 的最小值为 ，所以 ，由 ，得 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时， 的最小值为 .【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向- 20 -
